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橢圓的幾何性質(zhì)(二)振興學(xué)校劉清元教學(xué)目標(biāo):1.了解橢圓的第二定義;2.利用橢圓的幾何性質(zhì)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題;教學(xué)重點(diǎn):橢圓的第二定義;準(zhǔn)線方程;焦半徑;教學(xué)難點(diǎn):橢圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用;復(fù)習(xí)提問(wèn):橢圓的幾何性質(zhì),x2/a2+y2/b2=1⑴范圍:︱X︱≤a,︱Y︱≤b(a為長(zhǎng)半軸,b為短半軸)。⑵對(duì)稱性:橢圓關(guān)于X軸對(duì)稱,關(guān)于Y軸對(duì)稱。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,原點(diǎn)為橢圓的對(duì)稱中心。⑶頂點(diǎn)坐標(biāo):頂點(diǎn)坐標(biāo)為(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)。⑷離心率:e=c/a,0<e<1,a>c>0
當(dāng)e→1,c越接近于a,從而b越小橢圓越扁當(dāng)e→0,c越接近于0,從而b越接近于a橢圓越圓
定義標(biāo)準(zhǔn)方程圖形范圍焦點(diǎn)頂點(diǎn)長(zhǎng)、短軸
對(duì)稱性
xA2B2F2yOA1B1F1yOA1B1xA2B2F1F2
關(guān)于x軸,y軸對(duì)稱;關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱新課:(一)橢圓的第二定義點(diǎn)M(x,y)與一個(gè)定點(diǎn)F(c,0)的距離和到一條定直線L:x=a2/c的距離的比是常數(shù)c/a(a>c>0),求點(diǎn)M的軌跡。XYo解:根據(jù)題意,所求軌跡就是集合
P={M︴︳MF︳/d=c/a}化簡(jiǎn)(a2–c2)x2+a2y2=a2
(a2–c2)設(shè)a2–c2=b2,就可化成(a>b>0)FM演示按鈕(二)橢圓的準(zhǔn)線方程:例1:(b>0)上有一點(diǎn)p到左準(zhǔn)線的的距離是,求點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離。解:設(shè)點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為d,則由橢圓的第二定義,再由橢圓第一定義,得點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為PyxOF1F2例2、DMF1AxY解:左準(zhǔn)線L1:由第二定義可知:例3:若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)組成正三角形,焦點(diǎn)到橢圓的最短距離為,求橢圓的方程。xyoF2F1BP解:如圖,設(shè)橢圓的方程為(a>b>0)設(shè)△BF1F2是正三角形,︳F1B︳=a,︱F1F2︱=2c,∴a=2c①設(shè)P為橢圓上任意一點(diǎn),︱PF1︱+︱PF2︱=2a=(a+c)+(a-c)又︱PF1︱≤︱F1O︱+︱OP︱≤︱F1O︱+︱OA︱=a+c∴︱PF2︱≥a–c,∴焦點(diǎn)到橢圓的最短距離為a–c,②
由①②解得b2=a2–c2=9,∴橢圓的方程為A(三)橢圓的性質(zhì):設(shè)A,B是橢圓x2/m+y2/n=1的兩點(diǎn)(m>0,n>0),直線AB的斜率存在,M是AB的中點(diǎn),求證:KAB·KOM=解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則:兩式相減得XYOAB·MY例4:已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓4x2+5y2=80上,點(diǎn)A是橢圓矩軸的一個(gè)端點(diǎn),這個(gè)三角形的重心在橢圓的焦點(diǎn)F上,試求直線BC的方程。YXBDCA解:橢圓方程化為FF(2,0),A(0,4)由定比分點(diǎn)坐標(biāo)得O(四)課內(nèi)練習(xí):⒈選擇題:
①橢圓x2/m2+y2/(m-1)2=1的準(zhǔn)線平行于x軸,則m的取值范圍為()B(A)m>1/2(B)m<1/2(C)m>1/2且m≠1(D)m<1/2且m≠0②橢圓x2/a2+y2/b2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2三等分它的兩條準(zhǔn)線間的距離,則它的離心率為()(A)√3/2(B)√3/3(C)√6/3(D)√6/6⒉填空題:①有一條準(zhǔn)線為x+4=0,離心率為0.25,橢圓的方程為②如果橢圓x2/25+y2/9=1上有一點(diǎn)p到它的左準(zhǔn)線的距離為2.5,那么p到右焦點(diǎn)的距離為8⒊解答題:①在橢圓x2/16+y2/4=1中,求經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,1)且被此點(diǎn)平分的弦的方程。D(五)小結(jié):
①橢圓的第一,第二定義要靈活運(yùn)用。②橢圓的性質(zhì)一般應(yīng)用在與橢圓弦中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題中。(六)布置作業(yè):課本作業(yè)p49
8,10,
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