版權(quán)所有,2000,2002(c)華中理工大學(xué)力學(xué)系華中科技大學(xué)力學(xué)系李國清材料力學(xué)copyright,2000,2002(c)Dept.Mech.,HUST,China機(jī)械、土木大平臺課程§5–1概述§5–2梁的撓曲線近似微分方程及其積分§5–3求梁的撓度與轉(zhuǎn)角的共軛梁法§5–4

按疊加原理求梁的撓度與轉(zhuǎn)角§5–5

梁的剛度校核第五章彎曲變形

§5–6

簡單超靜定梁的求解方法5梁的變形5.1梁的撓度和轉(zhuǎn)角撓曲線方程,即y=y(x)撓曲線轉(zhuǎn)角撓度幾個重要概念撓曲線撓曲線-梁變形后的軸線，稱為撓曲線

是一條位于載荷平面內(nèi)的光滑連續(xù)曲線

撓度和轉(zhuǎn)角是度量梁彎曲變形的兩個基本量橫截面的形心在垂直于軸線（x軸）方向的線位移，稱為撓度，用y表示

橫截面在xy平面的角位移，稱為轉(zhuǎn)角，用θ表示

1.撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。用v表示。與f

同向?yàn)檎?，反之為?fù)。

2.轉(zhuǎn)角：橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動的角度。用表示，順時針轉(zhuǎn)動為正，反之為負(fù)。

二、撓曲線：變形后，軸線變?yōu)楣饣€，該曲線稱為撓曲線。其方程為：

y

=y

(x)三、轉(zhuǎn)角與撓曲線的關(guān)系：一、度量梁變形的兩個基本位移量小變形PxvCqC1f

§6-2

梁的撓曲線近似微分方程及其積分一、撓曲線近似微分方程式（2）就是撓曲線近似微分方程。彎曲變形小變形fxM>0fxM<0對于等截面直梁，撓曲線近似微分方程可寫成如下形式：二、求撓曲線方程（彈性曲線）1.微分方程的積分2.位移邊界條件PABCPD3.7.2梁的撓曲線微分方程梁的(近似)撓曲線二階微分方程細(xì)長梁(l/h>4)橫力彎曲近似適用純彎曲公司小變形條件：梁的撓曲線二階微分方程的適用性和近似性是什么？梁的撓曲線的其它形式梁的（2階）彎矩方程梁的（3階）剪力方程梁的（4階）彎矩方程梁的（2階）撓曲線方程梁的轉(zhuǎn)角方程梁的撓度方程求解以上微分方程分別需要幾個邊界條件？梁的邊界條件固定端自由端滑動固定端固定鉸支座和可動鉸支座自由端固定和可動鉸支座y=0q=~Q=~M=0固定端y=0q=0Q=~M=~滑動固定端y=~q=0Q=0M=~自由端y=~q=~Q=0M=0位移條件靜力條件梁的連續(xù)條件相鄰梁段的交接處，相鄰兩截面應(yīng)具有相同的撓度與轉(zhuǎn)角，即滿足連續(xù)、光滑條件位移的連續(xù)條件a位移的連續(xù)條件在梁的各部分撓曲線y連續(xù)，撓度y連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)（光滑）積分法求梁的變形對于等剛度梁，梁撓曲線的二階微分方程可寫為對此方程連續(xù)積分兩次，可得利用邊界條件確定上面二式中的積分常數(shù)C1、C2，即可得梁的撓度方程和轉(zhuǎn)角方程例3.11求圖所示受載的懸臂梁的撓曲線方程及轉(zhuǎn)角方程，并求自由端B的撓度和轉(zhuǎn)角。梁內(nèi)彎矩方程:連續(xù)積分兩次得利用兩個邊界條件:自由端的撓度和轉(zhuǎn)角最大求得c1、c2都為零。將其代入撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程:例312

圖示抗彎剛度為EIz的簡支梁受集中力P作用。試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。APBLCyxba解：利用平衡方程易求得兩個支反力顯然，AC段與CB段彎矩方程的表達(dá)式不一樣。分別列出AC、CB段彎矩方程并積分APBLCRAyxRBbaAC段CB段邊界條件：支承條件連續(xù)條件光滑條件APBLCyxba利用邊界條件解得最大轉(zhuǎn)度，顯然在支座處從AB，中間必經(jīng)過0最大撓度當(dāng)P力作用在跨中央時，ymax發(fā)生在梁中央。當(dāng)P力無限接近端點(diǎn)B時，即b0時簡支梁無論P(yáng)作用在何處用疊加法求梁的變形在幾個載荷共同作用下引起的某一力學(xué)量等于各載荷單獨(dú)作用下所引起的此量的代數(shù)和疊加原理小變性條件（幾何線性）材料遵循胡克定律（物理線性）適用條件P1P2小變性條件：計算P2的作用時，忽略P1的作用對幾何尺寸的影響。例3.13試用疊加法求圖（a）所示階梯形變截面懸臂梁自由端C的撓度由于梁的抗彎剛度EI在B處不連續(xù)，若由撓曲線微分方程積分求解，須分段進(jìn)行，工作量較大。可用疊加法求解。假定AB段剛化，研究自由端C對截面B的相對撓度，即考慮圖（b）解除AB段的剛化并令BC段剛化考慮圖（c）由梁的變形連續(xù)條件，直線BC因AB段的彎曲變形而移位，使C點(diǎn)有相應(yīng)的撓度將圖3.46（b）和（c）兩種情況的變形疊加后，即可求得自由端C的撓度這種分析方法叫做梁的逐段剛化法。梁的剛度條件在工程設(shè)計中，除了要保證梁的強(qiáng)度條件外，還要保證其剛度條件，即梁的變形不能超過允許的限度。即此兩式稱為梁的剛度條件。式中[y]、[q]分別為構(gòu)件的許可撓度和許可轉(zhuǎn)角，對不同構(gòu)件有不同的要求，如：吊車梁:[y]=(1/400~1/750)l，（l為跨長）；機(jī)械中的一般軸，[y]=（0.0003～0.0005）l；機(jī)械中的精密軸，[y]=（0.0001～0.0002）l；

軸上齒輪，[q]=（0.001～0.002）rad（弧度）。例6－7已知:q=10kN/m，L=3m，試設(shè)計截面。ABLqhb解：(1)按強(qiáng)度條件設(shè)計最大彎矩發(fā)生在A截面，A截面為危險截面強(qiáng)度條件代入強(qiáng)度條件：(2)按剛度條件設(shè)計剛度條件為代入剛度條件可得綜合考慮強(qiáng)度和剛度條件，可取2.提高梁的剛度的措施所謂提高梁的剛度，即盡量降低梁的最大撓度和轉(zhuǎn)角。梁的最大撓度和轉(zhuǎn)角，除與荷載大小有關(guān)外，還與Ln成正比，與EIz成反比。因此，在不改變荷載的情況下，要減小梁的變形可采用以下兩方面的措施。疊加法求梁的變形在幾個載荷共同作用下引起的某一力學(xué)量等于各載荷單獨(dú)作用下所引起的此量的代數(shù)和疊加原理運(yùn)用條件小變性條件材料遵循胡克定律例3.13試用疊加法求圖（a）所示階梯形變截面懸臂梁自由端C的撓度由于梁的抗彎剛度EI在B處不連續(xù)，若由撓曲線微分方程積分求解，須分段進(jìn)行，工作量較大。可用疊加法求解。假定AB段剛化，研究自由端C對截面B的相對撓度，即考慮圖（b）解除AB段的剛化并令BC段剛化考慮圖（C）由梁的變形連續(xù)條件，直線BC因AB段的彎曲變形而移位到的位置，使C點(diǎn)有相應(yīng)的撓度將圖3.46（b）和（c）兩種情況的變形疊加后，即可求得自由端C的撓度這種分析方法叫做梁的逐段剛化法。a.增大梁的抗彎剛度EIz大部分鋼材的E值是相近的，因此，增大梁的抗彎剛度，主要是增大Iz值。將截面面積布置在距中性軸較遠(yuǎn)處，可在面積不變的情況下獲得較大的Iz，這樣不但能降低應(yīng)力，還能減小位移。討論：①適用于小變形情況下、線彈性材料、細(xì)長構(gòu)件的平面彎曲。②可應(yīng)用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移。③積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件（邊界條件、連續(xù)條件）確定。④優(yōu)點(diǎn)：使用范圍廣，直接求出較精確；缺點(diǎn)：計算較繁。支點(diǎn)位移條件：連續(xù)條件：光滑條件：例1求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程寫出微分方程的積分并積分應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)解：PLxf寫出彈性曲線方程并畫出曲線最大撓度及最大轉(zhuǎn)角彎曲變形xfPL解：建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程寫出微分方程的積分并積分xfPLa應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)彎曲變形PLaxf寫出彈性曲線方程并畫出曲線最大撓度及最大轉(zhuǎn)角彎曲變形PLaxf§6-4按疊加原理求梁的撓度與轉(zhuǎn)角一、載荷疊加：多個載荷同時作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形

等于每個載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。二、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）：彎曲變形例4按疊加原理求A點(diǎn)轉(zhuǎn)角和C點(diǎn)

撓度。解、載荷分解如圖由梁的簡單載荷變形表，查簡單載荷引起的變形。彎曲變形qqPP=+AAABBB

Caa彎曲變形qqPP=+AAABBB

Caa疊加例5按疊加原理求C點(diǎn)撓度。解：載荷無限分解如圖由梁的簡單載荷變形表，查簡單載荷引起的變形。疊加彎曲變形q00.5L0.5LxdxbxfC例6

結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法)原理說明。=+彎曲變形PL1L2ABCBCPL2f1f2等價等價xfxffPL1L2ABC剛化AC段PL1L2ABC剛化BC段PL1L2ABCMxf§6-5梁的剛度校核一、梁的剛度條件其中[]稱為許用轉(zhuǎn)角；[f/L]稱為許用撓跨比。通常依此條件進(jìn)行如下三種剛度計算：

、校核剛度：

、設(shè)計截面尺寸；、設(shè)計載荷。彎曲變形(但：對于土建工程，強(qiáng)度常處于主要地位，剛度常處于從屬地位。特殊構(gòu)件例外）PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB例7下圖為一空心圓桿，內(nèi)外徑分別為：d=40mm、D=80mm，桿的E=210GPa，工程規(guī)定C點(diǎn)的[f/L]=0.00001,B點(diǎn)的[]=0.001弧度,試核此桿的剛度。=++=彎曲變形P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAMP2BCa=++圖1圖2圖3解：結(jié)構(gòu)變換，查表求簡單

載荷變形。彎曲變形PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxfP2BCa=++圖1圖2圖3彎曲變形PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf疊加求復(fù)雜載荷下的變形校核剛度彎曲變形dxxQQ+dQMM+dM一、彎曲應(yīng)變能的計算：§6–6

梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能

彎曲變形應(yīng)變能等于外力功。不計剪切應(yīng)變能并略去dqM(x)P1MxfP2dxdqr例8

用能量法求C點(diǎn)的撓度。梁為等截面直梁。解：外力功等于應(yīng)變能在應(yīng)用對稱性，得：思考：分布荷載時，可否用此法求C點(diǎn)位移？彎曲變形Paaqxf二、梁的沖擊問題1.假設(shè)：

沖擊物為鋼體；

不計被沖擊物的重力勢能和動能；沖擊物不反彈；

不計聲、光、熱等能量損耗（能

量守恒）。

彎曲變形mgLhABCABCxffd彎曲變形沖擊前、后，能量守恒，所以：ABCxffdhBACmgE=P三、動響應(yīng)計算：解：求C點(diǎn)靜撓度動響應(yīng)計算等于靜響應(yīng)計算與動荷系數(shù)之積.例9

結(jié)構(gòu)如圖，AB=DE=L，A、C

分別為

AB和

DE的中點(diǎn)，求梁在重物mg的沖擊下，C面的動應(yīng)力。C1A1

D彎曲變形LC2動荷系數(shù)求C面的動應(yīng)力彎曲變形hBACmgE=PC1A1DLC2§6-7

簡單超靜定梁的求解方法1、處理方法：變形協(xié)調(diào)方程、物理方程與平衡方程相結(jié)合，求全部未知力。解：建立靜定基確定超靜定次數(shù)，用反力代替多余約束所得到的結(jié)構(gòu)——靜定基。=彎曲變形q0LABLq0MABAq0LRBABxf幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程+彎曲變形q0LRBAB=RBABq0AB物理方程——變形與力的關(guān)系補(bǔ)充方程求解其它問題（反力、應(yīng)力、

變形等）幾何方程

——變形協(xié)調(diào)方程：解：建立靜定基=例10

結(jié)構(gòu)如圖，求B點(diǎn)反力。LBC彎曲變形xfq0LRBABCq0LRBAB=RBAB+q0AB=LBC彎曲變形xfq0LRBABCRBAB+q0AB物理方程——變形與力的關(guān)系補(bǔ)充方程求解其它問題（反力、應(yīng)力、

變形等）§6-8如何提高梁的承載能力強(qiáng)度：正應(yīng)力：剪應(yīng)力：剛度：穩(wěn)定性：都與內(nèi)力和截面性質(zhì)有關(guān)。彎曲變形彎曲變形一、選擇梁的合理截面矩形木梁的合理高寬比北宋李誡于1100年著?營造法式

?一書中指出:矩形木梁的合理高寬比(h/b=)1.5英(T.Young)于1807年著?自然哲學(xué)與機(jī)械技術(shù)講義

?一書中指出:矩形木梁的合理高寬比為Rbh一般的合理截面彎曲變形1、在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面zDzaa彎曲變形