第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)1.2常用邏輯用語(yǔ)充分條件、必要條件

第1課時(shí)充分條件,必要條件?素養(yǎng)導(dǎo)引.能從教材實(shí)例中抽象出充分條件、必要條件及充要條件的意義.(數(shù)學(xué)抽象).能進(jìn)行充分條件、必要條件及充要條件的判斷與證明.(邏輯推理).能從教材實(shí)例中抽象出充分條件與判定定理,必要條件與性質(zhì)定理的關(guān)系，通過(guò)充分性、必要性解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.(數(shù)學(xué)抽象.邏輯推理)充分條件與必要條件〃若P,則〃若P,則q〃為真命題“若P廁q〃為

假命題讀法P推出qP推不出q條件P是q的充分條件P不是q的充分條件

關(guān)系q是P的必要條件q不是P的必要條件【批注】在邏輯推理中〃=9還可以有以下五種表述形式：(l)P=4；(2)p是q的充分條件；(3%的充分條件是p；(4加是p的必要條件;(5)p的必要條件是q.［診斷］.辨析記憶(對(duì)的打，錯(cuò)的打“x”).(1)“k5”是比2二25"的必要條件.(x)提示：“(二25”分“工二5”.(2)七＞0"是匕＞1”的充分條件.(x)提示：匕>0"分匕>1".(3攻口果p是q的充分條件，則p是唯一的.(x)提示：不唯一，如x>3，工>5，心>10等都是Q0的充分條件..(教材P31例1改編)“〃》「'是“〃的條件.【解析】由于(1,+8)包含(2,+8),故“心1”是“心2”的必要條件.答案：必要學(xué)習(xí)任務(wù)一充分條件的判斷(邏輯推理).(多選題)下列命題中，〃是q的充分條件的是()A.p：。是無(wú)理數(shù),q：a2是無(wú)理數(shù)B.p：四邊形為等腰梯形，q:四邊形對(duì)角線相等C.p：x>2,q：x>\D.p：〃>/?,［：ac2>be2【解析】選BC.A中，々二也是無(wú)理數(shù)，足=2是有理數(shù)，所以p不是q的充分條件；B中，因?yàn)榈妊菪蔚膶?duì)角線相等，所以〃是q的充分條件；C中，x>2=>x>l,所以p是q的充分條件；D中,當(dāng)c=0時(shí)二，所以〃不是夕的充分條件..判斷下列各題中，p是否是q的充分條件：(l)p:f=產(chǎn)，q:x=>\(2)p：一元二次方程ajc2+hx+c=()有實(shí)數(shù)根,q：h2-4ac>0.(3)p:整數(shù)a能被4整除，q：整數(shù)。的個(gè)位數(shù)字為偶數(shù).(4)P：(x-1)2+6,-2)2=0,q：a-1)6,-2)=0.【解析】⑴若(二丁，貝(U二y或x=-y,因此〃會(huì)明所以〃不是夕的充分條件.⑵若一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則根的判別式大于等于。，即〃-4*0,所以p=>,所以〃是q的充分條件.⑶若整數(shù)a能被4整除，則。是偶數(shù)，所以。的個(gè)位數(shù)字為偶數(shù)，所以〃=4,所以〃是4的充分條件.(4)因?yàn)?x-1)2+()，-2)2=()=x=1且y=2=(x-l)(y-2)=(),所以〃,所以〃是q的充分條件..充分條件的判斷方法.除了用定義判斷充分條件還可以利用集合間的關(guān)系判斷，若〃構(gòu)成的集合為A,q構(gòu)成的集合為8,故3,則"是q的充分條件.學(xué)習(xí)任務(wù)二必要條件的判斷(邏輯推理)【典例】1.使x>l成立的一個(gè)必要條件是。A.x>0B.x>3C.x>2D.x<2【解析】選A.只有l(wèi)=x>0,其他選項(xiàng)均不可由1推出.2.判斷下列各題中，g是否是〃的必要條件：(Dp：。是1的平方根,q：。=1.(2)p：Ax2-mx+9是完全平方式，q:m=12.(3)p:a是無(wú)理數(shù)，g：Q是無(wú)限小數(shù).(4)p：。與人互為相反數(shù),q：a與b的絕對(duì)值相等.【解析】(1)1的平方根是±1,所以〃19,所以q不是〃的必要條件.(2)因?yàn)?f-%猶+9=(2x±3>,所以m=±12,所以p?q,所以q不是〃的必要條件.⑶因?yàn)闊o(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，所以〃=9,所以4是〃的必要條件.(4)若a與b互為相反數(shù)，則。與b的絕對(duì)值相等，所以p=q.所以q是〃的必要條件.I.必要條件的判斷方法2.也可利用集合的關(guān)系判斷，如條件甲匕條件乙)￡夕，若A3B,則甲是乙的必要條件.【補(bǔ)償訓(xùn)練】指出下列哪些命題中9是P的必要條件？(Dp：一個(gè)四邊形是矩形，q:四邊形的對(duì)角線相等；(2)p:AQB,q：AC\B-A；(3)p\a>htq\ac>he.【解析】⑴因?yàn)榫匦蔚膶?duì)角線相等，所以ty是〃的必要條件.(2)因?yàn)椤?q,所以g是〃的必要條件.(3)因?yàn)閜^q,所以q不是p的必要條件.學(xué)習(xí)任務(wù)三充分條件與必要條件的應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】已知p：實(shí)數(shù)x滿足九<x<a,其中〃<()；9：實(shí)數(shù)x滿足-2$爛3.若p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.[解題思維]觀察P是q的充分條件聯(lián)想“P中兀素的范圍”U“q中兀素的范圍”轉(zhuǎn)化根據(jù)集合間的關(guān)系進(jìn)行求解【解析】p\3a<x<a,即集合A={x\ia<x<a].q:-2<x<3,即集合B-{x\-2<x<3].〃3介-2,一-2因?yàn)閜=q,所以AQB,所以ja<i,=>-笆〃<0,〃<0..2所以a的取值范圍是jo?鏟。<0\充分條件與必要條件的應(yīng)用技巧⑴應(yīng)用：可利用充分性與必要性進(jìn)行相關(guān)問(wèn)題的求解，特別是求參數(shù)的值或取值范圍問(wèn)題.⑵求解步驟：先把〃，q等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用充分條件、必要條件與集合間的包含關(guān)系，建立關(guān)于參數(shù)的不等式（組）進(jìn)行求解.B^]P=[x\a-4<x<a+4],Q={x\