第2講數(shù)列的綜合問題專題六

數(shù)

列板塊三專題突破核心考點(diǎn)[考情考向分析]江蘇高考中，數(shù)列大題常在壓軸的代數(shù)論證中考數(shù)列的綜合應(yīng)用.近幾年江蘇高考中數(shù)列解答題總是同等差、等比數(shù)列相關(guān)，進(jìn)一步考查其子數(shù)列或派生數(shù)列的性質(zhì)等，所以解題過程中既有等差、等比數(shù)列性質(zhì)的挖掘，又有等差、等比數(shù)列的判斷論證，綜合性極強(qiáng).熱點(diǎn)分類突破真題押題精練內(nèi)容索引熱點(diǎn)分類突破(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；熱點(diǎn)一數(shù)列中的探索性問題解答所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列.所以an＝n＋1(n∈N*).(2)若ap,30，Sq成等差數(shù)列，ap,18，Sq成等比數(shù)列，求正整數(shù)p，q的值；解答解因?yàn)閍p,30，Sq成等差數(shù)列，ap,18，Sq成等比數(shù)列，所以p＝5，q＝9.解答平方并化簡得，(2m＋2)2－(2k＋3)2＝63，則(2m＋2k＋5)(2m－2k－1)＝63，解得m＝15，k＝14，或m＝5，k＝3，或m＝3，k＝－1(舍去)，綜上所述，k＝3或14.數(shù)列中的探索性問題是江蘇高考的一個熱點(diǎn)，試題一般是探求數(shù)列中項(xiàng)的存在性問題，此類試題的解法一般具有以下特點(diǎn)：假設(shè)提出的問題存在，結(jié)合數(shù)論中不定方程、奇偶性的基本性質(zhì)進(jìn)行求解.思維升華解答跟蹤演練1

已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝a，且an＋1＝k(an＋an＋2)對任意正整數(shù)n都成立，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.(1)是否存在實(shí)數(shù)k，使數(shù)列{an}是公比不為1的等比數(shù)列，且任意相鄰三項(xiàng)am，am＋1，am＋2按某順序排列后成等差數(shù)列？若存在，求出所有k的值；若不存在，說明理由；所以am＝am－1，am＋1＝am，am＋2＝am＋1.①若am＋1為等差中項(xiàng)，則2am＋1＝am＋am＋2，即2am＝am－1＋am＋1，解得a＝1，不合題意；②若am為等差中項(xiàng)，則2am＝am＋1＋am＋2，即2am－1＝am＋am＋1，化簡得a2＋a－2＝0，解得a＝－2或1(舍).③若am＋2為等差中項(xiàng)，則2am＋2＝am＋1＋am，即2am＋1＝am＋am－1，化簡得2a2－a－1＝0，解答(2)若k＝

，求Sn.于是an＋2＋an＋1＝－(an＋1＋an)，所以an＋3＋an＋2＝－(an＋2＋an＋1)＝an＋1＋an.當(dāng)n是偶數(shù)時，Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1＋an＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)當(dāng)n是奇數(shù)時，Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1＋an＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)當(dāng)n＝1時也適合上式.熱點(diǎn)二數(shù)列中的證明問題解答(1)求a2的值；得a2＝3.證明即bn＋1－bn＝1，所以數(shù)列{bn}是公差為1的等差數(shù)列.解答所以數(shù)列{cn}為單調(diào)遞增數(shù)列.思維升華解答跟蹤演練2設(shè)數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a1a5＝64，S5－S3＝48.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解∵數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，∴a3＝8.又∵S5－S3＝48，∴a4＋a5＝8q＋8q2＝48，∴q＝2，∴an＝8·2n－3＝2n(n∈N*).證明(2)對于正整數(shù)k，m，l(k<m<l)，求證：“m＝k＋1且l＝k＋3”是“5ak，am，al這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列”的充要條件.證明(ⅰ)必要性：設(shè)5ak，am，al這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，①若2·5ak＝am＋al，則10·2k＝2m＋2l，∴10＝2m－k＋2l－k，∴5＝2m－k－1＋2l－k－1，②若2am＝5ak＋al，則2·2m＝5·2k＋2l，∴2m＋1－k－2l－k＝5，左邊為偶數(shù)，等式不成立.③若2al＝5ak＋am，同理也不成立.綜合①②③，得m＝k＋1，l＝k＋3，∴必要性成立.(ⅱ)充分性：設(shè)m＝k＋1，l＝k＋3，則5ak，am，al這三項(xiàng)為5ak，ak＋1，ak＋3，即5ak,2ak,8ak，調(diào)整順序后易知2ak,5ak,8ak成等差數(shù)列，∴充分性也成立.綜合(ⅰ)(ⅱ)，原命題成立.熱點(diǎn)三數(shù)列中的新定義問題解答例3

(2018·江蘇海門中學(xué)最后一卷)對于數(shù)列{an}，記Δan＝an＋1－an，Δk＋1an＝Δkan＋1－Δkan，k，n∈N*，則稱數(shù)列{Δkan}為數(shù)列{an}的“k階塑數(shù)列”；①若{an}為等比數(shù)列，求a1的值；證明②設(shè)t為任意正數(shù)，證明：存在k∈N*，當(dāng)n>m≥k，n∈N*，m∈N*時總有|an－am|≤t；當(dāng)n>m≥k，n∈N*，m∈N*時總有|an－am|≤t.解答(2)已知Δ2an＝3n－2，若a1＝1，且an≥a3對n∈N*恒成立，求a2的取值范圍.解∵Δ2an＝Δan＋1－Δan＝3n－2，∵Δ2an>0，∴{Δan}遞增，∴a的取值范圍為[－7,0].數(shù)列中的“新定義”試題指給出一個從未接觸過的新規(guī)定，要求現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，“給什么，用什么”是應(yīng)用“新定義”解題的基本思路.理解新定義的規(guī)則后，解決問題的手段還是運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義性質(zhì)和基本數(shù)學(xué)思想.思維升華解答跟蹤演練3

(2018·江蘇省南京師范大學(xué)附中等四校調(diào)研)設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和為Sn，若對任意的n∈N*，均有Sn＝an＋k－k(k是常數(shù)且k∈N*)成立，則稱數(shù)列{an}為“P(k)數(shù)列”.(1)若數(shù)列{an}為“P(1)數(shù)列”，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解因?yàn)閿?shù)列{an}為“P(1)數(shù)列”，則Sn＝an＋1－1，Sn＋1＝an＋2－1，兩式相減得，an＋2＝2an＋1，又n＝1時，a1＝a2－1，所以a2＝2，故an＋1＝2an對任意的n∈N*恒成立，故數(shù)列{an}為等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為an＝2n－1，n∈N*.證明證明因?yàn)閿?shù)列{an}為“P(2)數(shù)列”，所以Sn＝an＋2－2，Sn＋1＝an＋3－2，兩式相減有an＋1＝an＋3－an＋2，又n＝1時，a1＝a3－2，故a3＝3，滿足a3＝a2＋a1，所以an＋2＝an＋1＋an對任意正整數(shù)n恒成立，數(shù)列的前幾項(xiàng)為1,2,3,5,8.故Tn<3.真題押題精練解答1.(2018·江蘇)設(shè){an}是首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列，{bn}是首項(xiàng)為b1，公比為q的等比數(shù)列.(1)設(shè)a1＝0，b1＝1，q＝2，若|an－bn|≤b1對n＝1,2,3,4均成立，求d的取值范圍；解由條件知an＝(n－1)d，bn＝2n－1，因?yàn)閨an－bn|≤b1對n＝1,2,3,4均成立，即|(n－1)d－2n－1|≤1對n＝1,2,3,4均成立，解答(2)若a1＝b1＞0，m∈N*，q∈(1，]，證明：存在d∈R，使得|an－bn|≤b1對n＝2,3，…，m＋1均成立，并求d的取值范圍(用b1，m，q表示).解由條件知an＝b1＋(n－1)d，bn＝b1qn－1.若存在d，使得|an－bn|≤b1(n＝2,3，…，m＋1)成立，即|b1＋(n－1)d－b1qn－1|≤b1(n＝2,3，…，m＋1)，因此，取d＝0時，|an－bn|≤b1對n＝2,3，…，m＋1均成立.①令t＝n－1，則1≤t≤m，從而t(qt－qt－1)－qt＋2＞0.當(dāng)1＜q≤時，有qt≤qm≤2，②設(shè)f(x)＝2x(1－x)，當(dāng)x＞0時，f′(x)＝(ln2－1－xln2)2x＜0，所以f(x)單調(diào)遞減，從而f(x)＜f(0)＝1.2.(2016·江蘇)記U＝{1,2，…，100}.對數(shù)列{an}(n∈N*)和U的子集T，若T＝?，定義ST＝0；若T＝{t1，t2，…，tk}，定義ST＝.例如：T＝{1,3,66}時，ST＝a1＋a3＋a66.現(xiàn)設(shè){an}(n∈N*)是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)T＝{2,4}時，ST＝30.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解答解當(dāng)T＝{2,4}時，ST＝a2＋a4＝a2＋9a2＝30，(2)對任意正整數(shù)k(1≤k≤100)，若T?{1,2，…，k}，求證：ST＜ak＋1；證明證明對任意正整數(shù)k(1≤k≤100).由于T?{1,2，…，k}，(3)設(shè)C?U，D?U，SC≥SD，求證：SC＋SC∩D≥2SD.證明證明設(shè)A＝?C(C∩D)，B＝?D(C∩D)，則A∩B＝?，SC＝SA＋SC∩D，SD＝SB＋SC∩D，SC＋SC∩D－2SD＝SA－2SB，∴SC＋SC∩D≥2SD等價(jià)于SA≥2SB.由條件SC≥SD可得SA≥SB.①若B＝?，則SB＝0，所以SA≥2SB成立，②若B≠?，由SA≥SB可知A≠?，設(shè)A中的最大元素為I，B中的最大元素為m，若m≥I＋1，則由(2)得SA＜SI＋1≤am≤SB，矛盾.又∵A∩B＝?，∴I≠m，∴I≥m＋1，即SA＞2SB成立.綜上所述，SA≥2SB.故SC＋SC∩D≥2SD成立.解答3.(2018·南通模擬)已知等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}是非常數(shù)列的實(shí)數(shù)列，設(shè)A＝{k|

ak＝bk，k∈N*}.(1)請舉出一對數(shù)列{an}與{bn}，使集合A中有三