第3章模態(tài)分析3.1引言單自由度系統(tǒng)的振動分析是多自由度系統(tǒng)（具有有限個自由度（廣義坐標）的振動系統(tǒng)）振動分析的基礎，在單自由度系統(tǒng)振動分析中已經形成的一些重要基本概念和分析結果，只需稍加引申即可適用于多自由度系統(tǒng)。多自由度線性系統(tǒng)振動分析中唯一新增重要基本概念是模態(tài)。單自由度系統(tǒng)與多自由度系統(tǒng)總稱為集中參數系統(tǒng)（離散系統(tǒng)）。一般來說，一個n自由度系統(tǒng)，其運動規(guī)律可由n個二階常微分方程來確定。第3章模態(tài)分析3.1引言大多數工程振動系統(tǒng)都可簡化多自由系統(tǒng)來研究。即使是彈性體系統(tǒng)（連續(xù)系統(tǒng)或分布參數系統(tǒng)），經過離散化后，也可以轉變?yōu)槎嘧杂啥认到y(tǒng)。所以，多自由度系統(tǒng)振動理論是解決工程振動問題的基礎。在振動分析中，隨著系統(tǒng)自由度數的增大，計算工作量成指數增長。

矩陣既可以為多變量問題提供簡潔而又物理概念清晰的表示方式，同時又可以為解題提供系統(tǒng)而又規(guī)則的算法。所以矩陣是分析多自由度系統(tǒng)振動問題的有力工具。第3章模態(tài)分析3.1引言本章所考察的振動系統(tǒng)限于常參數線性系統(tǒng)（疊加原理）。同樣還是基于疊加原理，一個多自由度系統(tǒng)的運動可以通過所謂模態(tài)變換，分解為若干個獨立的模態(tài)運動，其中每個模態(tài)運動相當于一個單自由度系統(tǒng)。因此，可以非常方便地分別求出各個模態(tài)運動，再疊加后得到系統(tǒng)總的運動。這就是系統(tǒng)動力響應分析中的模態(tài)分析法。第3章模態(tài)分析3.2實模態(tài)分析

1無阻尼情形設一n自由度線性振動系統(tǒng)，其運動微分方程為：式中x是位移列陣；M與K分別為系統(tǒng)的質量與剛度矩陣（實對稱），f(t)是激勵列陣。其自由振動微分方程可表示為：設其解為：第3章模態(tài)分析3.2實模態(tài)分析將上式代入自由振動微分方程，可得：這一方程具有非零解的條件是：稱為系統(tǒng)的特征方程。1無阻尼情形第3章模態(tài)分析3.2實模態(tài)分析由特征方程可解得n個不等正實根wi,wi稱為系統(tǒng)的固有頻率。將各個不同的wi分別代入可得下列主振型方程：由此，可確定n個實矢量Xi，稱為系統(tǒng)的主振型。（多自由度各點的運動既是時間的函數，又是空間的函數）1無阻尼情形第3章模態(tài)分析3.2實模態(tài)分析由下式表示的運動稱為系統(tǒng)的主振動?？梢?，無阻尼線性系統(tǒng)的主振動都是諧振動。每個主振動有其固有的頻率。在每個主振動中，各個位移分量振幅的相對大小與相位由主振型確定。無阻尼線性系統(tǒng)的特征值和特征矢量都是實矢量，故稱實模態(tài)。1無阻尼情形第3章模態(tài)分析3.2實模態(tài)分析主振型的一個重要性質是正交性。這種正交性表現為關于質量矩陣與剛度矩陣的加權正交性，即當i不等于j時下面給出簡單證明，由1無阻尼情形有第3章模態(tài)分析3.2實模態(tài)分析1無阻尼情形將(a)式轉置后再右乘以Xj，對第二式左乘XjT,得然后兩式相減，得第3章模態(tài)分析3.2實模態(tài)分析1無阻尼情形然后兩式相減，得由于所以主振型的正交性得證。第3章模態(tài)分析3.2實模態(tài)分析1無阻尼情形當i=j時mi稱為模態(tài)質量，ki稱為模態(tài)剛度。則有：證明非常簡單。由第3章模態(tài)分析3.2實模態(tài)分析1無阻尼情形引入實模態(tài)矩陣A:則上述結果可綜合成矩陣形式：下面介紹對上述振動系統(tǒng)分析的模態(tài)分析法。第3章模態(tài)分析3.2實模態(tài)分析1無阻尼情形引入如下實模態(tài)變換：將上述實模態(tài)變換代入系統(tǒng)振動方程，再左乘以AT：由上述正交性第3章模態(tài)分析3.2實模態(tài)分析1無阻尼情形可得：于是，上式可寫成n個標量形式：可見，系統(tǒng)已經完全解耦了。各個yi稱為模態(tài)坐標（模態(tài)響應）。再由第3章模態(tài)分析3.2實模態(tài)分析1無阻尼情形再由可得系統(tǒng)的物理坐標響應x，模態(tài)響應y的線性變換。綜上所述，一個n自由度的無阻尼線性系統(tǒng)的振動分析問題，可以通過實模態(tài)變換，可以轉化為n個獨立諧振子的模態(tài)響應問題，在求得各個模態(tài)響應后，再通過線性變換，就可得到原系統(tǒng)的響應。這就是模態(tài)分析法的精髓所在。第3章模態(tài)分析3.2實模態(tài)分析1無阻尼情形

例1對于如圖所示的兩自由度系統(tǒng)中，設m=1kg,k=100N/m。試求系統(tǒng)的固有頻率與主振型。mkkm4kx1x2第3章模態(tài)分析3.2實模態(tài)分析1無阻尼情形

解：系統(tǒng)的自由振動微分方程為mkkm4kx1x2系統(tǒng)的特征方程為：第3章模態(tài)分析3.2實模態(tài)分析1無阻尼情形系統(tǒng)的特征方程為：即：可得：第3章模態(tài)分析3.2實模態(tài)分析1無阻尼情形由系統(tǒng)的主振型方程：得系統(tǒng)歸一化主振型：第3章模態(tài)分析3.2實模態(tài)分析1無阻尼情形主振型示意圖：X1X2第3章模態(tài)分析3.2實模態(tài)分析1無阻尼情形主振動分別為：第3章模態(tài)分析3.2實模態(tài)分析1無阻尼情形

例2對于上例所示的兩自由度系統(tǒng)，設初始條件為：mkkm4kx1x2試求系統(tǒng)自由振動。第3章模態(tài)分析3.2實模態(tài)分析1無阻尼情形解：由上例結果，系統(tǒng)的實模態(tài)矩陣為：系統(tǒng)初始條件轉化為：引入實模態(tài)變換：第3章模態(tài)分析3.2實模態(tài)分析1無阻尼情形系統(tǒng)的方程可化為已解耦的模態(tài)運動微分方程：對應于上述初始條件系統(tǒng)的模態(tài)響應可求得為：第3章模態(tài)分析3.2實模態(tài)分析1無阻尼情形對應于上述初始條件系統(tǒng)的模態(tài)響應可求得為：因此，系統(tǒng)的自由振動可表示為：第3章模態(tài)分析3.2實模態(tài)分析

2經典阻尼情形設一n自由度線性阻尼振動系統(tǒng)，其運動微分方程為：與無阻尼振動方程相比，只是增加了一個線性阻尼項，能否利用上述實模態(tài)變換來使系統(tǒng)解耦，關鍵在于阻尼矩陣C在上述實模態(tài)變換下能否解耦（化為對角陣）。即：第3章模態(tài)分析3.2實模態(tài)分析滿足上式上式或其等價條件的阻尼稱為經典阻尼，文獻中經常提到的所謂比例阻尼（經典阻尼的一種特例）定義為：2經典阻尼情形可以證明：阻尼矩陣可以借實模態(tài)變換轉化為對角陣的充要條件為：與之等價的條件為第3章模態(tài)分析3.2實模態(tài)分析2經典阻尼情形總而言之，凡是無阻尼的或具有經典阻尼的n自由度線性系統(tǒng)總可以通過實模態(tài)分析，將系統(tǒng)的響應問題化為n個獨立的1自由度系統(tǒng)的模態(tài)響應問題，從而完成其振動分析。第3章模態(tài)分析3.3復模態(tài)分析1對稱系統(tǒng)

現在來考察非經典阻尼情形。一般n自由度線性阻尼振動系統(tǒng)，其運動微分方程為：假設式中M、K與C分別為實對稱陣，C不滿足可對角化條件。得系統(tǒng)的特征方程為：設其解為：第3章模態(tài)分析3.3復模態(tài)分析由上述特征方程可以確定2n個特征值wi,i=1,…,2n。和無阻尼情形不同，這時的wi可以是實的，也可以是復的。當阻尼矩陣正定時，所有特征值都具有負實部，對應于系統(tǒng)衰減的固有振動。當阻尼屬于亞臨界阻尼情形時，所有特征值都是復的且共扼。而每一對共扼復特征值對應于系統(tǒng)中一個具有特定頻率與衰減率的固有振動。對應于任一個wi，與之相對應的復特征矢量為ui，稱為復模態(tài)或復主振型（各點相位的差異）

。第3章模態(tài)分析3.3復模態(tài)分析由系統(tǒng)2n個復特征矢量，可構成一個nX2n階復模態(tài)矩陣u?？墒俏覀儾荒苡盟苯訉ο到y(tǒng)進行解耦，因為對于，不存在像實模態(tài)矩陣那樣的正交性。為了解決此問題，引入以下方法——狀態(tài)空間法。引入狀態(tài)變量：第3章模態(tài)分析3.3復模態(tài)分析上面的振動微分方程和等式方程可以表示為：其中：第3章模態(tài)分析3.3復模態(tài)分析根據質量、剛度和阻尼矩陣對稱性假設，不難看出m、k也是對稱陣。自由運動時，有上述方程與前面方程描述的是同一系統(tǒng)的自由運動，所以它們應有相同的特征值和相當的特征矢量，即其特征矢量為第3章模態(tài)分析3.3復模態(tài)分析可以證明上面的特征矢量具有關于m與k的加權正交性。即當時有第3章模態(tài)分析3.3復模態(tài)分析當時有由2n個Yi,可以構成系統(tǒng)的2nX2n階復模態(tài)矩陣A:第3章模態(tài)分析3.3復模態(tài)分析根據上述復特征矢量的正交性，借助于如下復模態(tài)變換：可以對系統(tǒng)狀態(tài)方程進行解耦，將上式代入狀態(tài)方程，再前乘以AT有：即，有第3章模態(tài)分析3.3復模態(tài)分析這樣借助引入狀態(tài)變量以及復模態(tài)變換，系統(tǒng)最終可轉化為2n個已解耦的一階復模態(tài)響應方程。第3章模態(tài)分析3.3復模態(tài)分析2非對稱系統(tǒng)

現在來考察系統(tǒng)的質量、阻尼與剛度矩陣不是對稱陣的情形。如流固耦合問題，有陀螺效應的振動系統(tǒng)。由于系統(tǒng)不對稱，原系統(tǒng)及其轉置系統(tǒng)不再等同，兩者對應的復模態(tài)也有所不同，故需對模態(tài)矩陣與模態(tài)變換作適當補充與修改，但上節(jié)介紹的復模態(tài)分析原理仍然適用。第3章模態(tài)分析3.3復模態(tài)分析系統(tǒng)運動微分方程同上：只是式中M、K與C不再是對稱陣，設相應的狀態(tài)方程為：由其特征方程確定的復特征矢量Ui稱為系統(tǒng)的右特征矢量。相應地由各個Ui組成的矩陣稱為系統(tǒng)的右模態(tài)矩陣。第3章模態(tài)分析3.3復模態(tài)分析由其特征方程確定的復特征矢量Vi稱為系統(tǒng)的左特征矢量。相應地由各個Vi組成的矩陣稱為系統(tǒng)的左模態(tài)矩陣。