2021-2022學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市李典中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如右圖，此函數(shù)的解析式為

（

） A．

B． C．

D．參考答案：A2.已知點(diǎn)M的坐標(biāo)（x，y）滿足不等式組，N為直線y=﹣2x+3上任一點(diǎn)，則|MN|的最小值是（）A． B． C．1 D．參考答案：A【分析】畫出約束條件的可行域，利用已知條件，轉(zhuǎn)化求解距離的最小值即可．【解答】解：點(diǎn)M的坐標(biāo)（x，y）滿足不等式組的可行域如圖，N為直線y=﹣2x+3上任一點(diǎn)，則|MN|的最小值，就是兩條平行線y=﹣2x+3與2x+y﹣4=0之間的距離：d==．故選：A【點(diǎn)評】本題考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，平行線之間的距離的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．3.已知變量滿足約束條件,則的最大值(

)A．9 B．8 C．7 D．6參考答案：B4.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則滿足的關(guān)系是（

）A．

B．C．

D．參考答案：D5.數(shù)列的首項(xiàng)為，為等差數(shù)列且.若，，則（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B考點(diǎn)：累加法求數(shù)列通項(xiàng)6.cos2xdx=（）A．B．1C．2D．參考答案：A考點(diǎn)：定積分．專題：計(jì)算題．分析：由于cos2x的一個(gè)原函數(shù)為sin2x故根據(jù)牛頓﹣萊布尼茨公式即可求解．解答：解：cos2xdx=sin2x=（sin﹣sin0）=．故選A．點(diǎn)評：本題主要考查了定積分的計(jì)算．解題的關(guān)鍵是要能求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)然后再根據(jù)牛頓﹣萊布尼茨公式求解．7.設(shè)向量，，若向量與同向，則（

）A．0

B．-2

C．±2

D．2參考答案：D8.求曲線y=x2與y=x所圍成圖形的面積，其中正確的是（）A． B．C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】定積分的簡單應(yīng)用．【分析】畫出圖象確定所求區(qū)域，用定積分即可求解．【解答】解：如圖所示S=S△ABO﹣S曲邊梯形ABO，故選：B．9.設(shè)集合，，則（

）A．{(－1,1),(1,1)} B． C．[0,2] D．參考答案：B∵集合∴集合∵集合∴集合∴故選B.

10.若，且x為第四象限的角，則tanx的值等于A、B、－C、D、－參考答案：D∵x為第四象限的角，，于是，故選D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知的方程為，直線與交于兩點(diǎn)，當(dāng)取最大值時(shí)__________，面積最大時(shí)，__________．參考答案：2

1或712.復(fù)數(shù)的虛部是

.參考答案：113.已知是虛數(shù)單位，使為實(shí)數(shù)的最小正整數(shù)為

參考答案：414.觀察下列不等式：①；②；③；…則第個(gè)不等式為

．參考答案：15.在中，若B=2A，，A=

。參考答案：16.（5分）（2009?遼寧）若函數(shù)f（x）=在x=1處取極值，則a=．參考答案：3【考點(diǎn)】：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【專題】：計(jì)算題；壓軸題．【分析】：先求出f′（x），因?yàn)閤=1處取極值，所以1是f′（x）=0的根，代入求出a即可．解：f′（x）==．因?yàn)閒（x）在1處取極值，所以1是f′（x）=0的根，將x=1代入得a=3．故答案為3【點(diǎn)評】：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力．17.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為_

_______。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)f（x）=（e為自然對數(shù)的底），曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=x+b．（Ⅰ）求a、b的值，并求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)x≥0，求證：f（x）＞．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專題】計(jì)算題；證明題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）先求導(dǎo)，由題意令，從而解得a=2；從而再求得，由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）所證不等式等價(jià)于，又由，可先證，從而證明不等式成立．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)?，而，所以，解得a=2；所以，因此，由知，當(dāng)x＞﹣1時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＜﹣1且x≠﹣2時(shí)，f′（x）＜0；故f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（﹣1，+∞），減區(qū)間是（﹣∞，﹣2）和（﹣2，﹣1），（Ⅱ）證明：所證不等式等價(jià)于，因?yàn)椋茸C，記，g′（x）=ex﹣2x﹣2，記u（x）=ex﹣2x﹣2，則u′（x）=ex﹣2，由此可知，u（x）在（﹣∞，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增；因?yàn)閡（1）?u（2）＜0，u（﹣1）?u（0）＜0，故g′（x）=0在（0，+∞）只有一個(gè)零點(diǎn)x1（1＜x1＜2），且，所以g（x）在（0，x1）遞減，在（x1，+∞）遞增，所以當(dāng)x≥0時(shí)，，即，又，所以，即，故．【點(diǎn)評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及放縮法證明不等式的應(yīng)用，屬于難題．19.（本小題滿分14分）已知橢圓（）經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，動(dòng)點(diǎn)（）．求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；求以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直徑且被直線截得的弦長為的圓的方程；設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線與以為直徑的圓交于點(diǎn)，證明線段的長為定值，并求出這個(gè)定值．參考答案：（1）；（2）；（3）.

從而先設(shè)出圓的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式得到圓心到直線的距離，再構(gòu)造三角形解出t，即得到了圓的方程；第三問，可以利用直線的參數(shù)方程，利用兩點(diǎn)間距離公式證明等于定值，也可以利用向量法證明.由①②③解得，．所以橢圓的方程為．…………4分（2）以O(shè)M為直徑的圓的圓心為，半徑，故圓的方程為．………………5分因?yàn)橐詾橹睆降膱A被直線截得的弦長為，所以圓心到直線的距離．…7分所以，即，故，或，（3）方法一：過點(diǎn)作的垂線，垂足設(shè)為．直線的方程為，直線的方程為．由，解得，故．……11分；．……………………12分又.．所以線段的長為定值．…………14分．為定值．………14分考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離、參數(shù)方程、向量垂直的充要條件.20.已知函數(shù)，分別由下表給出12—112110—120—2

（1）求的值。（2）當(dāng)時(shí)，求的值。（3）請判斷函數(shù)，的奇偶性并證明。w參考答案：解析：1）=

----------┈3分2）∵

∴=2

∴

┈6分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

3）為奇函數(shù)，為非奇非偶函數(shù)

------------8分∵的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱且

∴為奇函數(shù)

----------11分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

∵的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)中心對稱∴為非奇非偶函數(shù)

------------14分

21.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，已知a1+a4=﹣，且對于任意的n∈N*有Sn，Sn+2，Sn+1成等差數(shù)列；（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）已知bn=n（n∈N+），記，若（n﹣1）2≤m（Tn﹣n﹣1）對于n≥2恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍．參考答案：【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的求和；數(shù)列與函數(shù)的綜合．【分析】（Ⅰ）設(shè)出等比數(shù)列的公比，利用對于任意的n∈N+有Sn，Sn+2，Sn+1成等差得2S3=S1+S2，代入首項(xiàng)和公比后即可求得公比，再由已知，代入公比后可求得首項(xiàng)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的an和已知bn=n代入整理，然后利用錯(cuò)位相減法求Tn，把Tn代入（n﹣1）2≤m（Tn﹣n﹣1）后分離變量m，使問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值問題，分析函數(shù)的單調(diào)性時(shí)可用作差法．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵對于任意的n∈N+有Sn，Sn+2，Sn+1成等差，∴2．整理得：．∵a1≠0，∴，2+2q+2q2=2+q．∴2q2+q=0，又q≠0，∴q=．又，把q=代入后可得．所以，；（Ⅱ）∵bn=n，，∴，∴．．∴=∴．若（n﹣1）2≤m（Tn﹣n﹣1）對于n≥2恒成立，則（n﹣1）2≤m[（n﹣1）?2n+1+2﹣n﹣1]對于n≥2恒成立，也就是（n﹣1）2≤m（n﹣1）?（2n+1﹣1）對于n≥2恒成立，∴m≥對于n≥2恒成立，令，∵=∴f（n）為減函數(shù)，∴f（n）≤f（2）=．∴m．所以，（n﹣1）2≤m（Tn﹣n﹣1）對于n≥2恒成立的實(shí)數(shù)m的范圍是[）．22.(本題滿分16分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小