PAGEPAGE66第3章凹函數(shù)3.1光滑函數(shù)與齊次函數(shù)3.2光滑函數(shù)的凹性3.3保持凹性的運(yùn)算3.4擬凹函數(shù)

3.1光滑函數(shù)與齊次函數(shù)3.1.1梯度的幾何性質(zhì)3.1.2Hessi矩陣的定性3.1.3Taylor展開(kāi)3.1.4齊次函數(shù)

光滑函數(shù)(smoothfunction)是可以近似表達(dá)為線性函數(shù)的非線性函數(shù)，它們的圖形沒(méi)有間斷和折點(diǎn)光滑函數(shù)的線性近似實(shí)際上屬于微積分的范疇

3.1.1梯度的幾何性質(zhì)梯度向量表示從出發(fā)的變化方向，具體取決于每一個(gè)分量變化的大小。圖3-1向量的幾何含義全微分(3.1)即在點(diǎn)處的全微分恰好是梯度和向量的內(nèi)積。曲線的水平集(levelset)常見(jiàn)例子無(wú)差異曲線：效用函數(shù)的水平集等產(chǎn)量曲線：生產(chǎn)函數(shù)的水平集。

梯度的幾何含義是與切平面垂直的向量，即法向量。在點(diǎn)處指向變化的法方向。圖3.2梯度向量的幾何含義

例3.1(水平集的斜率)設(shè)在點(diǎn)處可微存在超平面在點(diǎn)處與水平集相切。由下式定義：其斜率為：即在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)之比。若為效用函數(shù)，則水平集為無(wú)差異曲線，而兩種商品之間的邊際替代率衡量無(wú)差異曲線的斜率；若為生產(chǎn)函數(shù)，則水平集為等產(chǎn)量曲線，而兩種投入之間的邊際技術(shù)替代率衡量等產(chǎn)量曲線的斜率。3.1.2Hessi矩陣的定性矩陣的定性：為階方陣正半定正定負(fù)半定正半定負(fù)定正定不定既有正值也有負(fù)值

主子式和順序主子式的階主子陣從中劃去行和相同的列，由此形成的階子矩陣對(duì)應(yīng)的行列式稱(chēng)為的階主子式的階順序主子陣從中劃去后后行和列，由此形成的階子矩陣對(duì)應(yīng)的行列式稱(chēng)為的階主子式

例3.2三階方陣有1個(gè)三階主子式，3個(gè)二階主子式，3個(gè)一階主子式 有3個(gè)順序主子式

定理3.1對(duì)稱(chēng)矩陣的定性正定的個(gè)順序主子式都為正數(shù)負(fù)定的個(gè)順序主子式依次改變符號(hào)：奇數(shù)順序的為負(fù)，而偶數(shù)順序的為正正半定的個(gè)主子式都非負(fù)負(fù)半定的個(gè)主子式依次改變符號(hào)：奇數(shù)順序的為負(fù)，而偶數(shù)順序的為正

例3.3Cobb-Douglas函數(shù)的梯度向量為： Hessi矩陣為：，則在點(diǎn)的梯度為Hessi矩陣為它的三個(gè)主子式因此，在點(diǎn)處，海賽矩陣是負(fù)半定的。 3.1.3Taylor展開(kāi)中的Taylor定理是開(kāi)區(qū)間上的單值函數(shù)，，在和之間存在，使得中的二次近似表示是開(kāi)區(qū)間上的實(shí)值函數(shù)，，，滿足 中的二次近似表示是點(diǎn)的凸鄰域上的單值函數(shù)，，滿足其中，余項(xiàng)為可以忽略不計(jì)的向量的模的平方的無(wú)窮小量。進(jìn)一步地，在點(diǎn)和之間存在點(diǎn),使得：

例3.3(Cobb-Douglas函數(shù))例3.1中的Cobb-Douglas函數(shù)在點(diǎn)處的二次Taylor展開(kāi)近似表示為：

3.1.4齊次函數(shù)齊次函數(shù)是次齊次,，。經(jīng)濟(jì)分析中的齊次函數(shù)生產(chǎn)者理論：規(guī)模報(bào)酬不變意味著生產(chǎn)函數(shù)是1次齊次的價(jià)格函數(shù)：如利潤(rùn)函數(shù)中，它對(duì)應(yīng)于相對(duì)價(jià)格不變時(shí)的規(guī)模。經(jīng)濟(jì)學(xué)中最常見(jiàn)的情形是0次或1次齊次。0次齊次函數(shù)沿著任何射線都是常數(shù)1次齊次函數(shù)沿著所有射線都是線性的，有時(shí)也稱(chēng)為線性齊次的(linearlyhomogeneous)。例3.4(Cobb-Douglas函數(shù))Cobb-Douglas函數(shù)是次齊次的。因?yàn)閷?duì)

經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一些齊次函數(shù)：規(guī)模彈性不變(constantelasticscale,CES)函數(shù)是1次齊次的。需求函數(shù)衡量給定價(jià)格和收入時(shí)商品的需求量(例1.1)，它是0次齊次的。間接效用函數(shù)在和中是0次齊次的。競(jìng)爭(zhēng)性廠商的利潤(rùn)函數(shù)是1次齊次的。競(jìng)爭(zhēng)性廠商的成本函數(shù)在投入價(jià)格中是1次齊次的。

齊次函數(shù)的性質(zhì)是次齊次可微函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)次齊次是1次齊次可微是次齊次可微

3.2光滑函數(shù)的凹性3.2.1凹性的定義3.2.2一階條件3.2.3二次條件3.2.4例子3.2.5上水平集3.2.6下圖

3.2.1定義凹，，(3.9)嚴(yán)格凹，，上式嚴(yán)格成立凸凹嚴(yán)格凸嚴(yán)格凹

例3.5(利潤(rùn)函數(shù))競(jìng)爭(zhēng)性廠商的利潤(rùn)函數(shù)在中是凸的，設(shè)最大化價(jià)格時(shí)的利潤(rùn)，最大化價(jià)格時(shí)的利潤(rùn)。對(duì)，設(shè)加權(quán)平均價(jià)格設(shè)最大化時(shí)的利潤(rùn)，則由于、分別最大化、時(shí)的利潤(rùn)，因此利潤(rùn)函數(shù)在中是凸的。函數(shù)是仿射的(從而線性的)該函數(shù)既凸又凹 凸集上的是凹的和，在上是凹的。通過(guò)將函數(shù)限定在一條直線上，這一性質(zhì)可檢查函數(shù)是否為凹。凸函數(shù)在定義域的內(nèi)部是連續(xù)的，但可能在邊界上不連續(xù)。

3.2.2一階條件是開(kāi)凸集上的單值函數(shù)，凹，(3.10)凹函數(shù)的圖像位于經(jīng)過(guò)其上任一點(diǎn)的切線的下方。圖3.4凹函數(shù)的一階條件式(3.10)表明凹函數(shù)的一次泰勒近似是的全局高估量(globaloverestimator)。反之，如果函數(shù)的一階泰勒近似總是函數(shù)的全局高估量，則函數(shù)是凹的借助凹函數(shù)的局部信息(即它在一點(diǎn)的值和導(dǎo)數(shù))，可以導(dǎo)出全局信息(即它的全局高估量)。例子：式(3.10)表明，，也即，是的全局最大點(diǎn)。

嚴(yán)格凹性嚴(yán)格凹，，凹，

一階凹性條件的證明的情形凹，，凹(3.11)，可得式(3.11)。，滿足式(3.11)，，令。應(yīng)用式(3.11)凹一般的情形，考慮，有。凹凹(3.12)，，凹

3.2.3二階條件，凹負(fù)半定在上，在點(diǎn)有負(fù)曲率。

例3.6(二次函數(shù))其中為階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，，。，凹負(fù)半定凸正半定嚴(yán)格凹負(fù)定嚴(yán)格凸正定

3.2.4例子上的一些例子：指數(shù)函數(shù)。，在上凸冪函數(shù)。，在上凹；或時(shí)是凸的。絕對(duì)值的冪。，在上凸。對(duì)數(shù)。在上凹。非負(fù)熵。在上(嚴(yán)格)凸。證明方法1．驗(yàn)證式(3.11)2．檢驗(yàn)二次導(dǎo)數(shù)上的例子：范數(shù)。上的每個(gè)范數(shù)都是凸函數(shù)。最大值函數(shù)。在上凸“二次與線性之比”函數(shù)上的是凸的(圖3.2)。圖3.2函數(shù)“指數(shù)之和的對(duì)數(shù)”函數(shù)在上凸。時(shí)的情形如圖3.3。圖3.3函數(shù)幾何平均函數(shù)。在上凹

驗(yàn)證方法直接驗(yàn)證式(3.11)驗(yàn)證Hessi矩陣是正半定的函數(shù)約束在任意直線上，并驗(yàn)證所產(chǎn)生的一元函數(shù)的凹性。

范數(shù) 范數(shù)，，則不等式基于范數(shù)滿足三角不等式，等式源于范數(shù)的齊次性。最大值函數(shù) ，滿足

“二次與線性之比”函數(shù) 對(duì)，“指數(shù)之和的對(duì)數(shù)”函數(shù) 其中。為驗(yàn)證是正半定的，必須表明，，即設(shè)，應(yīng)用Cauchy-Schwartz不等式，可得上式。幾何平均函數(shù) 海賽矩陣由以下兩式給定表示為其中。須表明負(fù)半定。即對(duì)，設(shè)，，應(yīng)用Cauchy-Schwartz不等式，可得上式。3.1.5上水平集凸集上的的上水平集(superlevelset)凹它的上水平集是凸的。相反的情形不成立如的上水平集是凸的，但它在上不是凹的，而是嚴(yán)格凸的。凸它的下水平集凸

例3.9的幾何和算術(shù)平均分別為在的定義中，取。算術(shù)—幾何平均不等式表明，設(shè)，考察即幾何平均不小于算術(shù)平均的倍的向量的集合。這一集合是凸的，因?yàn)樗前己瘮?shù)的上水平集。事實(shí)上，該集合是非負(fù)齊次的，因而是凸錐。

3.1.6下圖的圖形(graph)為，它是的子集。的下圖(hypograph)為

凹它的下圖是凸集。凸上圖(epigraph)凸。凹函數(shù)的許多結(jié)果可以利用下圖進(jìn)行幾何解釋如凹性的一階條件其中是凹的，。這意味由向量確定的超平面在點(diǎn)處支撐，如圖3.8。圖3.8向量確定的在點(diǎn)處的的支撐超平面

例3.8生產(chǎn)函數(shù)廠商用種投入生產(chǎn)一種產(chǎn)出的技術(shù)投入要求集生產(chǎn)函數(shù)(productionfunction)：生產(chǎn)函數(shù)與生產(chǎn)可能性集給定，，定義是的下圖。凹凸生產(chǎn)函數(shù)凹技術(shù)呈現(xiàn)規(guī)模報(bào)酬非遞增生產(chǎn)函數(shù)嚴(yán)格凹技術(shù)呈現(xiàn)規(guī)模報(bào)酬遞減。 3.3保持凹性的運(yùn)算3.3.1非負(fù)加權(quán)之和3.3.2仿射映射的復(fù)合函數(shù)3.3.3復(fù)合函數(shù)

3.3.1非負(fù)加權(quán)之和凹，凹和凹凹凹，凹類(lèi)似地：凸函數(shù)的非負(fù)加權(quán)之和是凸的嚴(yán)格凹(凸)函數(shù)的正加權(quán)之和是嚴(yán)格凹的(凸的) 3.3.2仿射映射的復(fù)合函數(shù)設(shè)，矩陣，。定義為，其中，凹凹凸凸

3.3.3復(fù)合函數(shù)設(shè)，，其復(fù)合函數(shù)定義為其中。復(fù)合函數(shù)的凹(凸)性凹和非遞減，凹凹凹和非遞增，凸凹凸和非遞減，凸凸凸和非遞增，凹凸 例3.9一些簡(jiǎn)單的復(fù)合結(jié)果凹凹凹和正的凹凸和正的凹凹和非負(fù)，凹凹在上是凹的。

3.4擬凹函數(shù)3.4.1定義擬凹(quasiconcave)，，嚴(yán)格擬凹(quasiconcave)，，擬凸(quasiconvex)擬凹嚴(yán)格擬凸嚴(yán)格擬凹擬線性(quasilinear)既擬凹又?jǐn)M凸幾何意義：設(shè)，，擬凹性要求：從“低點(diǎn)”沿直線移動(dòng)到“高點(diǎn)”時(shí)，的函數(shù)值不低于。圖3.9 擬凹函數(shù)

定理3.6設(shè)定義在凸集上：擬凹上水平集凸擬凸下水平集凸擬線性水平集凸直接結(jié)論凹擬凹擬凹函數(shù)不具有凹函數(shù)的某些性質(zhì)在定義域中的某些內(nèi)點(diǎn)處可能不連續(xù)其非負(fù)線性組合未必是擬凹函數(shù)

例3.11(凸偏好)凸偏好(convexpreference)指在平均的和極端的消費(fèi)組合之間，消費(fèi)者更偏愛(ài)平均的消費(fèi)組合反映凸偏好關(guān)系的效用函數(shù)擬凹

例3.12凸技術(shù)投入要求集是生產(chǎn)函數(shù)的上水平集凸擬凹。生產(chǎn)函數(shù)凹生產(chǎn)可能性集凸凸技術(shù)假定凸或擬凹，該假定不排除規(guī)模報(bào)酬遞增的存在

擬凸函數(shù)的經(jīng)濟(jì)學(xué)例子例3.13(間接效用函數(shù))消費(fèi)者間接效用函數(shù)(例1.3)在價(jià)格向量中是擬凸的。

上的擬凹函數(shù)圖中上水平集是區(qū)間，因而是凸的上水平集是區(qū)間。圖3.10上的擬凹函數(shù)

擬凹函數(shù)可以是凸的，或者是不連續(xù)的對(duì)數(shù)函數(shù)。上的既是擬凹的，又是擬凸的，因而是擬線性的。上限函數(shù)。是既是擬凹的，又是擬凸的，因而是擬線性的。其中是整數(shù)集。

上的一些例子例3.13上的單值函數(shù)既非凹也非凸，因?yàn)槭遣欢ǖ模幸粋€(gè)正的、一個(gè)負(fù)的特征根。但是擬凹的，因?yàn)樗纳纤郊峭沟摹２贿^(guò)，在上不是擬凹的。

例3.14(線性分式函數(shù))在上的線性分式函數(shù)既擬凹的又?jǐn)M凸，因而是擬線性的。它的上水平集是凸的，因?yàn)樗且粋€(gè)開(kāi)半空間和一個(gè)閉半空間的交。

可微擬凹函數(shù)的一階條件定理3.7是開(kāi)凸集上的函數(shù)，擬凹，

擬凹性和凹性的一階條件的重要區(qū)別凹，是的全局最大點(diǎn)擬凹，，未必是全局最大點(diǎn)偽凹性偽凹，偽凹函數(shù)的每個(gè)局部極大點(diǎn)都是全局最大點(diǎn)!經(jīng)濟(jì)學(xué)中的多數(shù)擬凹函數(shù)是偽凹的，這一特征在解決最優(yōu)化問(wèn)題中將帶