2．2向量的線性運(yùn)算2．向量的加法情景：請(qǐng)看如下問題：(1)如圖(1)，某人從A到B，再?gòu)腂按原來(lái)的方向到C，則兩次位移的和eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))應(yīng)該是________．(2)如圖(2)，飛機(jī)從A到B，再改變方向從B到C，則兩次位移的和eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))應(yīng)該是________．(3)如圖(3)，船的速度是eq\o(AB,\s\up6(→))，水流速度是eq\o(BC,\s\up6(→))，則兩個(gè)速度的和eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))應(yīng)該是________．思考：從(1)(2)(3)的解答，你發(fā)現(xiàn)了一個(gè)什么規(guī)律？1．已知向量a、b在平面內(nèi)________，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a與b的和，記作________，即______________，求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做____________，上述方法稱為向量加法的________．答案：是非零向量a＋ba＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))向量的加法三角形法則2．以同一點(diǎn)A為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a、b為________作?ABCD，則以________________就是a與b的和，這種方法叫做向量加法的________．答案：鄰邊A為起點(diǎn)的對(duì)角線eq\o(AC,\s\up6(→))平行四邊形法則3．a(chǎn)＋b＝__________；(a＋b)＋c＝__________；a＋0eq\a\vs4\al(＝)________＝________．答案：b＋aa＋(b＋c)0eq\a\vs4\al(＋)aa4．向量的加法的幾何意義是______________________________．答案：滿足平行四邊形法則和三角形法則向量的加法1．向量加法的定義．已知向量a和b(如上圖)，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(OB,\s\up6(→))叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→)).求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法．對(duì)于零向量和任一向量a，有a＋0eq\a\vs4\al(＝)0eq\a\vs4\al(＋)a＝a.對(duì)于相反向量，有a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.2．向量加法運(yùn)算律．向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，即a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．3．向量加法運(yùn)算的幾何意義．(1)向量加法的三角形法則．根據(jù)向量加法的定義得出的求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則．對(duì)三角形法則的理解：我們知道，向量加法的三角形法則是：若a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(BC,\s\up6(→))，則a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))(如右圖所示)．向量加法的三角形法則的式子內(nèi)容是：兩個(gè)向量(均指用兩個(gè)字母表示的向量)相加，則表示第一個(gè)向量終點(diǎn)的字母與表示第二個(gè)向量起點(diǎn)的字母必須相同(否則無(wú)法相加)，這樣兩個(gè)向量的和向量是以第一個(gè)向量的起點(diǎn)的字母為起點(diǎn)，以第二個(gè)向量的終點(diǎn)的字母為終點(diǎn)的向量．位移的合成可以看做是向量加法三角形法則的物理模型(力的合成可以看做向量加法平行四邊形的物理模型)．(2)向量加法的平行四邊形法則．如右圖，以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形，則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線eq\o(OC,\s\up6(→))就是a與b的和．我們把這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則．eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(鞏)eq\x(固)1．在四邊形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，則()A．ABCD一定為矩形B．ABCD一定為菱形C．ABCD一定為正方形D．ABCD一定為平行四邊形答案：D2．下列結(jié)論中，不正確的是()A．0＋a＝a\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))C．對(duì)于任意向量a，b，|a＋b|≥0D．對(duì)于任意向量a，b，||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|答案：B3．在矩形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))等于_____________________________．答案：eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))或eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))或eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))4．如右圖，已知四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，E、F、G、H分別是AD、BC、AB、CD的中點(diǎn)，則eq\o(EF,\s\up6(→))等于________．答案：eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\o(DH,\s\up6(→))5．(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋(eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(OM,\s\up6(→))化簡(jiǎn)后等于________．答案：eq\o(AC,\s\up6(→))\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝________．答案：0eq\x(能)eq\x(力)eq\x(升)eq\x(級(jí))7．已知△ABC是正三角形，則在下列各等式中不成立的是()A．|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))|B．|eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|C．|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))|D．|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))|解析：作出正三角形ABC，AD、CE分別是三角形的中線，利用平行四邊形法則：|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AD,\s\up6(→))|，|eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(CE,\s\up6(→))|.又∵△ABC為正三角形，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(CE,\s\up6(→))|.故C項(xiàng)正確．A、D兩項(xiàng)直接利用三角形法則判斷也是正確的，只有B項(xiàng)不正確．答案：B8．如圖，已知△ABC是直角三角形且∠A＝90°.則在下列各結(jié)論中，正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為________．①|(zhì)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|②|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|③|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|④|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|2解析：以eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))為鄰邊作平行四邊形ABDC，則ABDC為矩形，而矩形的對(duì)角線相等，故①③均正確，另外兩個(gè)可直接求解也是正確的．答案：4個(gè)9．向量a、b滿足|a|＝6，|b|＝10，則|a＋b|的最大值是________，最小值是________．(1)解析：當(dāng)a、b不共線時(shí)，如圖(1)，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b.由向量加法的幾何意義知|a＋b|＜|a|＋|b|＝16.當(dāng)a、b共線同向時(shí)，如圖(2)，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，由向量加法的幾何意義可知|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|a＋b|＝|a|＋|b|＝16.(2)當(dāng)a、b共線反向時(shí)：如圖(3)所示，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，由向量加法的幾何意義可知|a＋b|＝|b|－|a|＝10－6＝4，∴|a＋b|的最大值為16，最小值為4.(3)本題也可以直接利用||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|求解．答案：16410．如圖所示，用兩根繩子把重為10N的物體W吊在水平桿AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B處所受力的大小(繩子的重量忽略不計(jì))．解析：設(shè)eq\o(CE,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))分別表示A，B處所受的力，10N的重力用eq\o(CG,\s\up6(→))表示，則eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CG,\s\up6(→)).因?yàn)椤螮CG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°，所以|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝|eq\o(CG,\s\up6(→))|cos30°＝10×eq\f(\r(3),2)＝5eq\r(3)(N)，|eq\o(CF,\s\up6(→))|＝|eq\o(CG,\s\up6(→))|cos60°＝10×eq\f(1,2)＝5(N)．故A和B處所受力的大小分別為5eq\r(3)N，5N.11．如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，求證：|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝|eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))|2.解析：如圖，由于∠BAC＝90°，AD⊥BC，因此，若以DB，DA為鄰邊作矩形ADBE，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DE,\s\up6(→))|，且eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→)).所以|eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))|2＝|eq\o(DE,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2.同理|eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2，所以|eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|2，即|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝|eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))|2.12．如下圖：平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，求證：eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→))＝4eq\o(PO,\s\up6(→)).證明：eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))，①eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\o(PD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))，②eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\