第一章§2一、選擇題(每小題5分，共20分)1．對(duì)于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：當(dāng)a＋b＝0時(shí)，a＝－b，∴a∥b；當(dāng)a∥b時(shí)，不一定有a＝－b∴“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要條件答案：A2．設(shè)條件A：eq\f(1,x)<1，條件B：x>1，則條件A是條件B的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件解析：x>1?eq\f(1,x)<1，即B?A，但eq\f(1,x)<1?x<0或x>1，故Aeq\o(?,/)B.答案：B3．已知a，b是實(shí)數(shù)，則“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：當(dāng)a＞0且b＞0時(shí)，一定有a＋b＞0且ab＞0.反之，當(dāng)a＋b＞0且ab＞0時(shí)，一定有a＞0，b＞0.故“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”答案：C4．“2x2－5x－3＜0”的一個(gè)必要不充分條件是A．－eq\f(1,2)＜x＜3 B．0＜x＜2C．－1＜x＜2 D．－eq\f(1,2)＜x＜4解析：2x2－5x－3＜0?－eq\f(1,2)＜x＜3，∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，4)).∴－eq\f(1,2)＜x＜4是2x2－5x－3＜0的必要不充分條件．答案：D二、填空題(每小題5分，共10分)5．如果命題“若A則B”的否命題為真命題，而它的逆否命題為假命題，則A是B的________條件．解析：“若A則B”的否命題為真，則其逆命題為真，故“若B則A”成立，而“若A則B”不成立，故A是B的必要不充分條件．答案：必要不充分6．從“充分而不必要條件”、“必要而不充分條件”、“充要條件”和“既不充分也不必要條件”中，選出恰當(dāng)?shù)囊环N填空：(1)“a＝0”是“函數(shù)f(x)＝x2＋ax(x∈R)為偶函數(shù)”的________________(2)“sinα＞sinβ”是“α＞β”的____________；(3)“M＞N”是“l(fā)og2M＞log2N”的______________(4)“x∈M∩N”是“x∈M∪N”的________________．解析：(1)充要條件當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)＝x2＋ax(x∈R)即為f(x)＝x2，為偶函數(shù)；若f(x)＝x2＋ax(x∈R)為偶函數(shù)，則f(－x)＝(－x)2＋a(－x)＝x2－ax＝f(x)＝x2＋ax，則2ax＝0(x∈R)，解得a＝0，綜上知“a＝0”是“函數(shù)f(x)＝x2＋ax(x∈R)為偶函數(shù)”的充要條件．(2)既不充分也不必要條件由正弦函數(shù)的圖像可知：sinα＞sinβeq\o(?,/)α＞β，α＞βeq\o(?,/)sinα＞sinβ.(3)必要而不充分條件由函數(shù)y＝log2x的單調(diào)性知log2M＞log2N?M＞N；但是M＞Neq\o(?,/)log2M＞log2N.(4)充分而不必要條件x∈M∩N?x∈M∪N，x∈M∪Neq\o(?,/)x∈M∩N.答案：(1)充要條件(2)既不充分也不必要條件(3)必要而不充分條件(4)充分而不必要條件三、解答題(每小題10分，共20分)7．下列各題中，p是q的什么條件？(1)p：四邊形的對(duì)角線互相平分，q：四邊形是矩形；(2)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝eq\r(x－1)；(3)在△ABC中，p：∠A≠60°，q：sinA≠eq\f(\r(3),2).解析：(1)因?yàn)樗倪呅蔚膶?duì)角線互相平分eq\o(?,/)四邊形是矩形；四邊形是矩形?四邊形的對(duì)角線互相平分，所以p是q的必要不充分條件．(2)因?yàn)閤＝1或x＝2?x－1＝eq\r(x－1)，x－1＝eq\r(x－1)?x2－2x＋1＝x－1?x2－3x＋2＝0?x＝1或x＝2，所以p是q的充要條件．(3)因?yàn)樵凇鰽BC中，∠A≠60°eq\o(?,/)sinA≠eq\f(\r(3),2)，如當(dāng)∠A＝120°時(shí)，sinA＝eq\f(\r(3),2)；在△ABC中，sinA≠eq\f(\r(3),2)?A≠60°，所以p是q的必要不充分條件．8．已知p：eq\f(1,2)≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，若p的必要不充分條件是q，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解析：q是p的必要不充分條件，則p?q但qeq\a\vs4\al(eq\o(?,/))p.∵p：eq\f(1,2)≤x≤1，q：a≤x≤a＋1.∴a＋1≥1且a≤eq\f(1,2)，即0≤a≤eq\f(1,2).∴滿足條件的a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．(10分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝pn＋q(p≠0，p≠1)，求數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件．解析：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝p＋q.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．∵p≠0，p≠1，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(pnp－1,pn－1p－1)＝p，a2＝S2－S1＝p2＋q－p－q＝p2－p，a1＝p＋q，要使數(shù)列{an}為等比數(shù)列，必須eq\f(a2,a1)＝eq\f(p2－p,p＋q)＝p，∴p－1＝p＋q，q＝－1，這是數(shù)列{an}為等比數(shù)列的必要條件．下面證q＝－1是數(shù)列{a