八年級(jí)數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)精講同學(xué)們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的旅程中，會(huì)逐漸從具體的數(shù)字運(yùn)算走向?qū)ψ兓?guī)律的探索。函數(shù)，正是連接變化與規(guī)律的橋梁，是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，也為高中乃至更高級(jí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。八年級(jí)接觸的函數(shù)，主要是一次函數(shù)，它看似簡(jiǎn)單，實(shí)則蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想。本文將帶你深入理解函數(shù)的基本概念，掌握一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，并學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)解決實(shí)際問題。一、函數(shù)的基本概念：從“變化”中尋找“對(duì)應(yīng)”1.1變量與常量：數(shù)學(xué)的“動(dòng)態(tài)”與“靜態(tài)”在我們周圍的世界中，許多事物都在不斷變化。比如，一天中氣溫的高低，汽車行駛的路程與時(shí)間的關(guān)系，購買商品的總價(jià)與數(shù)量的關(guān)系等等。在這些變化過程中，我們會(huì)遇到各種各樣的量。*變量：在一個(gè)變化過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量。例如，行駛路程、時(shí)間、購買數(shù)量、總價(jià)等，它們的數(shù)值都可能隨著條件的改變而變化。*常量：在一個(gè)變化過程中，數(shù)值始終不變的量稱為常量。例如，一輛勻速行駛的汽車，其速度是固定的，這個(gè)速度就是常量；某種商品的單價(jià)固定時(shí)，單價(jià)也是常量。理解變量與常量，是認(rèn)識(shí)函數(shù)的第一步。我們要學(xué)會(huì)在具體情境中辨別哪些是變量，哪些是常量。1.2函數(shù)的定義：“唯一確定”的對(duì)應(yīng)關(guān)系當(dāng)兩個(gè)變量之間存在某種依賴關(guān)系時(shí)，我們就有可能遇到函數(shù)。那么，什么是函數(shù)呢？函數(shù)的定義：一般地，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)。這個(gè)定義中有幾個(gè)關(guān)鍵詞必須深刻理解：*兩個(gè)變量：x和y，缺一不可。*對(duì)于x的每一個(gè)確定的值：x是主動(dòng)變化的，我們稱之為自變量。它的取值通常有一定的范圍，這個(gè)范圍我們后面會(huì)提到，叫做定義域。*y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)：這是函數(shù)概念的核心！“唯一確定”意味著給定一個(gè)x的值，只能有一個(gè)y的值與之對(duì)應(yīng)。不能出現(xiàn)一個(gè)x對(duì)應(yīng)多個(gè)y的情況。例如，y=x+1，當(dāng)x=2時(shí)，y只能是3，這就是唯一確定。為了幫助理解，我們可以把函數(shù)想象成一臺(tái)“機(jī)器”，我們輸入一個(gè)x的值（自變量），經(jīng)過機(jī)器的“加工”（某種對(duì)應(yīng)法則），就會(huì)輸出一個(gè)唯一的y值（函數(shù)值）。1.3函數(shù)的定義域與函數(shù)值*定義域：自變量x的取值范圍，叫做函數(shù)的定義域。在實(shí)際問題中，定義域要根據(jù)具體情況來確定，比如時(shí)間不能為負(fù)，人數(shù)不能為小數(shù)等。在數(shù)學(xué)式子中，要考慮分母不為零、偶次根式被開方數(shù)非負(fù)等。*函數(shù)值：對(duì)于自變量x在定義域內(nèi)的一個(gè)確定的值a，函數(shù)y所對(duì)應(yīng)的value叫做當(dāng)x=a時(shí)的函數(shù)值，記作f(a)或y|x=a。例如，對(duì)于函數(shù)y=2x-1，當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)值y=2×3-1=5，可記作f(3)=5。二、函數(shù)的表示方法：多角度“描繪”函數(shù)函數(shù)關(guān)系是抽象的，我們需要用具體的方法把它表示出來，才能更好地研究和應(yīng)用它。常用的函數(shù)表示方法有三種：解析法、列表法和圖像法。2.1解析法：用數(shù)學(xué)式子“說話”解析法：就是用數(shù)學(xué)式子（等式）來表示兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，這種式子叫做函數(shù)的解析式。例如：y=3x，C=2πr，S=a2(其中a>0)等。*優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確，便于進(jìn)行理論分析和計(jì)算。*缺點(diǎn)：不夠直觀，有時(shí)不易看出函數(shù)的變化趨勢(shì)。2.2列表法：用表格“呈現(xiàn)”對(duì)應(yīng)關(guān)系列表法：就是列出表格來表示兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，表格中通常一行是自變量的值，另一行是對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。例如，某商店售賣筆記本，單價(jià)2元，購買數(shù)量與總價(jià)的關(guān)系可以列表：數(shù)量（本）1234...:-------::---::---::---::---::---:總價(jià)（元）2468...*優(yōu)點(diǎn)：一目了然，能直接看出部分自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使用方便。*缺點(diǎn)：只能列出有限個(gè)對(duì)應(yīng)值，不能反映函數(shù)的整體變化規(guī)律。2.3圖像法：用圖形“展示”變化趨勢(shì)圖像法：就是用圖像來表示兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系。具體來說，是在平面直角坐標(biāo)系中，以自變量x的值為橫坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y為縱坐標(biāo)，描出各個(gè)點(diǎn)(x,y)，然后按照自變量由小到大的順序把這些點(diǎn)連接起來（如果是連續(xù)變化的），所得到的圖形就是函數(shù)的圖像。*優(yōu)點(diǎn)：形象直觀，能清晰地反映出函數(shù)值隨自變量變化的趨勢(shì)（如上升、下降、增減快慢等）。*缺點(diǎn)：所得到的函數(shù)值往往是近似的，不夠精確。在解決實(shí)際問題時(shí)，我們常常需要綜合運(yùn)用這三種表示方法，以便更全面地理解函數(shù)。三、一次函數(shù)：最簡(jiǎn)單也最基礎(chǔ)的函數(shù)八年級(jí)我們學(xué)習(xí)的主要函數(shù)類型是一次函數(shù)，它是研究更復(fù)雜函數(shù)的基礎(chǔ)。3.1一次函數(shù)的定義與解析式一次函數(shù)的定義：一般地，形如y=kx+b（k，b是常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)。其中：*k叫做比例系數(shù)，且k不能為0。*b叫做常數(shù)項(xiàng)。*x是自變量，y是因變量。特別地：當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)y=kx+b就變成了y=kx（k是常數(shù)，k≠0），這時(shí)我們把y叫做x的正比例函數(shù)。正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)。例如：y=2x+3是一次函數(shù)；y=-0.5x是正比例函數(shù)，也是一次函數(shù)；而y=x2，y=1/x就不是一次函數(shù)，因?yàn)樗鼈儾环蟳=kx+b的形式（x的次數(shù)不是1，或者x在分母上）。3.2一次函數(shù)的圖像：一條直線一次函數(shù)的圖像是一條直線。這是一次函數(shù)非常重要的一個(gè)特征。*正比例函數(shù)y=kx的圖像：是經(jīng)過原點(diǎn)(0,0)的一條直線。*一次函數(shù)y=kx+b的圖像：是經(jīng)過點(diǎn)(0,b)且平行于直線y=kx的一條直線。點(diǎn)(0,b)是該直線與y軸的交點(diǎn)，我們稱之為y軸截距，簡(jiǎn)稱截距。畫一次函數(shù)圖像的方法——兩點(diǎn)法：因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，所以畫一次函數(shù)的圖像時(shí)，我們只需要找出它圖像上的兩個(gè)點(diǎn)，然后過這兩點(diǎn)畫一條直線即可。*對(duì)于正比例函數(shù)y=kx，通常取(0,0)和(1,k)兩點(diǎn)。*對(duì)于一般的一次函數(shù)y=kx+b，通常取它與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)：*與y軸的交點(diǎn)：令x=0，得y=b，即點(diǎn)(0,b)。*與x軸的交點(diǎn)：令y=0，得kx+b=0，解得x=-b/k(k≠0)，即點(diǎn)(-b/k,0)。當(dāng)然，也可以選取計(jì)算更簡(jiǎn)便的其他點(diǎn)。3.3一次函數(shù)的性質(zhì)：k和b的“秘密”一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的性質(zhì)，主要由k和b的取值來決定。1.比例系數(shù)k的作用：*k的符號(hào)決定函數(shù)的增減性：*當(dāng)k>0時(shí)，直線y=kx+b從左到右上升，y隨x的增大而增大。*當(dāng)k<0時(shí)，直線y=kx+b從左到右下降，y隨x的增大而減小。*|k|的大小決定直線的傾斜程度：k的值越大，直線越“陡”；k2.常數(shù)項(xiàng)b的作用：*b決定了直線y=kx+b與y軸的交點(diǎn)位置。*當(dāng)b>0時(shí)，直線與y軸交于正半軸（x軸上方）。*當(dāng)b=0時(shí)，直線經(jīng)過原點(diǎn)（正比例函數(shù)）。*當(dāng)b<0時(shí)，直線與y軸交于負(fù)半軸（x軸下方）。結(jié)合k和b的符號(hào)，我們可以大致判斷一次函數(shù)圖像經(jīng)過的象限：*k>0,b>0：直線經(jīng)過第一、二、三象限。*k>0,b=0：直線經(jīng)過第一、三象限（正比例函數(shù)）。*k>0,b<0：直線經(jīng)過第一、三、四象限。*k<0,b>0：直線經(jīng)過第一、二、四象限。*k<0,b=0：直線經(jīng)過第二、四象限（正比例函數(shù)）。*k<0,b<0：直線經(jīng)過第二、三、四象限。3.4一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式的關(guān)系一次函數(shù)與我們之前學(xué)習(xí)的一元一次方程、一元一次不等式有著密切的聯(lián)系。*一次函數(shù)與一元一次方程：解方程kx+b=0（k≠0），從函數(shù)的角度看，就是求當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b的函數(shù)值y=0時(shí)，自變量x的值。反映在圖像上，就是直線y=kx+b與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。*一次函數(shù)與一元一次不等式：解不等式kx+b>0（或kx+b<0）（k≠0），從函數(shù)的角度看，就是求當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b的函數(shù)值y>0（或y<0）時(shí)，自變量x的取值范圍。反映在圖像上，就是找出直線y=kx+b在x軸上方（或下方）部分所對(duì)應(yīng)的x的取值范圍。這種“數(shù)形結(jié)合”的思想，是解決函數(shù)問題的重要方法，同學(xué)們要慢慢體會(huì)和掌握。四、一次函數(shù)的應(yīng)用：用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題學(xué)習(xí)函數(shù)的最終目的是為了應(yīng)用它來解決實(shí)際問題。一次函數(shù)在生活中有著廣泛的應(yīng)用，如行程問題、工程問題、利潤問題、計(jì)費(fèi)問題等等。解決這類問題的一般步驟是：1.審題：仔細(xì)閱讀題目，理解題意，找出題目中的已知量和未知量，明確它們之間的關(guān)系。2.設(shè)元：根據(jù)題意，設(shè)出適當(dāng)?shù)淖宰兞縳和函數(shù)y。3.列函數(shù)關(guān)系式：根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b。4.確定解析式：利用題目中給出的條件（通常是兩組對(duì)應(yīng)值或兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)），求出k和b的值，從而確定函數(shù)解析式。5.利用函數(shù)解決問題：根據(jù)求出的函數(shù)解析式，結(jié)合題目要求，解決提出的實(shí)際問題（如求值、求最值、判斷趨勢(shì)等）。6.檢驗(yàn)與作答：檢驗(yàn)所求結(jié)果是否符合題意，然后寫出完整的答案。在解決實(shí)際問題時(shí)，要特別注意自變量的取值范圍，它不僅要使函數(shù)解析式有意義，更要符合實(shí)際問題的背景。五、學(xué)習(xí)函數(shù)的幾點(diǎn)建議函數(shù)概念比較抽象，初學(xué)者可能會(huì)感到有些困難。這里給同學(xué)們幾點(diǎn)學(xué)習(xí)建議：1.深刻理解概念：不要死記硬背定義，要通過具體的例子和情境來理解變量、常量、對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域、函數(shù)值等基本概念。2.重視圖像的作用：“數(shù)形結(jié)合”是學(xué)習(xí)函數(shù)的靈魂。多畫圖，多觀察圖像，從圖像中獲取信息，理解函數(shù)的性質(zhì)。3.勤于練習(xí)，善于總結(jié)：通過適量的練習(xí)來鞏固知識(shí)，掌握方法。