平面任意力系的平衡條件和平衡方程2023/2/51第一頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程一、平面任意力系平衡的必要和充分條件

二、關于平面任意力系的例題

三、平面任意力系平衡方程的其他形式

四、平面平行力系

第二頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程一、平面任意力系平衡的必要和充分條件第三頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程

1．平面任意力系的充分條件現在討論靜力學中最重要的情形，即平面任意力系的主矢和主矩都等于零的情形

（3-6）第四頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程顯然，主矢等于零，表明作用于簡化中心O的匯交力系為平衡力系；主矩等于零，表明附加力偶系也是平衡力系，所以原力系必為平衡力系。因此，式（3-6）為平面任意力系的充分條件。第五頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程

2．平面任意力系平衡的必要條件由上一節(jié)分析結果可見：若主矢和主矩有一個不等于零，則力系應簡化為合力或合力偶；若主矢與主矩都不等于零時，可進一步簡化為一個合力。上述情況下力系都不能平衡，只有當主矢和主矩都等于零時，力系才能平衡，因此，式（3-6）又是平面任意力系平衡的必要條件。第六頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程

3．平面任意力系平衡的必要和充分條件于是，平面任意力系平衡的必要和充分條件是：力系的主矢和對于任一點的主矩都等于零。這些平衡條件可用解析式表示。第七頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程將式（3-2）和（3-3）代入式（3-6），可得（3-7）

第八頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程

結論:

平面任意力系平衡的解析條件是：所有各力在兩個任選的坐標軸上的投影的代數和分別等于零，以及各力對于任意一點的矩的代數和也等于零。式（3-7）稱為平面任意力系的平衡方程

（為便于書寫，下標i

可略去）。第九頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程二、關于平面任意力系的例題第十頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程例3-2

起重機P1=10kN，可繞鉛直軸AB轉動；起重機的掛鉤上掛一重為P2=40kN的重物，如圖3-6所示。起重機的重心C到轉動軸的距離為1.5m，其他尺寸如圖所示。求在止推軸承A和軸承B處的約束力。第十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程圖3-6第十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程解：（1）以起重機為研究對象以起重機為研究對象，它所受的主動力有P1和P2。由于對稱性，約束力和主動力都位于同一平面內。止推軸承A處有兩個約束力FAx

，FAy

，軸承B處只有一個與轉動軸垂直的約束力FB

，約束力方向如圖3-6所示。第十三頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程（2）列平衡方程取坐標系如圖3-6所示，列平面任意力系的平衡方程，即第十四頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程（3）求解方程求解以上方程，得

FB為負值，說明它的方向與假設的方向相反，即應指向左。第十五頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程例3-3

圖3-7所示的水平梁AB，A端為固定鉸鏈支座，B端為一滾動支座。梁的長為4a，梁重P，作用在梁的中點C。在梁的AC段上受均布載荷q作用，在梁的BC段上受力偶作用，力偶矩M=Pa。試求A和B處的支座約束力。第十六頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程圖3-7第十七頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程解：（1）選梁AB為研究對象梁AB所受的主動力有：均布載荷q，重力P和矩為M的力偶。梁AB所受的約束力有：鉸鏈A的兩個分力Fax和FAy

，滾動支座B處鉛直向上的約束力FB。第十八頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程（2）列平衡方程取坐標系如圖3-7所示，列出平衡方程：第十九頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程（3）解方程解上述方程，得第二十頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程例3-4

自重為P=100kN的T字型剛架ABD，置于鉛垂面內，載荷如圖3-8a所示。其中

M=20kN·m

，F=400kN

，q=20kN/m

，

l=1m

。試求固定端A的約束力。第二十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程圖3-8a第二十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程解：（1）取T

字形鋼架ABD

為研究對象鋼架ABD上除主動力外，還受有固定端

A處的約束力FAx

，Fay和約束力偶MA

。線性分布載荷可視為一組平行力系，將其簡化為一個集中力F1

，其大小為

第二十三頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程

其作用線可利用合力矩定理確定：第二十四頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程式中，h是點A到集中力F1的距離，由上式求得h=l，即集中力作用于三角形分布載荷的幾何中心。剛架受力圖如圖3-8b所示。第二十五頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程圖3-8b第二十六頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程（2）按圖示坐標列平衡方程第二十七頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程（3）解方程解方程，求得負號說明圖中所設方向與實際情況相反，即

MA為順時針轉向。第二十八頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程解題技巧：

（1）從上述例題可見，選取適當的坐標軸和力矩中心，可以減少每個平衡方程中的未知數的數目。

（2）在平面任意力系情形下，矩心應取在多個未知力的交點上，而坐標軸應當與盡可能多的未知力相垂直。第二十九頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程三、平面任意力系平衡方程的其他形式第三十頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程在例3-3中，若以方程取代方程可以不解聯立方程直接求得Fay值。因此在計算某些問題時，采用力矩方程往往比投影方程簡便。下面介紹平面任意力系平衡方程的其他兩種形式。第三十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程

1．二矩式平衡方程

（1）三個平衡方程中有兩個力矩方程和一個投影方程，即（3-8）第三十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程其中x軸不垂直于A，B兩點的連線。

（2）為什么上述形式的平衡方程也能滿足力系平衡的必要和充分條件呢？

a．這是因為，如果力系對點A的主矩等于零，則這個力系不可能簡化為一個力偶；但可能有兩種情形：這個力系或者是簡化為經過點A的一個力，或者平衡。第三十三頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程

b．如果力系對另一點B的主矩也同時為零，則這個力系或一合力沿A，B兩點的連線，或者平衡（圖3-9）。

c．如果再加上，那么力系如有合力，則此合力必與x軸垂直。第三十四頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程圖3-9第三十五頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程式（3-8）的附加條件（x軸不得垂直于連線AB）完全排除了力系簡化為一個合力的可能性，故所研究的力系必為平衡力系。第三十六頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程

2．三矩式平衡方程

（1）同理，也可寫出三個力矩式的平衡方程，即，，

（3-9）其中A，B，C三點不得共線。第三十七頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程

（2）為什么必須有

“A，B，C三點不得共線”這個附加條件？同學們可自行證明。第三十八頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程

3．根據具體條件選擇三組平衡方程

（1）上述三組方程（3-7）、（3-8）、（3-9），究竟選用哪一組方程，須根據具體條件確定。

（2）對于受平面任意力系作用的單個剛體的平衡問題，只可以寫出三個獨立的平衡方程，求解三個未知量。第三十九頁，共四十五頁，2022年，8月28日理論力學3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程

（3）任何第四個方程只是前三個方程的線性組合，因而不是獨立的。我們可以利用這個方程來校核計算的結果