山西省大同市煤礦集團(tuán)公司第一中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖所示，在平面四邊形ABCD中，為正三角形，則面積的最大值為A． B． C． D．參考答案：D在中，設(shè)，，由余弦定理得：，∵為正三角形，∴，，在中，由正弦定理得：，∴∴∵β<∠BAC，∴β為銳角，∴，當(dāng)時(shí),.2.5．在整數(shù)集中，被4除所得余數(shù)的所有整數(shù)組成一個(gè)“類(lèi)”，記為，即，.給出如下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④“整數(shù)屬于同一‘類(lèi)’”的充要條件是“”.其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：C3.（06年全國(guó)卷Ⅰ理）如果復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)A．

B．

C．

D．參考答案：答案：B解析：復(fù)數(shù)=(m2－m)+(1+m3)i是實(shí)數(shù)，∴1+m3=0，m=－1，選B.4.（

）A.-6

B.

C.6

D.參考答案：A5.設(shè)f(x)是R上的任意函數(shù)，給出下列四個(gè)函數(shù)：①f(x)f(－x)；②f(x)|f(－x)|；③f(x)－f(－x)；④f(x)＋f(－x)．則其中是偶函數(shù)的為()A．①②

B．②③

C．③④

D．①④參考答案：D6.下列函數(shù)中，定義域是且為增函數(shù)的是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略7.設(shè)f(x)是定義在R上以2為周期的偶函數(shù)，已知x∈(0,1)時(shí)，f(x)＝log(1－x)，則函數(shù)f(x)在(1,2)上()A．是增函數(shù)，且f(x)<0B．是增函數(shù)，且f(x)>0C．是減函數(shù)，且f(x)<0D．是減函數(shù)，且f(x)>0參考答案：D8.已知集合A={x|}，B={x|lgx≤1}，則A∩B=（）A．[﹣1，3] B．（﹣1，3] C．（0，1] D．（0，3]參考答案：D【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】求出A與B中不等式的解集分別確定出A與B，找出兩集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式變形得：（x+1）（x﹣3）≤0，且x+1≠0，解得：﹣1＜x≤3，即A=（﹣1，3]，由B中不等式變形得：lgx≤1=lg10，解得：0＜x≤10，即B=（0，10]，則A∩B=（0，3]，故選：D．9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向左平移個(gè)單位，則得到的新函數(shù)圖象的解析式為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A10.（5分）（2012秋?壽縣校級(jí)期末）已知命題：p所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)，則命題?p是（）A．所有的素?cái)?shù)都不是奇數(shù)B．有些的素?cái)?shù)是奇數(shù)C．存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)D．存在一個(gè)素?cái)?shù)是奇數(shù)參考答案：C考點(diǎn)：命題的否定．專(zhuān)題：規(guī)律型．分析：根據(jù)全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題即可得到結(jié)論．解答：解：∵命題p為全稱(chēng)命題，∴根據(jù)全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題得：￢p存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)．故選：C．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查含有量詞的命題的否定，要求熟練掌握全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題，特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題．比較基礎(chǔ)．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)D為不等式組表示的平面區(qū)域，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，若對(duì)于區(qū)域D內(nèi)的任一點(diǎn)，都有成立，則的最大值等于_________參考答案：212.若,則的值為

；參考答案：13.如果由矩陣表示的關(guān)于的二元一次方程組無(wú)解，則實(shí)數(shù)．參考答案：14.已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ax2，且函數(shù)f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的斜率是，則a=．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的斜率是，∴，又，∴，得．故答案為：15.平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)是單位圓在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，，若，則為_(kāi)____．參考答案：分析】利用任意角三角函數(shù)的定義可知，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得的值，再利用兩角差的正余弦公式求得的值，兩者相加即可得解．【詳解】解：由題意知：，，由，得，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的正余弦公式，屬于基礎(chǔ)題．16.某學(xué)校有兩個(gè)食堂，甲、乙、丙三名學(xué)生各自隨機(jī)選擇其中的一個(gè)食堂用餐，則他們?cè)谕粋€(gè)食堂用餐的概率為．參考答案：

【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【分析】由于學(xué)校有兩個(gè)食堂，不妨令他們分別為食堂A、食堂B，則甲、乙、丙三名學(xué)生選擇每一個(gè)食堂的概率均為，代入相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，即可求出他們同在食堂A用餐的概率，同理，可求出他們同在食堂B用餐的概率，然后結(jié)合互斥事件概率加法公式，即可得到答案．【解答】解：甲、乙、丙三名學(xué)生選擇每一個(gè)食堂的概率均為，則他們同時(shí)選中A食堂的概率為：=；他們同時(shí)選中B食堂的概率也為：=；故們?cè)谕粋€(gè)食堂用餐的概率P=+=故答案為：17.將的展開(kāi)式按照x的升冪排列，若倒數(shù)第三項(xiàng)的系數(shù)是90，則n的值是_______.參考答案：5【分析】寫(xiě)出展開(kāi)式通項(xiàng)，求出展開(kāi)式倒數(shù)第三項(xiàng)的系數(shù)表達(dá)式，根據(jù)已知條件得出關(guān)于的方程，即可求得正整數(shù)的值.【詳解】的展開(kāi)式按照的升冪排列，則展開(kāi)式通項(xiàng)為，由題意，則倒數(shù)第三項(xiàng)的系數(shù)為，，整理得，解得.故答案為：5.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿(mǎn)分12分)設(shè)函數(shù)(其中).(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值.參考答案：(1當(dāng)時(shí),,令,得,當(dāng)變化時(shí),的變化如下表:極大值極小值

右表可知,函數(shù)的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,.(Ⅱ),令,得,,令,則,所以在上遞增,所以,從而,所以所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;所以令,則,令,則所以在上遞減,而所以存在使得,且當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.因?yàn)?,所以在上恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得“”.綜上,函數(shù)在上的最大值.19.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列的公差d不等于0，設(shè)是公比為q的等比數(shù)列的前三項(xiàng)，（1）若k=7，（i）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn；（ii）將數(shù)列和的相同的項(xiàng)去掉，剩下的項(xiàng)依次構(gòu)成新的數(shù)列，設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn，求的值（2）若存在m>k,使得成等比數(shù)列，求證k為奇數(shù)。參考答案：⑴因?yàn)?，所以成等比?shù)列，又是公差的等差數(shù)列，所以，整理得，又，所以，，，所以，

……………4分①用錯(cuò)位相減法或其它方法可求得的前項(xiàng)和為；

………6分②因?yàn)樾碌臄?shù)列的前項(xiàng)和為數(shù)列的前項(xiàng)的和減去數(shù)列前項(xiàng)的和，所以.

所以．

……………10分⑵由，整理得，因?yàn)?，所以，所?

因?yàn)榇嬖趍＞k,m∈N*使得成等比數(shù)列，所以，

……12分又在正項(xiàng)等差數(shù)列{an}中，，

……13分所以，又因?yàn)?，所以有?/p>

…………14分因?yàn)槭桥紨?shù)，所以也是偶數(shù)，即為偶數(shù)，所以k為奇數(shù).

……16分略20.（本小題滿(mǎn)分12分）如圖1在中，，D、E分別為線段AB、AC的中點(diǎn)，.以DE為折痕，將折起到圖2的位置，使平面平面DBCE，連接，設(shè)F是線段上的動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足.（1）證明：平面平面；（2）若二面角的大小為45°，求的值.參考答案：（1）見(jiàn)解析；（2）

【知識(shí)點(diǎn)】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定G5G10（1）證明：∵平面A′DE⊥平面DBCE，A′D⊥DE，∴A′D⊥平面DBCE，∴A′D⊥BE，∵D，E分別是線段AB、AC的中點(diǎn)，∴DE==，BD=，…（2分）在直角三角形DEB中，∵tan=，tan，1﹣tan∠BED?tan∠CDE=0，∴∠BED+∠CDE=90°，得BE⊥DC，∴BE⊥平面A′DC，又BE?平面FEB，∴平面FEB⊥平面A′DC．…（6分）（2）解：作FG⊥DC，垂足為G，則FG⊥平面DBCE，設(shè)BE交DC于O點(diǎn)，連OF，由（1）知，∠FOG為二面角F﹣BE﹣C的平面角，…（7分）由FG∥A′D，則=λ，∴FG=λA′D=2λ，同理，得C′G=λCD，DG=（1﹣λ）CD=2（1﹣λ），∵DO==，∴OG=DG﹣DO=2（1﹣λ）﹣，在Rt△OGF中，由tan∠FOG===1，…（10分）得．…（12分）【思路點(diǎn)撥】（1）由已知得A′D⊥DE，A′D⊥平面DBCE，從而A′D⊥BE，由1﹣tan∠BED?tan∠CDE=0，得BE⊥DC，由此能證明平面FEB⊥平面A′DC．（2）作FG⊥DC，垂足為G，設(shè)BE交DC于O點(diǎn)，連OF，則∠FOG為二面角F﹣BE﹣C的平面角，由FG∥A′D，得FG=λA′D=2λ，同理，得C′G=λCD，DG=（1﹣λ）CD=2（1﹣λ），從而OG=DG﹣DO=2（1﹣λ）﹣，由此結(jié)合已知條件能求出．21.已知拋物線，過(guò)點(diǎn)(－1,0)的直線與拋物線C相切，設(shè)第一象限的切點(diǎn)為P.(Ⅰ)證明：點(diǎn)P在x軸上的射影為焦點(diǎn)F；(Ⅱ)若過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線l與拋物線C相交于兩點(diǎn)A，B，圓M是以線段AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)P，求直線l與圓M的方程.參考答案：解：由題意知可設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為聯(lián)立得：，又因?yàn)橹本€與拋物線相切，則，即當(dāng)時(shí)，直線方程為，則聯(lián)立得點(diǎn)坐標(biāo)為又因?yàn)榻裹c(diǎn)，則點(diǎn)在軸上的射影為焦點(diǎn)設(shè)直線的方程為：，，聯(lián)立得：，則恒成立，，則，由于圓是以線段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，則，，則或當(dāng)時(shí)，直線的方程為，圓的方程為當(dāng)時(shí)，直線的方程為，圓的方程為

22.【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】（10分）已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為，（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（3，）．（Ⅰ）求直線l以及曲線C的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，求三角形PAB的面積．參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程；簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（Ⅰ）求直線l以及曲線C的普通方程，可得相應(yīng)極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)