山西省運城市中學東校2022年高三數(shù)學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a7=9a3，則=（）A．9 B．5 C． D．參考答案：A【考點】等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】利用等差數(shù)列的通項及求和公式，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}，a7=9a3，∴a1+6d=9（a1+2d），∴a1=﹣d，∴==9，故選：A．【點評】本題考查等差數(shù)列的通項及求和公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．2.已知F1和F2分別是橢圓C：+y2=1的左焦點和右焦點，點P（x0，y0）是橢圓C上一點，切滿足∠F1PF2≥60°，則x0的取值范圍是（）A．[﹣1，1] B．[﹣，] C．[1，] D．[，]參考答案：B【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】設當點P在第一象限時，求出∠F1PF2=60°時，PF2的大小，由焦半徑公式的PF2=a﹣ex0解得x0，根據(jù)對稱性，則x0的取值范圍【解答】解：∵a=，b=1，∴c=1．設當點P在第一象限時，|PF1|=t1，|PF2|=t2，則由橢圓的定義可得：t1+t2=2…①在△F1PF2中，當∠F1PF2=60°，所以t12+t22﹣2t1t2?cos60°=4…②，由①﹣②得t2=，由焦半徑公式的a﹣ex0=，解得x0=，當點P向y軸靠近時，∠F1PF2增大，根據(jù)對稱性，則x0的取值范圍是：[﹣，]故選：B【點評】本題考查了橢圓的性質(zhì)及焦點三角形的特征，屬于中檔題．3.

對a、b∈R，記函數(shù)的最小值是（

）A．0

B．

C．

D．3參考答案：C4.設，，，則（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】先利用對數(shù)的運算性質(zhì)將化成以2為底的對數(shù)，再利用對數(shù)的單調(diào)性即可得出的大小?！驹斀狻浚?，故選A?！军c睛】本題主要考查對數(shù)的運算性質(zhì)以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應用。5.某中學有高中生3500人，初中生1500人，為了解學生的學習情況，用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為n的樣本，已知從高中生中抽取70人，則n為（）A．100 B．150 C．200 D．250參考答案：A考點：分層抽樣方法．

專題：概率與統(tǒng)計．分析：計算分層抽樣的抽取比例和總體個數(shù)，利用樣本容量=總體個數(shù)×抽取比例計算n值．解答：解：分層抽樣的抽取比例為=，總體個數(shù)為3500+1500=5000，∴樣本容量n=5000×=100．故選：A．點評：本題考查了分層抽樣方法，熟練掌握分層抽樣方法的特征是關(guān)鍵．6.函數(shù)的定義域為(

)A．（﹣4，﹣1） B．（﹣4，1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，1]參考答案：C【考點】對數(shù)函數(shù)的定義域；函數(shù)的定義域及其求法．【專題】計算題．【分析】由題意知，解得﹣1＜x＜1，由此能求出函數(shù)的定義域．【解答】解：由題意知，函數(shù)的定義域為，解得﹣1＜x＜1，故選C．【點評】本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域，解題時要注意不等式組的解法．7.已知長方體中，，為的中點，則點到平面的距離為A．1

B．

C．

D．2參考答案：A略8.運行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果S=（）A．14 B．30 C．62 D．126參考答案：C【考點】程序框圖．【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的S，k的值，當k=6時，不滿足條件k≤5，退出循環(huán)，計算輸出S的值．【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得k=1，S=0滿足條件k≤5，S=2，k=2滿足條件k≤5，S=6，k=3滿足條件k≤5，S=14，k=4滿足條件k≤5，S=30，k=5滿足條件k≤5，S=62，k=6不滿足條件k≤5，退出循環(huán)，輸出S的值為62，故選：C．【點評】本題主要考查了程序框圖和算法，依次寫出每次循環(huán)得到的S，k的值是解題的關(guān)鍵，是基礎題．9.設dx.當a≥0時，則f(a)的最小值為()．(A) (B)(C) (D)無最小值參考答案：B略10.一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；由三視圖求面積、體積．【分析】該幾何體為正八面體，即兩個全等的正四棱錐，棱長為1，棱錐的高為，即可求出體積【解答】解：該幾何體為正八面體，即兩個全等的正四棱錐，棱長為1，棱錐的高為，所以，其體積為：2×（1×1）×=，故選：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（4分）在平面內(nèi)，三角形的面積為S，周長為C，則它的內(nèi)切圓的半徑γ=．在空間中，三棱錐的體積為V，表面積為S，利用類比推理的方法，可得三棱錐的內(nèi)切球（球面與三棱錐的各個面均相切）的半徑R=．參考答案：【考點】：類比推理；棱錐的結(jié)構(gòu)特征．【專題】：壓軸題；規(guī)律型．【分析】：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）．常用的思路有：由平面圖形中點的性質(zhì)類比推理出空間里的線的性質(zhì)，由平面圖形中線的性質(zhì)類比推理出空間中面的性質(zhì)，由平面圖形中面的性質(zhì)類比推理出空間中體的性質(zhì)．但由于類比推理的結(jié)果不一定正確，故我們還需要進一步的證明．解：結(jié)論：若三棱錐表面積為S，體積為V，則其內(nèi)切球半徑r=”證明如下：設三棱錐的四個面積分別為：S1，S2，S3，S4，由于內(nèi)切球到各面的距離等于內(nèi)切球的半徑∴V=S1×r+S2×r+S3×r+S4×r=S×r∴內(nèi)切球半徑r=故答案為：．【點評】：本題考查的知識點是類比推理、棱錐的結(jié)構(gòu)特征，在由平面圖形的性質(zhì)向空間物體的性質(zhì)進行類比時，常用的思路有：由平面圖形中點的性質(zhì)類比推理出空間里的線的性質(zhì)，由平面圖形中線的性質(zhì)類比推理出空間中面的性質(zhì)，由平面圖形中面的性質(zhì)類比推理出空間中體的性質(zhì)．12.如圖所示是某市2017年4月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，某同志隨機選擇4月1日至4月12日中的某一天到達該市，并停留3天．該同志到達當日空氣質(zhì)量重度污染的概率

．參考答案：

13.已知的概率為＿＿＿＿＿參考答案：略14.已知平面向量，滿足||=3，||=2，與的夾角為60°，若（﹣m）⊥，則實數(shù)m=

．參考答案：3【考點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系．【分析】由題意可得=3×2×cos60°=3，（）?=﹣m=9﹣m×3=0，解方程求得實數(shù)m的值．【解答】解：由題意可得=3×2×cos60°=3，（）?=﹣m=9﹣m×3=0，∴m=3，故答案為：3．15.已知實數(shù)x，y滿足，則的取值范圍為

.參考答案：畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，表示可行域內(nèi)的點與點連線的斜率。由圖形知，。結(jié)合圖形可得或，故的取值范圍為。

16.若的值是

。參考答案：略17.已知F是拋物線y2＝4x的焦點，A，B是拋物線上兩點，若△AFB是正三角形，則△AFB的邊長為________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線的頂點在原點，焦點為F（0，1），過拋物線上的異于頂點的不同兩點A、B作拋物線的切線AC、BD，與y軸分別交于C、D兩點，且AC與BD交于點M，直線AD與直線BC交于點N。（1）求拋物線的標準方程；（2）判斷直線MN的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由。（3）若直線MN與y軸的交點恰為R（0，2），求證：直線AB過定點。

參考答案：略19.（本小題滿分12分）已知數(shù)列中，（常數(shù)），是其前項和，且.（1）試確定數(shù)列是否為等差數(shù)列，若是，求出其通項公式；若不是，說明理由；（2）令.參考答案：【知識點】數(shù)列的應用；數(shù)列的求和；數(shù)列與不等式的綜合．D4D5（1）是，；（2）見解析.解析：（1）令可得，即，所以，…1分，可得，當成立，

………3分當時，兩邊相乘可得，所以，

………5分顯然當時，滿足上式，所以數(shù)列是等差數(shù)列，其通項公式為.

………6分（2）由（1）可知，從而可得，

………7分，

………9分因為均大于0，所以，………10分而是關(guān)于的增函數(shù)，所以，所以，故.

………12分【思路點撥】（1）遞推式中令n=1，即得a=0；由遞推式，再寫一式，兩式相減，可得，再用疊乘法，可得數(shù)列{an}是等差數(shù)列，從而可求通項公式；（2）確定得，利用裂項法，即可證得結(jié)論．20.（本小題滿分12分）如圖，ABCD為梯形，平面ABCD，AB//CD，，E為BC中點，連結(jié)AE，交BD于O.（I）平面平面PAE（II）求二面角的大小（若非特殊角，求出其余弦即可）參考答案：(Ⅰ)

連結(jié),所以為中點,所以,因為,所以與為全等三角形所以所以與為全等三角形所以在中,,即………………3分又因為平面,平面所以……………4分而所以平面………5分因為平面所以平面平面……6分(Ⅱ)以為原點,分別以所在直線為軸,建立空間直角坐標系如圖二面角即二面角平面,平面的法向量可設為……………7分設平面的法向量為所以,而即:,可求得………………10分所以兩平面與平面所成的角的余弦值為………………12分21.已知函數(shù)．（Ⅰ）若在處取得極值，求實數(shù)的值；（Ⅱ）若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）由，得.經(jīng)檢驗，當時取到極小值，故.（Ⅱ）由，即對任意恒成立.（1）當時，有；（2）當時，得令，得；若，則；若，則.得在上遞增，在上遞減。故的最大值為所以綜合（1）（2）得22.如圖，等腰△ABC中，AB=BC=5，AC=6，點E，F(xiàn)分別在AB，BC上，AE=CF=，O為AC邊上的中點，EF交BO于點H，將△BEF沿EF折到△B′EF的位置，OB′=．（1）證明：B′H⊥平面ABC；（2）求二面角B﹣B′A﹣C的余弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）證明EF⊥B′H，B′H⊥OH，即可得到B′H⊥平面ABC．（2）以H為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，求出法向量，利用向量法求解．【解答】解：（1）證明：∵△ABC是等腰三角形，且AB=BC，又，∴，則EF∥AC．又由AB=BC，得AC⊥BO，則EF⊥BO，∴EF⊥BH，故H為EF中點，則EF⊥B′H，∵AC=6，∴AO=3，又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴，則BH=B′H=3，∴|OB'|