數(shù)學模型概述2.1數(shù)學模型的定義和分類2.2數(shù)學模型的建立2.2.1建立數(shù)學模型的過程2.2.2對模型的基本要求2.2.3數(shù)學模型的驗證和誤差分析2.3Excel在建立數(shù)學模型的應(yīng)用2.3.1污水處理的線性回歸分析2.3.2結(jié)構(gòu)分析和曲線擬合2.3.3用Excel進行參數(shù)估計/e/1數(shù)學模型的定義和分類定義:如果一個事物M與另一個事物S之間，滿足兩個條件：M中包含有一些元素(分量)，每個元素(分量)分別對應(yīng)和代表S中的一個元素(分量)；M中的上述分量之間應(yīng)存在一定的關(guān)系，這種個關(guān)系可以用于與S的分量間關(guān)系進行類比。我們則將事物M稱為事物S的模型。滿足上述模型條件的具體數(shù)學表達式和算法叫做數(shù)學模型。模型的形式模型抽象模型具體模型數(shù)學模型:方程式,函數(shù),邏輯式圖象模型:流程圖,方向圖,框圖；計算機程序:計算程序,模擬程序相似模型:(實物放大縮小)建筑模型，風洞實驗?zāi)Ｐ湍M模型:電模擬模型討論題用建立數(shù)學模型的方法討論，用一盆水清洗衣服和將該盆水分成兩個半盆水來洗衣服，哪個效果好。

定義：M中包含有一些元素(分量)，每個元素(分量)分別對應(yīng)和代表S中的一個元素(分量)；M中的上述分量之間應(yīng)存在一定的關(guān)系，這種個關(guān)系可以用于與S的分量間關(guān)系進行類比。設(shè)，一盆水水量L，衣服中污染物質(zhì)量M，余水量L1，殘余物比較；物理簡化法；數(shù)學簡化法。2.2數(shù)學模型的建立2.2.1建立數(shù)學模型的過程2.2.2對模型的基本要求2.2.3數(shù)學模型的驗證和誤差分析建立數(shù)學模型的步驟觀測數(shù)據(jù)組Ⅰ模型結(jié)構(gòu)選擇模型應(yīng)用觀測數(shù)據(jù)組Ⅱ參數(shù)估計檢驗與驗證圖2-2模型的結(jié)構(gòu)選擇(1)白箱模型根據(jù)對系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的了解,以客觀事物變化遵循的物理化學定律為基礎(chǔ)，經(jīng)邏輯演繹而建立起的模型是機理模型。這種建立模型的方法叫演繹法。機理模型具有唯一性。(2)灰箱模型即半機理模型。在建立環(huán)境數(shù)學模型的過程中,幾乎每個模型都包含一個或多個待定參數(shù),這些待定參數(shù)一般無法由過程機理來確定。通常要借助于觀測數(shù)據(jù)或?qū)嶒灲Y(jié)果。(3)黑箱模型即輸入-輸出模型。需要大量的輸入,輸出數(shù)據(jù)以獲得經(jīng)驗?zāi)Ｐ?。它們可在日常例行觀察中積累,也可由專門實驗獲得。根據(jù)對系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)的觀測,在數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)上建立起經(jīng)驗?zāi)Ｐ偷姆椒ㄓ纸袣w納法。經(jīng)驗?zāi)Ｐ筒痪哂形ㄒ恍浴?.3Excel在建立數(shù)學模型的應(yīng)用2.3.1污水處理的線性回歸分析2.3.2結(jié)構(gòu)分析和曲線擬合2.3.3用Excel進行參數(shù)估計污水處理的線性回歸分析例2-2某污水處理廠提供的3、4月份的日常監(jiān)測臺帳如表2-4所示，試根據(jù)3月份的數(shù)據(jù)建立其出水COD對應(yīng)入水COD的線性回歸模型，然后用4月份的數(shù)據(jù)進行驗證。

表2-5出水COD對應(yīng)入水COD回歸統(tǒng)計結(jié)果結(jié)構(gòu)分析和曲線擬合例2-3十二胺降解實驗數(shù)據(jù)如表2-7所示，使用Excel工作表進行曲線擬合。

表2-7十二胺降解實驗數(shù)據(jù)解：在趨勢線命令中分別選擇模型結(jié)構(gòu)形式為線性和指數(shù)模型，擬合結(jié)果如圖2-8所示。指數(shù)模型又分別指定和不指定是否必須通過初始濃度2.3mg/L。注意在圖2-7中有個選項頁，如果需要在圖中顯示出模型的表達式、R2，或者需要限制趨勢線必須通過初始濃度標記的函數(shù)點，均在選項頁進行操作。2.3.3用Excel進行參數(shù)估計用Copy計算式結(jié)合多元線性回歸進行復(fù)雜模型參數(shù)估值

例2-4根據(jù)對某一種反應(yīng)的分析，獲得灰箱模型為：試根據(jù)表2-8所示的一組實驗觀測值，進行灰箱模型的參數(shù)估值，并討論其是否可信。解：首先建立Excel的工作表，輸入已知的實驗數(shù)據(jù)，在新的兩列中分別通過輸入計算式和用Copy命令求得對應(yīng)的x10.5和ln(x2)，該反應(yīng)測定的原始實驗數(shù)據(jù)和兩列中間計算結(jié)果均列入表2-8。

用最優(yōu)化方法進行復(fù)雜模型的參數(shù)估值使用Excel電子表格，對于因變量y相應(yīng)于自變量X（可以是包含多個元素的向量）的試驗或觀測數(shù)據(jù)，由經(jīng)驗給定參數(shù)的初值開始，計算計算值與觀測值之間的誤差，用最優(yōu)化方法進行參數(shù)估值，使該參數(shù)取值條件下誤差的平方和最小。

例2-5已知河流平均流速為4.0km／h，飽和溶解氧(DO)為lO.Omg／L，河流起點的BOD(L0)濃度為20mg／L，沿程的溶解氧(ＤＯ)的測定數(shù)據(jù)如下：第二章數(shù)學模型概述學習難點的闡述通過例題例2-2學習，進一步闡述該學習難點，用具體計算和圖形展示誤差的取值、累積頻率曲線；認識中值誤差(累積頻率為50％)的概念和采用來作為衡量模型精確度的度量。掌握數(shù)學建模方法。誤差的累積頻率誤差mg/L第二章數(shù)學模型概述學習要點為：(1)

滿足模型條件的數(shù)學表達式和算法叫做數(shù)學模型，它具有高度的抽象性和經(jīng)濟性。環(huán)境系統(tǒng)工程中的數(shù)學模型是應(yīng)用數(shù)學語言和方法來描述環(huán)境污染過程中的物理、化學、生物化學、生物生態(tài)以及社會等方面的內(nèi)在規(guī)律和相互關(guān)系的數(shù)學方程。(2)

數(shù)學模型的建立過程包括：數(shù)據(jù)的搜集和初步分析、模型的結(jié)構(gòu)選擇、估計模型的參數(shù)以及模型的檢驗和修正等。(3)

MicrosoftExcel提供了一組數(shù)據(jù)