第一講

數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介

一種分享，一個(gè)問(wèn)題，一系概念，一串思考，一些例子，一份作業(yè)^^今日導(dǎo)讀:1.1一種分享學(xué)會(huì)解數(shù)學(xué)題物理問(wèn)題à數(shù)學(xué)問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題à數(shù)學(xué)問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題à數(shù)學(xué)問(wèn)題à軟件解問(wèn)題：樹(shù)上有十只鳥(niǎo)，開(kāi)槍打死一只，還剩幾只？1.2一個(gè)問(wèn)題不是開(kāi)玩笑，這就是數(shù)學(xué)建模，從不同角度思考一個(gè)問(wèn)題，想盡所有可能。到底什么是數(shù)學(xué)建模？1.3一系概念1.3一系概念1.3.1數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗(yàn)證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗(yàn)證根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問(wèn)題“翻譯”成數(shù)學(xué)問(wèn)題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對(duì)象用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答實(shí)踐現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界理論實(shí)踐1.3一系概念1.3.2建模全過(guò)程1.3一系概念1.3.3建模領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模的基本方法機(jī)理分析測(cè)試分析根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律將對(duì)象看作“黑箱”,通過(guò)對(duì)量測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機(jī)理分析沒(méi)有統(tǒng)一的方法，主要通過(guò)實(shí)例研究(CaseStudies)來(lái)學(xué)習(xí)。以下建模主要指機(jī)理分析。二者結(jié)合用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測(cè)試分析確定模型參數(shù)數(shù)學(xué)建模的方法和步驟1.3.4模型假設(shè)針對(duì)問(wèn)題特點(diǎn)和建模目的作出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè)在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中模型建立用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)描述問(wèn)題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型建立模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對(duì)象特征形成一個(gè)比較清晰的‘問(wèn)題’模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗(yàn)與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性模型應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型的分類1）按變量的性質(zhì)分：離散模型確定性模型線性模型單變量模型連續(xù)模型隨機(jī)性模型非線性模型多變量模型2）按時(shí)間變化對(duì)模型的影響分靜態(tài)模型參數(shù)定常模型動(dòng)態(tài)模型參數(shù)時(shí)變模型1.3.53）按模型的應(yīng)用領(lǐng)域（或所屬學(xué)科）分人口模型、交通模型、生態(tài)模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、再生資源利用模型、污染模型、生物數(shù)學(xué)模型、醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)模型、地質(zhì)數(shù)學(xué)模型、數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型、數(shù)學(xué)社會(huì)學(xué)模型等。4）按建立模型的數(shù)學(xué)方法（或所屬數(shù)學(xué)分支）分初等模型、幾何模型、線性代數(shù)模型、微分方程模型、圖論模型、馬氏鏈模型、運(yùn)籌學(xué)模型等。5）按建模目的分描述性模型、分析模型、預(yù)報(bào)模型、優(yōu)化模型、決策模型、控制模型等。6）按對(duì)模型結(jié)構(gòu)的了解程度分白箱模型：其內(nèi)在機(jī)理相當(dāng)清楚的學(xué)科問(wèn)題，包括力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)等?；蚁淠Ｐ停浩鋬?nèi)在機(jī)理尚不十分清楚的現(xiàn)象和問(wèn)題，包括生態(tài)、氣象、經(jīng)濟(jì)、交通等。黑箱模型：其內(nèi)在機(jī)理（數(shù)量關(guān)系）很不清楚的現(xiàn)象，如生命科學(xué)、社會(huì)科學(xué)等。

數(shù)學(xué)建模示例

例一桌子的穩(wěn)定性問(wèn)題

問(wèn)題：將四條腿一樣長(zhǎng)的正方形桌子放在不平的地面上，不允許將其移到別處，但可繞中心旋轉(zhuǎn)，是否總能設(shè)法使它的四條腿同時(shí)著地，即放穩(wěn)。模型假設(shè)

1）地面為光滑連續(xù)曲面；

2）相對(duì)地面的彎曲程度而言，椅子的腿是足夠長(zhǎng)的；

3）只要有一點(diǎn)著地就視為已經(jīng)著地，即將與地面的接觸視為幾何上的點(diǎn)接觸；

4）方桌的中心不動(dòng)，四條腿等長(zhǎng)。1.4一些例子模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對(duì)稱性xBADCOD′C′B′A′用(對(duì)角線與x軸的夾角)表示椅子位置四只腳著地距離是的函數(shù)四個(gè)距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f()B,D兩腳與地面距離之和~g()兩個(gè)距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形對(duì)稱性用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)f(),g()是連續(xù)函數(shù)對(duì)任意,f(),g()至少一個(gè)為0數(shù)學(xué)問(wèn)題已知：f(),g()是連續(xù)函數(shù);對(duì)任意，f()?g()=0;且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面椅子在任意位置至少三只腳著地模型求解給出一種簡(jiǎn)單、粗糙的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對(duì)角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知

h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因?yàn)閒()?g()=0,所以f(0)=g(0)=0.評(píng)注和思考建模的關(guān)鍵~假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì)考察四腳呈長(zhǎng)方形的椅子和f(),g()的確定連續(xù)函數(shù)的介值定理oxyab思考題1：長(zhǎng)方形的椅子會(huì)有同樣的性質(zhì)嗎？oxyABCD思考題1長(zhǎng)方形椅子穩(wěn)定性問(wèn)題表示A,B與地面距離之和表示C,D與地面距離之和則由三點(diǎn)著地，有ACABCD建模步驟重現(xiàn)模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型建立模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用更多簡(jiǎn)單例子練習(xí)1.（河內(nèi)塔問(wèn)題）有8個(gè)大小不等的圓盤(pán)依次其半徑從大到小套在樁A上，現(xiàn)在將8個(gè)圓盤(pán)移到空樁B或C上（仍保持從大到小的順序）。移動(dòng)過(guò)程中要求一次只能移動(dòng)一個(gè)圓盤(pán)且始終保持大盤(pán)在下，小盤(pán)在上，當(dāng)然樁也可利用。試問(wèn)至少多少次可以完成？1.5一串練習(xí)模型建立：先將樁A的上面的7個(gè)盤(pán)按要求移到樁C上，這需要移動(dòng)a7次，再將樁A上的最大盤(pán)移到樁B上，這需要移動(dòng)1次，最后又將C上的7個(gè)盤(pán)按要求再移到樁B上，又需要a7次。于是得到遞推關(guān)系模型求解：可得1.模型準(zhǔn)備與假設(shè)2.模型建立3.模型求解4.模型分析與檢驗(yàn)5模型應(yīng)用2.某人第一天上午8:00有A點(diǎn)出發(fā)，與下午6:00到達(dá)B處。第二天上午8:00他又從B出出發(fā)按原路返回，并于下午6:00回到A處。此人必在兩天中同一時(shí)間經(jīng)過(guò)路中同一個(gè)地點(diǎn)，為什么？我們從A點(diǎn)為始點(diǎn)記路程，設(shè)從A點(diǎn)到B點(diǎn)的路程函數(shù)為f(t)，即t時(shí)刻走的距離為f(t)；同樣，設(shè)從B點(diǎn)到A點(diǎn)的路程為g(t)。由題意知又注意f(t)，g(t)都是時(shí)刻t的連續(xù)函數(shù)，因此h(t)也是t時(shí)刻的連續(xù)函數(shù)，由連續(xù)函數(shù)的介值定理,一定存在某時(shí)刻t0使h(t0)=0，即f(t0)=g(t0).1.模型準(zhǔn)備與假設(shè)2.模型建立3.模型求解4.模型分析與檢驗(yàn)5模型應(yīng)用3.兄妹兩人，哥哥和妹妹分別在離家4km和2km且方向相反的兩所學(xué)校上學(xué)，每天同時(shí)放學(xué)后分別以4km/h和2km/h的速度步行回家。家中的狗以6km/h的速度一直在兩人之間來(lái)回奔跑。問(wèn)半個(gè)小時(shí)后，狗仔何處？一個(gè)小時(shí)后狗仔何處？

4.某人由A處到B處去，途中需到河邊取些水，如下圖。問(wèn)走那條路最近？（用盡可能簡(jiǎn)單的辦法求解。）dAB河5.大小包裝問(wèn)題在超市購(gòu)物時(shí)你注意到大包裝商品比小包裝商品便宜這種現(xiàn)象嗎？比如潔銀牙膏50g裝的每支1.50元，120g裝的每支3.00元，二者單位重量的價(jià)格比是1.2:1，試用比例方法構(gòu)造模型解釋這種現(xiàn)象。（1）分析商品價(jià)格C與商品重量w的關(guān)系。（2）給出單位重量?jī)r(jià)格c與w的關(guān)系，并解釋其實(shí)際意義。提示：決定商品價(jià)格的主要因素：生產(chǎn)成本、包裝成本、其他成本。單價(jià)隨重量增加而減少單價(jià)的減少隨重量增加逐漸降低交流平臺(tái)郵箱：dhsxjm@Qq:2227205535選群主991848653，建群馬上行動(dòng)：去圖書(shū)館看相關(guān)書(shū)籍（至少1-2本）或購(gòu)買(mǎi)內(nèi)容：《數(shù)學(xué)建?！贰稊?shù)學(xué)建模案例》《數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》