第四章圖像的幾何變換圖像的幾何變換高大目標物常因透視效應導致其成像結果發(fā)生形狀變化實際目標物幾何位置變化實際成像結果集合校正結果圖像的幾何變換圖像的幾何變換包括了圖像的形狀變換和圖像的位置變換。圖像的形狀變換是指圖像的放大、縮小與錯切。圖像的位置變換是指圖像的平移、鏡像與旋轉(zhuǎn)。圖像的仿射變換描述。圖像的幾何變換不改變像素的值，只改變像素的位置。圖像的形狀變換圖像的形狀變換主要是指圖像的縮小、放大與錯切。圖像的形狀變換通常在目標物識別中使用。圖像的位置變換所謂圖像的位置變換是指圖像的大小和形狀不發(fā)生變化，只是將圖像進行平移、鏡像和旋轉(zhuǎn)。圖像的位置變換主要是用于目標識別中的目標配準。圖像的平移圖像的平移非常簡單，所用到的是中學學過的直角坐標系的平移變換公式：

注意：x方向與y方向是矩陣的行列方向。即：g(x,y)=f(x’,y’)圖像的平移

——示例注意：平移后的景物與原圖像相同，但“畫布”一定是擴大了。否則就會丟失信息。下移1行，右移2列x=[1,2,3];y=[1,2,3]x’=[2,3,4];y’=[3,4,5]123123123451234圖像的鏡像所謂的鏡像，通俗地講，是指在鏡子中所成的像。其特點是左右顛倒或者是上下顛倒。鏡像分為水平鏡像和垂直鏡像。

圖像的水平鏡像水平鏡像計算公式如下（圖像大小為M*N）

因為表示圖像的矩陣坐標不能為負，因此需要在進行鏡像計算之后，再進行坐標的平移。（坐標平移）0-1-2-3123圖像的水平鏡像示例：123123123-1-2-3321123圖像的垂直鏡像垂直鏡像計算公式如下（圖像大小為M*N）

因為表示圖像的矩陣坐標不能為負，因此需要在進行鏡像計算之后，再進行坐標的平移。（坐標平移）圖像的垂直鏡像示例：123123123-1-2-3123321水平鏡像示例垂直鏡像示例圖像的旋轉(zhuǎn)圖像的旋轉(zhuǎn)計算公式如下：

這個計算公式計算出的值為小數(shù)，而坐標值為正整數(shù)。這個計算公式計算的結果值所在范圍與原來的值所在的范圍不同。

因此需要前期處理：擴大畫布，取整處理，平移處理

。θ圖像旋轉(zhuǎn)的前期處理

——畫布的擴大圖像旋轉(zhuǎn)之前，為了避免信息的丟失，畫布的擴大是最重要的。畫布擴大的原則是：以最小的面積承載全部的畫面信息。圖像旋轉(zhuǎn)的前期處理

——畫布的擴大畫布擴大的簡單方法是：根據(jù)公式計算出x’和y’的最大、最小值，即x’min、x’max和y’min，y’max。畫布大小為：x’max–x’min、y’max

–y’min。圖像旋轉(zhuǎn)的前期處理

——畫布的擴大旋轉(zhuǎn)后圖像的畫布大小為：例平移量為△x’=2;△y’=0。圖像旋轉(zhuǎn)

——

按照確定畫布時的平移量取整結論：按照圖像旋轉(zhuǎn)計算公式獲得的結果與想象中的差異很大。對原圖的(1,1)像素，x=1,y=1取整后，該點在新圖的(2,1)上。對原圖的(1,2)像素，x=1,y=2取整后，該點在新圖的(2,2)上。必須進行后處理操作。圖像旋轉(zhuǎn)的效果示例圖像旋轉(zhuǎn)后處理

——旋轉(zhuǎn)后的隱含問題分析圖像旋轉(zhuǎn)之后，出現(xiàn)了兩個問題：1）像素的排列不是完全按照原有的相鄰關系。這是因為相鄰像素之間只能有8個方向（相鄰為45度），如下圖所示。2）會出現(xiàn)許多的空洞點。示例圖像旋轉(zhuǎn)后處理

——解決問題的思路出現(xiàn)問題的核心是像素之間的連接是不連續(xù)的。相鄰像素的角度是無法改變的，所以只能通過增加分辨率的方法來從整體上解決這個問題。采用某種填補方法來填充空洞。圖像旋轉(zhuǎn)的后處理

——

插值鄰近插值法：最簡單的方法是行插值（列插值）方法。1）找出當前行的最小和最大的非背景點的坐標，記作：(i,k1)、(i,k2)。如右圖有：(1,3)、(1,3);(2,1)、(2,4);(3,2)、(3,4)；(4,2)、(4,3)。圖像旋轉(zhuǎn)的后處理

——

插值2）在(k1,k2)范圍內(nèi)進行插值，插值的方法是：空點的像素值等于前一點的像素值。3）同樣的操作重復到所有行。2）均值插值法將空穴周圍像素點均值作為填充值圖像旋轉(zhuǎn)中的插值效果示例圖像旋轉(zhuǎn)的后處理

——

插值效果分析

經(jīng)過插值處理之后，圖像效果就變得自然。思考一個問題：邊界的鋸齒如何處理？2.極坐標變換方法極坐標變換方法是指將原圖像的像素點的坐標在極坐標系中表示并進行旋轉(zhuǎn)變換。極坐標系的變換，就是在極坐標系中平移之后，再進行極坐標系逆變換，就可以得到旋轉(zhuǎn)圖像。極坐標系變換：例：原圖為其行列坐標分布為原圖進行極坐標變換得：旋轉(zhuǎn)30度，相當于變換后：變換后坐標為：3.反變換方法反變換方法就是從新圖像的像素點坐標反過來計算對應原圖像的坐標。步驟：1-確定畫布大小2-確定變換后坐標變換范圍3-進行反變換，求4-查找對應原圖像坐標5.4圖像的幾何校正灰度插值5.4圖像的幾何校正圖像旋轉(zhuǎn)之后，出現(xiàn)了兩個問題：1）像素的排列不是完全按照原有的相鄰關系。這是因為相鄰像素之間只能有8個方向（相鄰為45度），如下圖所示。2）會出現(xiàn)許多的空洞點。5.4圖像的幾何校正解決思路出現(xiàn)問題的核心是像素之間的連接是不連續(xù)的。相鄰像素的角度是無法改變的，所以只能通過增加分辨率的方法來從整體上解決這個問題。采用某種填補方法來填充空洞。像素灰度內(nèi)插1-最近鄰元法在待求點的四鄰像素中，將距離這點最近的相鄰像素灰度賦給該待求點。該方法最簡單，效果尚佳，但校正后的圖像有明顯鋸齒狀，即存在灰度不連續(xù)性。像素灰度內(nèi)插2-雙線性內(nèi)插法雙線性內(nèi)插法是利用待求點四個鄰像素的灰度在兩個方向上作線性內(nèi)插。該方法要比最近鄰元法復雜，計算量大。但沒有灰度不連續(xù)性的缺點，結果令人滿意。它具有低通濾波性質(zhì)，使高頻分量受損，圖像輪廓有一定模糊。像素灰度內(nèi)插3-三次內(nèi)插法該方法利用三次多項式S(x)來逼近理論上的最佳插值函數(shù)sin(x)/x。其數(shù)學表達式為：待求像素(x,y)的灰度值由其周圍十六個點的灰度值加權內(nèi)插得到。可推導出待求像素的灰度計算式如下：f(x,y)=A?B?C像素灰度內(nèi)插法效果比較原始影像灰度表面最近鄰內(nèi)插法雙線性內(nèi)插法三次內(nèi)插法圖像的形狀變換應用

——

目標物識別如圖所示,要判別圖中的某個果子是蘋果還是李子,要將該圖像進行放大或者是縮小,才能夠進行正確的比較與識別。圖像的縮小分為按比例縮小和不按比例縮小兩種。圖像縮小之后，因為承載的信息量小了，所以畫布可相應縮小。(a)按比例縮小(b)不按比例縮小圖像縮小

——

實現(xiàn)思路圖像縮小實際上就是對原有的多個數(shù)據(jù)進行挑選或處理，獲得期望縮小尺寸的數(shù)據(jù)，并且盡量保持原有的特征不丟失。最簡單的方法就是等間隔地選取數(shù)據(jù)。圖像縮小

——

實現(xiàn)方法原理：該方法通過對原圖像的均勻采樣，等間隔地選取一部分像素，從而獲得小尺寸圖像的數(shù)據(jù)，并且盡量保持原有圖像特征不丟失。6×63×3算法描述：設原圖像大小為M×N,縮小為k1M×k2N，（k1<1，k2<1）。算法步驟如下：1）設舊圖像是f(i,j)，i=1,2,…,M,j=1,2,…,N.

新圖像是g(i,j),i=1,2,…,k1M,j=1,2,…,k2N.2）計算采樣間隔Δi=1/k1，Δj=1/k23）g(i,j)=f(Δi×i,Δj×j)例題:縮小6×6的圖像，設k1=2/3,k2=3/4;f21f23f24f25f26f31f33f34f35f36f51f53f54f55f56f61f63f64f65f66則采樣間隔為：Δi=3/2，Δj=4/3對于：i=1，j＝1→

g(1,1)=f(1×3/2,1×4/3)＝f21對于：i=1，j＝2→

g(2,1)=f(3×3/2,1×4/3)＝f31……………f11f12f13f14f15f16f21f22f23f24f25f26f31f32f33f34f35f36f41f42f43f44f45f46f51f52f53f54f55f56f61f62f63f64f65f66注意：不按比例縮小會導致幾何畸變。g(i,j)=f(Δi×i,Δj×j)原圖像f（i,j)＝fij新圖像g（i,j）f11f12f13f14f15f16f21f22f23f24f25f26f31f32f33f34f35f36f41f42f43f44f45f46f51f52f53f54f55f56f61f62f63f64f65f66新圖像大?。簁1M×k2N＝4×55.4圖像的幾何校正例：?。?，3，4，6，7，8列；2，3，4行?。?，3，5，6列；2，4行等比例：不等比例：圖像縮小

——

例題K1=0.6,k2=0.7479101112131516171825272829303133343536i=[1,6],j=[1,6].x=[1,6*06]=[1,4],y=[1,6*0.75]=[1,5].x=[1/0.6,2/0.6,3/0.6,4/0.6]=[1.67,3.33,5,6.67]=[i2,i3,i5,i6],y=[1/0.75,2/0.75,3/0.75,4/0.75,5/0.75]=[j1,j3,j4,j5,j6].123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536基于局部均值的圖像縮小方法由于間隔采樣方法簡單，但是沒有選取到的信息無法反映在縮小后的圖像中，為解決這個問題，可以采用基于局部均值的方法來進行圖像縮小。步驟如下：(1)計算新圖像的大小，計算采樣間隔Δi=1/k1，Δj=1/k2(2)對新圖像的像素（i,j)，計算其在原圖像中對應的子塊f(i,j)：

（3）根據(jù)下式求出縮小的圖像：例題：k1=0.7,k2=0.6→Δi=1.4,Δj=1.7圖像放大有兩種：按比例放大或不按比例放大。圖像放大從字面上看，是圖像縮小的逆操作。但是，從信息處理的角度來看，圖像縮小是對信息的一種簡化，而圖像放大則需要為增加的像素填入適當?shù)幕叶戎?，是對未知信息的估計。兩種圖像放大方法：

（1）基于像素放大原理的圖像放大方法

（2）基于雙線性插值的圖像放大方法圖像放大6.2.2.1基于像素放大原理的圖像放大方法基本思想是：如果需要將原圖像放大k倍，則將原圖像中的每個像素值，填在新圖像中對應的k×k大小的子塊中。放大5倍

當圖像放大k1×k2倍，就好像每個像素放大了k1×k2倍。算法描述：

設原圖像大小為M×N,放大為k1M×k2N，（k1>1，k2>1）。算法步驟如下：1）設原圖像是F(i,j):i=1,2,…,M;j=1,2,…,N.

新圖像是G(i,j):i=1,2,…,k1M;j=1,2,…,k2N.2）計算采樣間隔：Δi=1/k1

Δj=1/k23）G(i,j)=f(Δi×i,Δj×j)例題k1=1.2,k2=2.5→Δi=0.83;Δj=0.4G(3,4)的板書計算G(i,j)=f(Δi×i;,Δj×j;)圖像成倍放大圖像大比例放大時的馬賽克效應放大10倍

4.2.2.2基于雙線性插值的圖像放大方法

基于雙線性插值的圖像放大方法能夠有效消除圖像高倍放大時出現(xiàn)的“馬賽克現(xiàn)象”，使得圖像的放大效果更加自然。算法步驟如下：

(1)按照基于像素放大原理的圖像放大方法，確定每一個原圖像的像素在新圖像中對應的子塊。(2)對新圖像中每一個子塊，僅對其一個像素進行填充。在每個子塊中選取一個填充像素的方法如下：對右下角的子塊，選取子塊中右下角的像素；對末列、非末行子塊，選取子塊中的右上角像素；對末行、非末列子塊，選取子塊中的左下角像素；對剩余的子塊，選取子塊中的左上角像素。(3)通過雙線性插值方法計算剩余像素的值。對所有填充像素所在列中的其他像素的值，可以根據(jù)該像素的上方與下方的已填充的像素值，采用雙線性插值方法計算得到。第i2行g(i1,j)g(i2,j)g(i,j)第i1行第i行第j列對剩余像素的值，可以利用該像素的左方與右方的已填充像素的值，通過線性插值方法計算得到。

g(i,j1)g(i,j2)g(i,j)第j1

列第j列第j2列第i行圖像的錯切效果6.2.3圖像錯切圖像的錯切變換可看成是平面景物在投影平面上的非垂直投影效果。錯切變換可分為兩種。一種是水平錯切，水平方向的線段發(fā)生傾斜。另一種是垂直錯切，垂直方向的線段發(fā)生傾斜。錯切的計算公式如下：圖像錯切的例題

可以看到，錯切之后原圖像的像素排列方向發(fā)生改變。與前面旋轉(zhuǎn)不同的是，沿x方向或y方向獨立變化。

利用三角函數(shù)的性質(zhì)，可以利用錯切來實現(xiàn)圖像的旋轉(zhuǎn)。因為圖像旋轉(zhuǎn)角度用矩陣形式表示為所以，圖像旋轉(zhuǎn)可以分解成三次圖像的錯切來實現(xiàn)。（3）利用錯切實現(xiàn)圖像的旋轉(zhuǎn)6.3圖像的仿射變換圖像仿射變換提出的意義是采用通用的數(shù)學變換公式，來表示前面給出的幾何變換。為了能夠采用統(tǒng)一變換公式表示平移變換，引入齊次坐標概念。平移公式：6.3.1齊次坐標原坐標為(x,y)，定義齊次坐標為：（wx,wy,w）

這里，令系數(shù)w取值為1，即像素（i，j）的齊次坐標為（i，j，1）。6.3.2仿射變換可以定義仿射變換如下：有了齊次坐標，就可以用矩陣形式表示為：圖像的平移：圖像的旋轉(zhuǎn)：6.3.3仿射變換表示圖像的幾何變換6.3.3仿射變換表示圖像的幾何變換圖像的水平鏡像：圖像的垂直鏡像：6.3.3仿射變換表示圖像的幾何變換圖像的水平錯切：圖像的垂直錯切：投影變換是指在某個視點下，三維物體在平面上的投影。術語：視點；投影面；投影線如下圖所示，當視點位于z軸（0,0,h)，物體上的點p(x,y,z)在平面上的投影P(X,Y,0)的計算公式如下：xyzVp=(0,0,h)

視點p(x,y,z)

空間上的點P(X,Y,0)

投影面上的點6.4投影變換例題z=0時，X=hx/h=x,Y=hy/h=yz=1時，X=hx/(h-1)=1.5xY=hy/(h-1)=1.5y所以：P1=(1,1)P2=(2,1)P3=(1,2)P4=(2,2)P5=(1.5,1.5)P6=(3,1.5)P7=(1.5,3)P8=(3,3)

已知立方體的8個頂點：p1=(1,1,0)p2=(2,1,0)p3=(1,2,0)p4=(2,2,0)P5=(1,1,1)p6=(2,1,1)p7=(1,2,1)p8=(2,2,1)

假設視點位于(0,0,3)，即h=3，求立方體各頂點在XOY平面上的投影。p1p3p4p2p5p6p7p8xzy投影變換的結果:

根據(jù)視點到投影面之間的距離是否為無窮遠，將投影方式分為透視投影和平行投影兩種。6.4.1透視投影

視點到投影面之間的距離有限。透視投影的特點是：模擬了照相機的拍攝效果，如平行線的投影可能不再保持平行；近處物體的投影相對要大些。立方體的透視投影效果透視投影效果原理示意圖

視點位于無窮遠，因此只須指明投影方向與投影平面。平行投影的特點是：平行線的投影仍然保持平行，投影結果與物體到投影面的距離無關。6.4.2平行投影立方體的平行投影效果平行投影原理示意圖6.5圖像幾何畸變的校正

當鏡頭沒有正對拍攝目標物時，即目標物不是垂直于成像面上時，就會發(fā)生幾何畸變。

常見的有枕形或桶形的圖像畸變，例如二維條碼圖像的畸變：

目標物成像結果發(fā)生形狀變化實際目標物幾何位置變化實際成像結果集合校正結果幾何校正方法

圖像幾何校正的基本方法是先建立幾何校正的數(shù)學模型；其次利用已知條件確定模型參數(shù)；最后根據(jù)模型對圖像進行幾何校正。幾何校正通常分兩步：①圖像空間坐標變換；首先建立圖像像點坐標（行、列號）和物方（或參考圖）對應點坐標間的映射關系，解求映射關系中的未知參數(shù)，然后根據(jù)映射關系對圖像各個像素坐標進行校正；②確定各像素的灰度值（灰度內(nèi)插）。校正兩種途徑：根據(jù)畸變原因，建立數(shù)學模型（實際情況復雜不適用）參考點校正法－－推算全圖變形函數(shù)，前提是足夠多的參考點。abdca’c’b’d’a（舊）實際采到

b（新）

可建立：A=HB

校正后

變換矩陣待校正a—a’對應點對，圖中有4個對應點對，求H，一般為N對

同名點有兩幅圖像，一幅為沒有畸變的基準圖像（由沒有畸變或畸變小的攝像系統(tǒng)獲得），另一幅為發(fā)生畸變的圖像，是被校正圖像設兩幅圖像坐標系統(tǒng)之間幾何畸變關系能夠用解析式來描述：空間坐標變換(x,y)(x’,y’)若h1和h2均已知，則可以從一個坐標系統(tǒng)的像素坐標計算出另一個坐標系統(tǒng)的對應像素的坐標若h1,h2函數(shù)未知，則需要選取控制點來進行校正

通常h1(x，y)和h2(x，y)可用多項式來近似當n=1時（n為多項式次數(shù)），畸變關系為線性變換

上述式子中包含a00、a10、a01、b00、b10、b016個未知數(shù)，至少需要3個已知點來建立方程式，解求未知數(shù)。

當n=2時，畸變關系式為包含12個未知數(shù)，至少需要6個已知點對來建立關系式，解求未知數(shù)。當已知點數(shù)目超過6時，用最小二乘解：謝謝

常見的有枕形或桶形的圖像畸變，可以通過下面定義的線性幾何變換對其進行校正：

變換參數(shù)可通過選取3個對應點的坐標來確定。

（x’,y’）、（x,y）分別代表失真前后的圖像象素坐標圖像放大

——

實現(xiàn)思路最簡單的思想是，如果需要將原圖像放大為k倍，則將原圖像中的每個像素值，填在新圖像中對應的k*k大小的子塊中。放大5倍顯然，當k為整數(shù)時，可以采用這種簡單的方法。圖像放大

——

實現(xiàn)方法設原圖像大小為M*N,放大為k1M*k2N，（k1>1，k2>1）。算法步驟如下：1）設舊圖像是F(i,j)，i=1,2,…,M,j=1,2,…,N.

新圖像是G(x,y),x=1,2,…,k1M,y=1,2,…,k2N.2）G(x,y)=F(c1*i,c2*j)

c1=1/k1c2=1/k2K1=1.5,k2=1.212