熱學(xué)

氣體黏性系數(shù)的導(dǎo)出主講：孔紅艷

陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院§3.8氣體輸運(yùn)系數(shù)的導(dǎo)出

前面我們已介紹過(guò)氣體輸運(yùn)現(xiàn)象的宏觀規(guī)律,并說(shuō)明氣體的黏性、熱傳導(dǎo)及擴(kuò)散來(lái)源于不均勻氣體中的無(wú)規(guī)熱運(yùn)動(dòng).在交換分子對(duì)的同時(shí)分別把分子原先所在區(qū)域的宏觀性質(zhì)（動(dòng)量、能量、質(zhì)量）輸運(yùn)到新的區(qū)域.本節(jié)將利用分子碰撞截面及分子平均自由程來(lái)導(dǎo)出氣體輸運(yùn)系數(shù)的表達(dá)式。

◆所討論輸運(yùn)過(guò)程的適用條件:(1)這里的“輸運(yùn)過(guò)程都是近平衡的非平衡”過(guò)程,空間不均勻性（如溫度梯度、速度梯度、分子數(shù)密度梯度）都不大.因而不管分子以前的平均數(shù)值如何,它經(jīng)過(guò)一次碰撞后就具有在新的碰撞地點(diǎn)的平均動(dòng)能、平均定向動(dòng)量及平均粒子數(shù)密度.(2)在這里所討論的氣體是既足夠稀?。怏w分子間平均距離比起分子的大小要大得多,這是理想氣體的特征）,但又不是太稀薄（它不是“真空”中氣體的輸運(yùn)現(xiàn)象,“真空”中氣體的輸運(yùn)現(xiàn)象將在下一節(jié)討論）.§3.8.1氣體黏性系數(shù)的導(dǎo)出一.氣體的黏性系數(shù)在層流流體中,每個(gè)分子除有熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)量外,還疊加上定向動(dòng)量.因?yàn)闊徇\(yùn)動(dòng)動(dòng)量的平均值為零,故只需考慮流體中各層分子的定向動(dòng)量.設(shè)想有一與定向動(dòng)量方向平行,與z軸垂直的某一中性平面,它的z軸坐標(biāo)為z0.如圖所示。2.若再假設(shè)所有從上面（或從下面）穿越z0平面的分子,平均說(shuō)來(lái)都分別是來(lái)自

則:1.在t時(shí)間內(nèi)從上方穿過(guò)

z0平面上的面積元向下運(yùn)動(dòng)的平均分子數(shù)為:假定有n/6個(gè)分子向z0方向運(yùn)動(dòng),每個(gè)分子以平均速率運(yùn)動(dòng)。3.將上面的兩式相減即得從下方通過(guò)z0平面面積向上方凈輸運(yùn)的總動(dòng)量:4.該式除以t即得z0平面內(nèi)的切應(yīng)力,即黏性力:5.考慮到在近平衡的非平衡條件下,氣體定向運(yùn)動(dòng)的速度梯度ux/z較小,另外氣體的壓強(qiáng)也并非很低,因而分子平均自由程并不很大,這說(shuō)明在z方向間距為平均自由程的范圍內(nèi),定向速率的變化ux與ux相比小得多,因而可作泰勒級(jí)數(shù)展開并取一級(jí)近似有:

將它們代入f中可得:6.將上式與牛頓黏性定律比較可得:利用氣體的密度

=mn的關(guān)系,上式可以表示為:二.討論:1.

與

n無(wú)關(guān):和由可以得到:(2)氣體的黏性系數(shù)在溫度一定時(shí)與n(或P)無(wú)關(guān)這一特性首先由麥克斯韋于1860年得出,并由他在實(shí)驗(yàn)上加以證實(shí).2.僅是溫度的函數(shù):若認(rèn)為氣體分子是剛球,有效碰撞截面=d2為常數(shù).將氣體分子平均速率公式代入中可得:說(shuō)明:與T1/2成正比.(1)若n加倍,確實(shí)在z0平面上下之間交換的分子對(duì)數(shù)加倍.但因平均自由程也減半,它只能輸送離z0平面上下距離分別為處的定向動(dòng)量,這樣凈動(dòng)量的輸運(yùn)率仍不變.3.利用可以測(cè)定氣體分子碰撞截面及氣體分子有效直徑的數(shù)量級(jí)。在三個(gè)輸運(yùn)系數(shù)中,實(shí)驗(yàn)最易精確測(cè)量的是氣體的黏性系數(shù),利用黏性系數(shù)的測(cè)量來(lái)確定氣體分子有效直徑是較簡(jiǎn)便的.4.黏性系數(shù)公式的適用條件為:(L為容器的線度)對(duì)于稀薄氣體:它的輸運(yùn)性質(zhì)將在下一節(jié)討論.5.采用不同近似程度的各種推導(dǎo)方法的實(shí)質(zhì)是相同的.上面對(duì)的推導(dǎo)中采用了如下近似:①利用氣體分子碰壁數(shù)公式;②平均說(shuō)來(lái)從上（或下）方穿過(guò)z0平面的分子都是在上下分別相距平均自由程處經(jīng)受一次碰撞的；③未考慮分子從上（或下）方穿過(guò)z0平面時(shí)的碰撞概率.實(shí)際上,即使是更為嚴(yán)密細(xì)致的推導(dǎo),其中仍有一定的近似,其結(jié)果與實(shí)驗(yàn)仍有一定差別,更深層次的討論要利用非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì),其數(shù)學(xué)處理要復(fù)雜得多.所有不同層次的各種推導(dǎo)方法的實(shí)質(zhì)都是相同的,所得結(jié)果其數(shù)量級(jí)一致.對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō),應(yīng)該首先關(guān)心輸運(yùn)系數(shù)與哪些物理量有關(guān)？它的數(shù)量級(jí)是多少？至于公式中的系數(shù),在不影響數(shù)量級(jí)的情況下是次等重要的.

熱學(xué)

氣體熱傳導(dǎo)系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)的導(dǎo)出主講：孔紅艷

陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院§3.8.2氣體熱傳導(dǎo)系數(shù)與擴(kuò)散系數(shù)的導(dǎo)出

一.氣體的熱傳導(dǎo)系數(shù)1.推導(dǎo):氣體熱傳導(dǎo)是在分子熱運(yùn)動(dòng)過(guò)程中交換分子同時(shí)所伴隨的能量傳輸,其討論方法與上節(jié)類同.不同僅是在z軸方向不存在定向運(yùn)動(dòng)速率梯度,而存在溫度梯度.現(xiàn)假設(shè)在及處的溫度分別為:若溫度梯度數(shù)值較小,就可假定恰在離開z0平面上下一個(gè)平均自由程距離處碰撞過(guò)的分子的平均動(dòng)能僅與在碰撞處的溫度有關(guān),它們的溫度分別為:這樣,在z0平面上交換分子對(duì)的同時(shí)也交換了熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能,因而產(chǎn)生了熱量的輸運(yùn).在單位時(shí)間內(nèi),在單位截面上交換的分子對(duì)數(shù)為:因而單位時(shí)間內(nèi),在單位截面上流過(guò)的熱量為:即:或者:(1)因?yàn)槔硐霘怏w內(nèi)能就是熱運(yùn)動(dòng)能量,而理想氣體定體摩爾熱容量為:代入(1)式得:(2)將(2)式與傅里葉定律對(duì)照:可得:利用

=mn關(guān)系,可以得到氣體熱導(dǎo)系數(shù):可見:剛性分子氣體的熱導(dǎo)率與數(shù)密度n無(wú)關(guān),僅與T1/2有關(guān)。2.氣體熱導(dǎo)系數(shù)討論

(1)在熱導(dǎo)率公式推導(dǎo)中沒有考慮到,由于溫度梯度不同,會(huì)在離開z0平面上下平均自由程處會(huì)發(fā)生氣體分子數(shù)密度差異及平均速率的差異,故前面所用的數(shù)據(jù)應(yīng)是與氣體平均溫度所對(duì)應(yīng)的數(shù)密度、密度及平均速率.(2)將及代入中可得:3.氣體熱導(dǎo)率公式適用于溫度梯度較小,滿足如下條件的理想氣體:二.氣體擴(kuò)散系數(shù)的導(dǎo)出:1.類似地可證明理想氣體的擴(kuò)散系數(shù):2.討論:(1)利用平均自由程公式和平均速率的公式,即:可將上式化為:說(shuō)明:剛性分子氣體的擴(kuò)散系數(shù)與黏性系數(shù)不同,它在P一定時(shí)與T3/2成正比,在溫度一定時(shí),又與P成反比.而黏性系數(shù)與P無(wú)關(guān),與T1/2成正比.(2)由上式可看到,在一定的壓強(qiáng)與溫度下,擴(kuò)散系數(shù)D與分子質(zhì)量的平方根成反比.

熱學(xué)

理論與實(shí)驗(yàn)的比較主講：孔紅艷

陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院§3.8.3與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較

下面我們從幾個(gè)方面將初級(jí)理論的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較.1.輸運(yùn)系數(shù)與氣體狀態(tài)參量的函數(shù)關(guān)系:選壓強(qiáng)P和溫度T為獨(dú)立的狀態(tài)參量.則:由于與對(duì)于壓強(qiáng)P的依賴關(guān)系相反,二者的乘積與P無(wú)關(guān),導(dǎo)致和與P無(wú)關(guān).這個(gè)結(jié)論在不經(jīng)理論推導(dǎo)之前并不是顯而易見的.麥克斯韋和邁耶等人曾在幾個(gè)mmHg到幾個(gè)大氣壓的壓強(qiáng)范圍內(nèi)作實(shí)驗(yàn),證實(shí)了這個(gè)推論,這對(duì)當(dāng)時(shí)氣體動(dòng)理論的建立起了重要作用.以上各式表明,,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,,即都比理論預(yù)期的溫度依賴關(guān)系更為顯著.偏差來(lái)自計(jì)算平均自由程時(shí)采用的是剛球模型,在此模型中只考慮了分子間的排斥力.實(shí)際上分子間還有較弱的吸引力,吸引力使分子的碰撞截面對(duì)溫度有一定的依賴關(guān)系.2.三個(gè)輸運(yùn)系數(shù)之間的關(guān)系:以上各式表明:而實(shí)驗(yàn)結(jié)果是:具體數(shù)值都因氣體不同而異.3.輸運(yùn)系數(shù)的數(shù)量級(jí):例1:估算150C時(shí)N2的黏性系數(shù).取N2分子的有效直徑.已知N2的分子量為28.解:實(shí)驗(yàn)測(cè)得150C時(shí)N2的黏性系數(shù),即理論與實(shí)驗(yàn)的數(shù)量級(jí)是符合的.由于三個(gè)輸運(yùn)系數(shù)兩兩之比的數(shù)量級(jí)理論與實(shí)驗(yàn)符合,其它兩個(gè)輸運(yùn)系數(shù)的數(shù)量級(jí)也是對(duì)的.空氣的摩爾質(zhì)量為0.029kg,而空氣密度為:例2:試估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)狀況下空氣的黏性系數(shù),熱導(dǎo)率及擴(kuò)散系數(shù).解:前面已估算出標(biāo)準(zhǔn)狀況下空氣的平均自由程和平均速率分別為:故:在上述計(jì)算中認(rèn)為空氣是剛性分子,它僅有三個(gè)平動(dòng)、兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度,故CV.m=5R/2。將理論結(jié)果:與表3.1,3.2和3.3的結(jié)果:進(jìn)行比較.可見:在數(shù)量級(jí)上無(wú)多大差異,但其數(shù)值有一定偏差,它主要用于估計(jì)數(shù)量級(jí).這也說(shuō)明,前面所介紹的僅是關(guān)于輸運(yùn)過(guò)程微觀分析的初級(jí)理論,它還存在相當(dāng)大局限性.

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