山西省運(yùn)城市夏縣水頭高級中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.=（

）A．1 B．e-1 C．e D．e+1參考答案：C2.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有2個(gè)陽爻的概率是（）A. B. C. D.參考答案：C分析】分別計(jì)算所有“重卦”和恰有2個(gè)陽爻的“重卦”種數(shù)，根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式求得結(jié)果.【詳解】所有“重卦”共有：種；恰有2個(gè)陽爻的情況有：種恰有2個(gè)陽爻的概率為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查古典概型中的概率求解問題，屬于基礎(chǔ)題.3.在棱長為6的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是面DCC1D1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠APD=∠MPC，則三棱錐P﹣BCD的體積最大值是（）A．36 B．12

C．24 D．18參考答案：B【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】根據(jù)Rt△ADP∽△Rt△PMC，PD=2PC，利用體積公式求解得出PO⊥CD，求解OP最值，根據(jù)勾股定理得出：3h2=﹣3x2+48x﹣144，0≤x≤6，利用函數(shù)求解即可【解答】解：∵在棱長為6的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是面DCC1D1所在的平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠APD=∠MPC，∴Rt△ADP∽△Rt△PMC，∴==2，即PD=2PC，設(shè)DO=x，PO=h，作PO⊥CD，∴，化簡得：3h2=﹣3x2+48x﹣144，0≤x≤6，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷：x=6時(shí)，3h2最大值為36，h大=，∵在正方體中PO⊥面BCD，∴三棱錐P﹣BCD的體積最大值：=12，故選：B【點(diǎn)評】本題考查了空間幾何體中的最值問題，關(guān)鍵是列出式子，轉(zhuǎn)化為距離問題，借助函數(shù)求解即可，屬于難題．4.已知函數(shù)f（x）=|x|?ex（x≠0），其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，關(guān)于x的方程有四個(gè)相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】54：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】寫出分段函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性和極值，畫出圖形的大致形狀，結(jié)合關(guān)于x的方程有四個(gè)相異實(shí)根列式求得實(shí)數(shù)λ的取值范圍．【解答】解：f（x）=|x|?ex=．當(dāng)x＞0時(shí)，由f（x）=x?ex，得f′（x）=ex+x?ex=ex（x+1）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；當(dāng)x＜0時(shí)，由f（x）=﹣x?ex，得f′（x）=﹣ex﹣x?ex=﹣ex（x+1）．當(dāng)x∈（﹣∞，﹣1）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（﹣1，0）時(shí)，f′（x）＜0，∴當(dāng)x=﹣1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值為f（﹣1）=．作出函數(shù)f（x）=|x|?ex（x≠0）的圖象的大致形狀：令f（x）=t，則方程化為，即t2﹣λt+2=0，要使關(guān)于x的方程有四個(gè)相異實(shí)根，則方程t2﹣λt+2=0的兩根一個(gè)在（0，），一個(gè)在（）之間．則，解得λ＞2e+．∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（2e+，+∞）．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，考查利用導(dǎo)數(shù)求極值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法及數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．5.函數(shù)在區(qū)間上最大值與最小值分別是A．

B．

C．

D．參考答案：A略6.命題“?x∈R，sinx＞0”的否定是（）A．?x∈R，sinx＜0 B．?x∈R，sinx≤0 C．?x∈R，sinx≤0 D．?x∈R，sinx＜0參考答案：B【考點(diǎn)】命題的否定．【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題進(jìn)行求解．【解答】解：全稱命題的否定是特稱命題，則命題的否定是?x∈R，sinx≤0，故選：B【點(diǎn)評】本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎(chǔ)．7.當(dāng)為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線恒過定點(diǎn)P，則過點(diǎn)P的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A．或 B．或 C．或 D．或參考答案：C8.函數(shù)的最大值為（

）A

B

C

D

參考答案：A9.設(shè)m,n是不同直線，α、β、r是不同的平面，以下四個(gè)命題中，正確的為（

）①若α∥β，α∥r，則β∥r

②若α⊥β，m∥α，則m⊥β③若m⊥α，m∥β，則α⊥β

④若m∥n，nα則m∥αA．①④

B．②③

C．②④

D．①③參考答案：D10.三個(gè)共面向量、、兩兩所成的角相等，且，，，則

等于（

）A．

B．6

C．或6

D．3或6參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點(diǎn)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若△ABF2為正三角形，則該橢圓的離心率為

.

參考答案：略12.曲線y=x3在點(diǎn)（1，1）處的切線與x軸、直線x=2所圍成的三角形的面積為．參考答案：【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】欲求所圍成的三角形的面積，先求出在點(diǎn)（1，1）處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故要利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．【解答】解：∵y=x3，∴y'=3x2，當(dāng)x=1時(shí)，y'=3得切線的斜率為3，所以k=3；所以曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為：y﹣1=3×（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．令y=o得：x=，∴切線與x軸、直線x=2所圍成的三角形的面積為：S=×（2﹣）×4=故答案為：．13.已知函數(shù)f（x）=，且關(guān)于x的方程f（x）﹣a=0有兩個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的范圍是．參考答案：（0，1]【考點(diǎn)】51：函數(shù)的零點(diǎn)．【分析】當(dāng)x≤0時(shí)，0＜2x≤1，當(dāng)x＞1時(shí)，log2x∈R，由題意可得，函數(shù)y=f（x）與直線y=a有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求得實(shí)數(shù)a的范圍．【解答】解：當(dāng)x≤0時(shí)，0＜2x≤1，當(dāng)x＞1時(shí)，log2x∈R．所以，由圖象可知當(dāng)要使方程f（x）﹣a=0有兩個(gè)實(shí)根，即函數(shù)y=f（x）與直線y=a有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，由圖象可知0＜a≤1，故答案為（0，1]．14.若，已知，，則

參考答案：略15.有兩個(gè)等差數(shù)列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列的前10項(xiàng)之和為．參考答案：560【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】數(shù)列{an}與數(shù)列{bn}首項(xiàng)a1=b1=2，由這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)也是一個(gè)等差數(shù)列{cn}，首項(xiàng)c1=2，公差為4與6的最小公倍數(shù)，d=12，由此能求出這個(gè)新數(shù)列的前10項(xiàng)之和．【解答】解：等差數(shù)列2，6，10，…，190的通項(xiàng)為an=2+（n﹣1）?4=4n﹣2，等差數(shù)列2，8，10，14，…，200的通項(xiàng)為bn=2+（n﹣1）?6=6n﹣4，數(shù)列{an}與數(shù)列{bn}首項(xiàng)a1=b1=2，由這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)也是一個(gè)等差數(shù)列{cn}，首項(xiàng)c1=2，公差為4與6的最小公倍數(shù)，d=12，∴cn=2+（n﹣1）?12=12n﹣10，Sn==，∴=560．故答案為：560．16.與大小關(guān)系為______.參考答案：>【分析】將要比較大小的兩數(shù)平方即可比較大小.【詳解】要比較與的大小，只需比較與的大小，只需比較與的大小，只需比較與的大小，只需比較與的大小，∵，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)的比較大小，屬于基礎(chǔ)題.17.f（x）是定義在非零實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，f′（x）為其導(dǎo)函數(shù)，且x＞0時(shí)，xf′（x）﹣f（x）＜0，記a=，b=，c=，則a，b，c的大小關(guān)系為

．參考答案：c＜a＜b【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．【分析】令g（x）=，得到g（x）在（0，+∞）遞減，通過＞20.2＞0.22，從而得出答案【解答】解：令g（x）=，則g′（x）=，∵x＞0時(shí)，xf′（x）﹣f（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）遞減，又＞=2，1＜20.2＜2，0.22=0.04，∴＞20.2＞0.22，∴g（）＜g（20.2）＜g（0.22），∴c＜a＜b，故答案為：c＜a＜b．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知是定義在上的不恒為0的函數(shù)，且對于任意的，都滿足.（1）求的值；（2）判斷的奇偶性，并證明你的結(jié)論；（3）若，求證：.參考答案：(1)令令(2)令令為奇函數(shù)(3)19.正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直，，點(diǎn)M是EC中點(diǎn).（I）求證：BM∥平面ADEF；

（II）求BM與平面BDE所成角的正弦值.參考答案：（1）設(shè)為的中點(diǎn)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，因此，所以四邊形是平行四邊形，------4分因?yàn)?-6分（2）因?yàn)辄c(diǎn)是中點(diǎn)，所以.，-------7分正方形與梯形所在平面互相垂直，因?yàn)?，且與相交于D,到面的距離---------8分.又是直角三角形，則---9分設(shè)到面的距離，.-----10分，---11分所以所成角的正弦值為----12分20.計(jì)算：－1≈0.414，－≈0.318；∴－1＞－；又計(jì)算：－2≈0.236，－≈0.213，－≈0.196，∴－2＞－，－＞－．（1）分析以上結(jié)論，試寫出一個(gè)一般性的命題．（2）判斷該命題的真假，并給出證明．參考答案：【考點(diǎn)】分析法和綜合法；歸納推理．【分析】（1）根據(jù)所給結(jié)論，可寫出一個(gè)一般性的命題．（2）利用綜合法證明命題是真命題．【解答】解：（1）一般性的命題n是正整數(shù)，則﹣＞﹣．（2）命題是真命題．∵﹣=，﹣=，＞，∴﹣＞﹣．21.在中，的