第四章重要分布Ⅲ1.正態(tài)分布的實(shí)際背景和數(shù)學(xué)模型2.正態(tài)分布的數(shù)字特征3.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與正態(tài)分布的關(guān)系4.正態(tài)分布與Г-分布的關(guān)系。1引理：普阿松積分公式2定義如果連續(xù)型隨機(jī)變量x的概率密度為其中s,m為常數(shù),并且s>0,則稱x服從正態(tài)分布,簡記作x~N(m,s2).利用引理可以驗(yàn)證Ex=m,Dx=s23特別地,當(dāng)m=0,s=1時,稱x服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,記為x~N(0,1).其概率密度記為j0(x),且4驗(yàn)證Ex=m5驗(yàn)證Dx=s26j0(x)的圖形xj0(x)01-17j0(x)除一般概率密度的性質(zhì)外,還有下列性質(zhì)

(1)j0(x)有各階導(dǎo)數(shù)

(2)j0(-x)=j0(x),偶函數(shù)

(3)在(,0)內(nèi)嚴(yán)格上升,在(0,)嚴(yán)格下降.在x=0處達(dá)到最大值:(4)在x=1處有兩個拐點(diǎn);(5)x軸是j0(x)的水平漸近線8可用書后附表二查出j0(x)的各個值例1x~N(0,1),求j0(1.81),j0(-1),j0(0.57),j0(6.4),j0(0).解查書后附表二可得

j0(1.81)=0.07754 j0(-1)=j0(1)=0.2420

j0(0.57)=0.3391 j0(6.4)=0

j0(0)=0.39899一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系1.如果x~N(m,s2),h~N(0,1),其概率密度分布記為j(x)和j0(x),分布函數(shù)分別記為F(x)及F0(x),則10證112.如果x~N(m,s2),而h=(x-m)/s,則h~N(0,1)證:為證明h~N(0,1),只要證明h的概率密度為j0(x)或分布函數(shù)為F0(x)即可.Fh(x)=P(hx)=P((x-m)/sx) =P(xsx+m)=F(sx+m)=F0(x)可以證明,服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量x,它的線性函數(shù)kx+b(k0)仍服從正態(tài)分布.12標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表如果x~N(0,1),則對于大于零的實(shí)數(shù)x,F0(x)的值可以由附表三直接查到.而對于小于零的x則可通過對稱性來求得.j0(x)0uF0(x)x13例2x~N(0,1),求P(x1.96),P(x-1.96),P(|x|1.96),P(-1<x2),P(x5.9).14概括起來,如果x~N(0,1),則15例3x~N(8,0.52),求P(|x-8|<1)及P(x10)16例4x~N(m,s2),P(x-5)=0.045,P(x3)=0.618,求m及s17正態(tài)分布與G-分布的關(guān)系

3.

如x~N(0,1),則x2~2(1)18推論：如果x1,x2,...,xn相互獨(dú)立,

且xi~N(0，1),(i=1,2,...,n),

則

x1+x2+...+xn~c2(n）推論(需要記住)：如果x1,x2,...,xm相互獨(dú)立,且xi~c2(ni),(i=1,2,...,m),則

x1+x2+...+xm~c2(n1+n2+...+nm)19F分布的定義:

若連續(xù)型隨機(jī)變量x的概率密度j(x)為201994年經(jīng)濟(jì)類研究生試題1x221解221995年經(jīng)濟(jì)類研究生試題x11-123解241997年經(jīng)濟(jì)類研究生試題251999年經(jīng)濟(jì)類研究生試題設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為l的泊松分布,且已知E[(X-1)(X-2)]=1,則l=_____提示:EX=DX=l,且EX2=(EX)2+DX=l2+l,l=1261999年經(jīng)濟(jì)類研究生試題

設(shè)隨機(jī)變量Xij(i,j=1,2,...,n;n2)獨(dú)立同分布,EXij=2,則行列式27282000年經(jīng)濟(jì)類研究生考研題

設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間[-1,2]上服從均勻分布;隨機(jī)變量-12x29解301998年經(jīng)濟(jì)類研究生試題

設(shè)一次試驗(yàn)成功的概率為p,進(jìn)行100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),當(dāng)p=____時,成功次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的值最大,其最大值為_____解設(shè)成功次數(shù)為X,則X~B(100,p),DX=100p(1-p)=100p-100p2,對p求導(dǎo)并令其為0,得100-200p=0,