模型思想八里莊小學郝莉娜模型思想的概念

數(shù)學模型是用數(shù)學語言概括地或近似地描述現(xiàn)實世界事物地特征，數(shù)量關系和空間形式的一種數(shù)學結構。從廣義角度講，數(shù)學的概念，定理，規(guī)律，法則，公式，性質，數(shù)量關系式，圖表，程序等都是數(shù)學模型。

目錄模型思想的歷史演進及其發(fā)展1小學數(shù)學教學中滲透模型思想的思考

2內容概述模型的發(fā)展歷程及其概念數(shù)學模型的發(fā)展歷程及其概念新課標中的“模型思想”模型思想的歷史演進及其發(fā)展模型的發(fā)展歷程把模型運用于科學研究和工程設計的思想和實踐，可以追溯到遙遠的古代。在古代，人們在發(fā)明創(chuàng)造之前，一般總要提出設想，然后常常利用縮小的(或放大的)及簡化的實物(用竹片，木材等材料制成)試試看，如果可行，再實際制造，使設想變成現(xiàn)實。有時，也利用與實物大體相似的模型進行研究。近些年來，在自然科學、工程技術和社會科學的許多領域中，定量的系統(tǒng)分析、系統(tǒng)綜合已受到人們越來越多的重視。模型是開展這些工作的有效工具，模型化則是開展這些工作的前提和基礎。模型的發(fā)展歷程古埃及建造的金字諾，歷時五千年之久，現(xiàn)在依然屹立在尼羅河畔。這樣巨大的建筑，在施工前沒有周密計算、設計、模型試驗，是絕不會成功的。約一千八百年前，張衡（89—139)造渾天儀時，曾用足篾（竹皮）做模型，叫作“小渾”，用以代替青銅渾儀研究天象。約一千年前，喻皓在主持建造一座十三層大型寶塔之前，先請畫家郭宗恕試造模型，叫作“小樣”，研究模型后，發(fā)現(xiàn)以“末底一級折而計之，至上層余一尺五寸，收殺不得”。喻皓“數(shù)夕不寐，以尺較之，果如其言”。于是依照修改的模型施工，收到了良好結果。模型的概念模型，英文叫做model，是規(guī)范，原型的意思。清段玉裁注《說文》時說過“以木曰模，以金曰熔，以土曰型，以竹曰范，皆法也”。我們這里指對某種事物原型的一種抽象和模仿。原型是人們在現(xiàn)實世界中所關心和研究的實際對象，或者是人們所從事和研究的實際對象。這些實際對象在科技領域通常用系統(tǒng)、過程等詞匯。例如機械系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)以及鋼鐵冶煉過程、導彈飛行過程、化學反應過程、污染擴散過程、計劃決策過程等。所以，一切研究對象、現(xiàn)實對象、實際問題等都是原型。模型的概念一切客觀存在的事物及其運動形態(tài)統(tǒng)稱為實體。模型是對實體的特征及其變化規(guī)律的一種表示或者抽象，而且往往是對實體中那些所要研究的特定的特征定量的抽象，可以說，模型是把對象實體通過適當?shù)倪^濾，用適當?shù)谋憩F(xiàn)規(guī)則描繪出的簡潔的模仿品，通過這個模仿品，人們可以了解到所研究實體的本質，而且在形式上便于人們對實體進行分析和處理。也就是說，模型是人們?yōu)榱四撤N特定的目的而將原型的某一部分信息加以簡略和提煉而構建出來的這個原型的某個代替物。數(shù)學模型的發(fā)展歷程數(shù)學模型起源于社會實踐活動。從數(shù)學的發(fā)展史看，那些最初的數(shù)學問題皆起源于經驗，如巴比倫人在天文觀察、土地丈量和貿易中形成的位置觀念和六十進位數(shù)系，我國的《九章算術》等。《九章算術》中收集了方田、粟米、衰（cuī）分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股共九章計246個問題，幾乎包括了當時社會生活的各個方面?！毒耪滤阈g》的理論包括“題”“答”“術”三部分，其中“術”是解決實際問題的方法，即數(shù)學建模。從中可以看出古人從實際生活中分析數(shù)量關系，建立數(shù)學模型的活動。歐拉和哥尼斯堡七橋問題18世紀，東普魯士哥尼堡有條普雷格爾河，河中有七座橋，連著兩岸（A，B）和兩個小島（C，D），每天傍晚位于島C的哥尼斯堡大學的學生們總在七座橋附近散步欣賞美麗風光。漸漸大家熱衷于一個問題，即一個散步者，如何才能不重復地一次走遍七座橋并返回出發(fā)點？歐拉和哥尼斯堡七橋問題歐拉首先想到的是用窮舉法，就是把所有的走法都一一列出來，然后再一個一個的驗證是否可行。但是他馬上發(fā)現(xiàn)這樣做太麻煩了，因為對七座橋的不同走法就有7！=5040種，逐一檢驗太耗時費力了，況且這樣的方法沒有通用性。如果橋的位置或橋的數(shù)量發(fā)生變化，豈不又得重新檢驗？看來此法不可行。歐拉和哥尼斯堡七橋問題歐拉把這個問題作了數(shù)學化處理。他把兩岸和兩島都抽象成點，把橋化為邊，兩點之間有邊相連，并且僅當這兩點所代表地區(qū)有橋相連接，于是這個問題的解就成了能否筆不離開紙、不重復地將上圖一筆畫成的問題。1936年歐拉向彼得堡科學院遞交了一份題為《哥尼斯堡的七座橋》的論文，用他找到的一筆畫的數(shù)學模型的否定方式解決了這個問題。歐拉和哥尼斯堡七橋問題如果一個圖形能一筆畫成，那么除去起點和終點外，其他的點都是經過點。而經過點是有進有出的點，即有一條線進這個點，就一定有一條線出這個點。不可能有進無出，如果有進無出，它就是終點；也不可能有出無進，如果有出無進它就是起點。因此，在經過點進出的線總數(shù)應該是偶數(shù)。我們稱在一個點進出線的總數(shù)是偶數(shù)的點為偶點；總數(shù)為奇數(shù)的點稱為奇點。如果起點和終點是同一個點，那么它也屬于有進有出的點，它也是偶點這樣圖上的點全是偶點。如果起點和終點不是同一個點，那么它們必定是奇點。因此，能夠一筆畫的圖形最多只有兩個奇點。七橋問題中的四個點全是奇點，當然不能一筆畫，即不可能一次無重復地走完七座橋。一般地說，如果圖中的點全是偶點，那么可以任意選擇一個點作為起點，當然終點與起點重合，能一筆畫成；如果圖中有兩個奇點，那么可以任意選一個奇點作為起點，另一個奇點為終點，可以一筆畫成。歐拉的這個研究成果，開創(chuàng)了圖論和拓撲學這兩門新的學科。數(shù)學模型的概念歐拉為解決七座橋問題建立了“一筆畫的判別模型”——數(shù)學模型。所謂“數(shù)學模型”，就是用數(shù)學語言和方法，對各種實際對象作出抽象和模擬而成一種數(shù)學結構，這種數(shù)學結構必須借助于數(shù)學概念和數(shù)學符號來描述一種純關系的結構。所謂純關系結構，是指已經揚棄了一切與關系無本質聯(lián)系的屬性后的系統(tǒng)而言，所以在數(shù)學模型的形成過程中，已經用了抽象分析法。也可以說，抽象分析法是構造數(shù)學模型的基本手段。數(shù)學模型的概念對“數(shù)學模型”通常有廣義和狹義兩種理解。從廣義上講，數(shù)學中的各種基本概念，如實數(shù)、向量、集合、群、環(huán)、域、范疇、線性空間、拓撲空間等等都可以叫做數(shù)學模型，因為他們都是以各自相應的現(xiàn)實模型（實體）作為背景而加以抽象出來的最基本的數(shù)學概念。這些可稱為原始的數(shù)學模型。例1歐氏幾何是關于直覺空間形體（剛體運動下圖形結構不變的形體）關系分析的數(shù)學模型。數(shù)學模型的概念例2自然數(shù)1，2，3，…，n,…是用以描述離散數(shù)量的數(shù)學模型。例3每一個代數(shù)方程式或數(shù)學公式也都是一個數(shù)學模型。例如，ax2+bx+c=0就是一類具體應用問題的數(shù)學模型。總之，按廣義的解釋，凡一切數(shù)學概念、數(shù)學理論體系、各種數(shù)學公式、各種方程式（代數(shù)方程、函數(shù)方程、微分方程、積分方程、差分方程……）以及由公式系列構成的算法系統(tǒng)等等都可稱之為數(shù)學模型。數(shù)學模型的概念但按狹義的解釋，只有反映特定問題或特定的具體事物的系統(tǒng)的數(shù)學關系結構，也就是只有像七座橋問題中抽象得到的一筆畫問題才能叫“數(shù)學模型”。例如，在應用數(shù)學中，數(shù)學模型一詞通常都做狹義的解釋，而構造數(shù)學模型的目的就是為了解決具體實際問題。將所考察的實際問題抽象為數(shù)學問題，構造出相應數(shù)學模型，通過對數(shù)學模型的研究和解答，使原來的實際問題得以解決的方法叫做“數(shù)學模型方法”。新課標中的“模型思想”修訂后的《標準》將數(shù)學基本思想作為“四基”之一提出，必然引出這樣的問題：數(shù)學基本思想主要指哪些思想呢？現(xiàn)在模型思想作為10個核心概念中唯一一個以“思想”指稱的概念，這實際上已經明示它是數(shù)學基本思想之一。知識領域知識點應用舉例數(shù)與代數(shù)數(shù)的表示自然數(shù)列0,1,2…；用數(shù)軸表示數(shù)數(shù)的運算四類十一種；分數(shù)三種運算定律各種運算定律和性質方程簡單的四類六種；稍復雜方程數(shù)量關系s＝vt等；正反比例；表格、圖像幾何與圖形字母表示公式周長、面積、體積、容積空間形式用圖表示空間形式和平面結構統(tǒng)計與概率統(tǒng)計圖、表用統(tǒng)計圖、表描述和分析各種信息可能性用分數(shù)表示可能性的大小模型思想的具體運用內容概述磨模魔小學數(shù)學教學中滲透模型思想的思考（一）“磨”。

所謂“磨”，即“琢磨”。也就是教師首先要反復琢磨每一具體的教學內容中隱藏著怎樣的“模”？需要幫助學生建立怎樣的“模”？如何來建“?！保吭诙啻蟮某潭壬蟻斫ā澳！保克ǖ摹澳！焙徒５倪^程對于兒童的數(shù)學學習具有怎樣的影響？……在基于建模思想的數(shù)學教學中，這些問題都是一些本原性的問題。一個老師如果從來不曾在這些方面作過思考的話，可以肯定，他的數(shù)學課堂上數(shù)學知識概念、命題、問題和方法等很難見到“數(shù)學模型”的影子，他的學生也可能從未感受過“數(shù)學模型”的力量。舉例：雞兔同籠眾所周知，“雞兔同籠”問題的數(shù)學模型是二元一次整數(shù)方程，然而，在小學里學生并不學習二元一次整數(shù)方程?？墒?，“雞兔同籠”卻被廣泛地運用到小學教材中：北師大版五年級上冊“嘗試與猜測”中用它來讓學生學會表格列舉；蘇教版六年級上冊將之作為一道練習題來鞏固“假設和替換”的策略；人教版則是濃墨重彩，在六年級上冊“數(shù)學廣角”中詳細介紹了“雞兔同籠”問題的出處、多種解法及實際應用。教學這些內容時，如果僅是就題講題，就課本講課本，難免顯得過于簡單和淺薄。那么，對小學生的數(shù)學學習而言，“雞兔同籠”是否還隱藏著其他的“模型”因素呢？我想至少有三方面是值得關注的：一是內容層面的，即“雞兔同籠”這類題本身的題型結構特征（告知兩個未知量的和以及兩個未知量之間一定的量值關系，求未知量）；二是方法層面的，即“假設法”的一般解題思路（畫圖、列舉、替換等在某種意義上都是“假設”）；三是思想層面的，即從一個具體的“雞兔同籠”數(shù)學問題出發(fā)，在經歷了對其解答的過程之后，能將解決它的方法和思路進行擴展運用（學習“雞兔同籠”，最終的目標并不僅僅是會解答一道“雞兔同籠”，更有其他）。有了這樣的理解，在教學中，我們就會引導學生在關注教材中所編排內容的同時，注意把握題目的類型、結構和類比運用，用系統(tǒng)的眼光來看待它的教學價值。這些，恰恰是學生到了中學后真正建立二元一次整數(shù)方程數(shù)學模型的基礎。舉例：確定位置“確定位置”的數(shù)學模型是立體坐標系。學生在一年級接觸到的一列隊伍中“老爺爺排在第3個”，其實就是一維空間上的確定位置；在二年級接觸到的“小明坐在第3排第4個”，其實就是二維空間上的確定位置；五年級學習的“數(shù)對”則是初步抽象的二維坐標模型。如果在教學中能將這一層意義滲透進去，一定能為學生將來學習立體坐標系提供很好的支持。眼界決定境界。一個老師是否具有“模型”眼光和“模型”意識，往往會決定著他的教學深刻性和數(shù)學課堂的品質。（二）“?！薄Ｋ^“?！?，即“建模”。也就是在教學中要幫助學生不斷經歷將現(xiàn)實問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋和運用。對小學數(shù)學而言，“建模”的過程，實際上就是“數(shù)學化”的過程，是學生在數(shù)學學習中獲得某種帶有“模型”意義的數(shù)學結構的過程。以下是兩位老師利用同一素材教學“減法”的片段：【教學片段1】

出示情境圖。師：請同學們認真觀察這兩幅圖，說一說從圖上你看到了什么？生：有5個小朋友在澆花，走了2個，剩下3個。師：你真棒!誰再來說一說。生：原來有5個小朋友在澆花，走了2個小朋友，還剩下3個小朋友。師：很好！你知道怎樣列式嗎？生：5-2=3。教師聽了滿意地點點頭，板書5-2=3。接著教學減號及其讀法?！窘虒W片段2】出示情境圖。（同上）師：誰來說一說第一幅圖，你看到了什么？生：從圖中我看到了有5個小朋友在澆花。師：第二幅圖呢？生：第二幅圖中有2個小朋友去提水了，剩下3個小朋友。師：你能把兩幅圖的意思連起來說嗎？生：有5個小朋友在澆花，走了2個，還剩下3個。師：同學們觀察得很仔細，也說得很好。你們能根據(jù)這兩幅圖的意思提一個數(shù)學問題嗎？生：有5個小朋友在澆花，走了2個，還剩幾個？生（齊）：3個。師：對，大家能不能用圓片代替小朋友，將這一過程擺一擺呢？（教師在行間指導學生擺圓片，并請一生將圓片擺在情境圖的下面。）師：（結合情境圖和圓片說明）5個小朋友在澆花，走了2個，還剩3個；從5個圓片中拿走2個，還剩3個，都可以用同一個算式（學生齊接話：5-2=3）來表示。（在圓片下板書：5-2=3）生齊讀：5減2等于3。師：誰來說一說這里的5表示什么？2、3又表示什么呢？……師：同學們說得真好！在生活中存在著許許多多這樣的數(shù)學問題，5-2=3還可以表示什么呢？請同桌互相說一說。生1：有5瓶牛奶，喝掉2瓶，還剩3瓶。生2：樹上有5只小鳥，飛走2只，還剩3只?！鲜鰞啥谓虒W，所體現(xiàn)出來的教學著力點是不一樣的。第一個片段，屬于“就事論事”式的簡單教學，教師對教學的定位完全停留在知識傳授的層面上，“5-2=3”僅是一道題的解答算式而已。第二個片段，除了教學充分展開外，更主要的是滲透了初步的數(shù)學建模思想，訓練的是學生抽象、概括、舉一反三的學習能力。且這種訓練并不是簡單、生硬地進行，而是和低年級學生數(shù)學學習的特點相貼切——由具體、形象的實例開始，借助于操作予以內化和強化，最后通過思維發(fā)散和聯(lián)想加以擴展和推廣，賦予“5-2=3”以更多的“模型”意義。舉例：小數(shù)的認識在小學階段，學生認識小數(shù)時主要是將它和分數(shù)之間進行意義上的關聯(lián)，即：一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾……。按照螺旋上升的教材編排原則，上述內容大多分解在三、四年級分兩次學完，三年級先認識一位小數(shù)。如何在三年級初步認識一位小數(shù)時就體現(xiàn)出“建?！钡乃枷肽?，我們進行了如下教學：課始，教師出示到超市購買的一些物品和相應的價錢：水彩筆12元、美工刀3元5角、鉛筆0.4元。當“0.4元”出現(xiàn)后，教師提問：師：知道“0.4元”到底是多少錢嗎？生：0.4元就是4角錢。（板書4角=0.4元）師：4角錢有沒有1元多？生：沒有。師：看來，和1元相比，0.4元只能算是一個“零頭”了。如果我們用這樣的一個長方形來表示1元，你能把它分一分、涂一涂，將0.4元表示出來嗎？（學生拿出練習紙畫畫涂涂，把自己的想法表示出來。交流時，尋找共性特點：平均分成10份，涂出其中的4份）師：為什么這樣就將“0.4元”表示出來了呢？生：因為1元等于10角，平均分成10份，1份就是1角，4份就是4角。師：看著大家畫出的圖示，讓我想起以前咱們學什么時，也是這樣子平均分一分、涂一涂？生：分數(shù)！師：那0.4元如果用分數(shù)表示，如何表示呢？生：十分之四元。師：數(shù)學真是有趣，原來0.4元也就是我們熟悉的十分之四元。師：老師購買了一塊橡皮，它的價錢是多少呢？（出示：0.8元）0.8元是多少錢？生：0.8元就是8角師：又是一個不足1元的零頭，如果我們還是用這樣的一個長方形來表示1元，那0.8元又該怎么表示呢？學生模仿者剛才的方式表示出“0.8元也就是十分之八元”。接著，老師給學生提供一個空白的平均分成10份的長方形，任意涂出其中一部分，表示出一個小數(shù)和相應的分數(shù)。幾個學生自由展示后，組織梳理，從0.1就是十分之一，0.2就是十分之二……師：接下來我們再來看看筆記本的價格，我給你一個圖示，你知道它的價錢了嗎？生：筆記本的價格是1.2師：剛才的小數(shù)都是“零點幾”，現(xiàn)在怎么變成“一點幾”了？生：現(xiàn)在有兩個長方形了，第一個涂滿了顏色，表示整1元。第二個平均分成了10份，涂了其中的2份，也就是2角錢，0.2元，合起來就是1.2元了。師：我買的鋼筆的價錢是8.6元，如果讓你畫一幅圖來表示它的價錢，你準備怎樣畫呢？生：我準備先畫9個大小一樣的長方形，然后把前面8個涂滿顏色，第9個長方形平均分成10份，涂出其中的6份。……上述教學過程抓住了知識間的聯(lián)系（小數(shù)和十進分數(shù)的關系）而展開，但又不是停留在教師直接的講解和“告訴”，而是讓學生充分展開探索過程，借助于直觀圖示的形象支撐，建立起了一位小數(shù)的“直觀模型”（長方形等分、涂色）。這種形象的“直觀模型”既搭起了小數(shù)和分數(shù)之間的橋梁，也具有強大的“擴展”功能，對后面學習兩位小數(shù)、三位小數(shù)（同樣的長方形，只是平均分成100份、1000份）以及抽象概括“小數(shù)的意義”具有統(tǒng)攝作用。從上述兩例可以看出，運用建模思想來指導小學數(shù)學教學，在很大程度上是要在學生的認知過程中建立起一種統(tǒng)攝性、符號化的具有數(shù)學結構特征的“模型”載體，通過這樣的具有“模型”功能的載體，幫助學生實現(xiàn)數(shù)學抽象，為后續(xù)學習提供強有力的基礎支持。當然，對學生“模型”意識的培養(yǎng)和“建模”方法的指導，要根據(jù)具體內容和具體年級而有層次不同的要求，低年級要恰到好處地結合日常實例和常規(guī)教學對學生進行“模型”及“模型意識”的滲透、點化，高年級則可以更明確地引導學生關注數(shù)學學習中“模型”的存在，培養(yǎng)初步的建模能力。(三)“魔”。所謂“魔”，即“著魔”，也就是學生對“模型”在數(shù)學學習中的運用有著深切的體驗和感悟，并對之產生好奇，從而在數(shù)學學習中能主動地構想模型、建立模型、運用模型。兒童數(shù)學教學的終極目標，應該是讓學生都懂數(shù)學、愛數(shù)學，對數(shù)學懷有敬畏之心和熱愛之情。要實現(xiàn)這樣的目標，數(shù)學教學就不能只停留在知識和方法層面，而是要深入到數(shù)學的“腹地”，用數(shù)學自身的魅力來吸引學生。正如日本數(shù)學家米山國藏所說：“作為知識的數(shù)學出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學的精神、數(shù)學的思想、研究的方法和著眼點等，這些隨時隨地地發(fā)生作用，使人終身受益”。要讓學生能充分感受到數(shù)學模型和建模教學所產生的“魔力”，實際教學中，一方面要結合日常教學給學生以充分的體驗和感受。比如，在二年級教學“確定位置”時，設定觀察的規(guī)則（觀察順序）非常重要——“從左向右數(shù)是第幾排”、“從前往后數(shù)是第幾列”、“從下往上數(shù)是第幾層”……如果我們結合這樣的觀察順序在直觀圖上分別添加“橫向帶箭頭的直線→”（坐標系中的“橫軸”原型）和“縱向帶箭頭的直線↑”（坐標系中的“縱軸”原型），既將觀察順序形象表達，又蘊含了二維坐標（第一象限）的基本原理。如果學生在獨立練習中也能模仿著使用，那感受會更加深刻。而在六年級學習“確定位置”（用方向、角度、距離來確定平面圖中任意一個位置）時，如果讓學生試著總是以觀測點為中心先畫出一個“十字”坐標圖然后再確定位置，那學生的觀察不僅變得有序，而且準確性很高。在此基礎上，老師再對學生進行“建模”、“用?！钡膶W習水平進行適當評價和鼓勵，教學的境界就會大大提升。另一方面，也可以在中高年級進行一些專題性的訓練。我們曾以“雞兔同籠”為例進行過這方面的嘗試。在學生初步能用不同的假設思路解答雞兔同籠的題目后，老師提問：“生活中你見過有人把雞和兔放在一個籠子里養(yǎng)殖的嗎？就是放在一起養(yǎng)殖，也沒誰去做數(shù)頭數(shù)腳這種無聊的事吧。我們的老祖宗干嘛煞費苦心地研究來研究去的，一千多年過去了，雞兔同籠這道數(shù)學題還作為寶物似的流傳到今？”（屏幕顯示：“雞兔同籠”有什么獨特的魅力？）在學生對所提問題一時困惑皺眉時，老師提議帶著