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文檔簡介
多元線性回歸主成分及其回歸第9講多元線性回歸解決的問題系數(shù)矩陣Y=XA建模:求解回歸系數(shù)A,該過程稱為建模預報:在A已知時,對于新測Xnew,預報Ynew,稱為預報例子某保健品含片產品,說明書標明:由營養(yǎng)物質A、B、C組成,產品標注中寫出了每片中A、B、C物質的含量。問,如何認定?配置A、B、C的一組溶液,建立濃度與光吸收的關系。既建模求回歸系數(shù)將藥片配置成溶液,測吸光,利用上面的模型,預報濃度。建模公式推導Y=XAXtY=XtXA(XtX)-1XtY=AE:\學校教學\python\X.txtE:\學校教學\python\Y.txt問題求解的關鍵步驟是什么?方程數(shù)與未知數(shù)的關系設有規(guī)律上符合如下方程的一
組實驗數(shù)據(jù)
y=ax+b通過實驗,不斷變更x,測得對應的y求a,b的值,需要幾組這樣的數(shù)據(jù)?唯一解最小二乘解y1y2…ynx11x21…1xn1ab=矩陣形式XtX是2*2的矩陣方程數(shù)與未知數(shù)的關系設有規(guī)律上符合如下方程的一
組實驗數(shù)據(jù)
y=1.2x1+0.9x2+3.3x3通過實驗,不斷變更x1、x2、x3,測得對應的y需要幾組這樣的數(shù)據(jù)?唯一解最小二乘解方程數(shù)小于未知數(shù),一定無解嗎y=1.2x1+0.9x2+3.3x3當X1,X2,X3存在線性相關時,問題會怎樣?如果x個數(shù)很多,樣本打不到要求,怎么辦?現(xiàn)實中存在這樣的問題嗎不同濃度成分相同的溶液,在不同波長x1、x2下的吸光值的比值,溶液濃度變化,比值不變。既X1和X2之間是線性相關的。怎樣知道變量之間有相關性?答案:通過線性變化主成分算法能解決這類問題死計算:檢查XtX有沒有逆,沒逆,則線性相關10主成份分析
PCAPrincipleComponentAnalysis能有效的提取測量數(shù)據(jù)的有用信息解決變量之間的相關性問題有效去除誤差,建立有效的模型11PCA分解算法原理采用非線性迭代偏最小二乘法(NonlinearIterativePartialLeastSquares,NIPALS)方法分解量測矩陣SS=TPt+E=Σtipi+ET得分矩陣特征值方程Ax=λxP載荷矩陣T和P都是列正交矩陣T的第i列ti的模,就是第i個特征值λi
E為殘差矩陣,對應噪聲每個主成分就是T和P的對應列
主成分示例12方差最大方向NIPALS算法每次只求一個主成分,目前最大散差方向儀器的信噪比儀器測量時,信號強度要遠遠大于噪聲信號的數(shù)據(jù)的方差要遠遠大于噪聲的方差所以,PCA可以區(qū)別噪聲樣例x0.91.10.80.8722.21.92.1y1.21.00.921.11.811.91.72.5t11.4861.4851.2161.3932.6942.8982.5453.253t2-0.2080.075-0.081-0.1580.1420.2210.149-0.273原數(shù)據(jù)圖PCA后15通過特征值比值判斷有效變量數(shù)在λi/λi+i,應該達到最大值根據(jù)i值,取T和P的前i列,即可扔掉噪聲16主成分回歸PCRPrincipleComponentRegression是多元線性回歸!原來Y=XA現(xiàn)在Y=TAT為X的主成分得分,即X經PCA分解后的得分因為T只是X的線性組合,提取了線性相關的部分,且只取前i列,所以模型穩(wěn)定,去掉噪聲numpy中主成分分解—SVD分解實矩陣的SVD(SingularValueDecomposition,奇異值分解)分解:分解結果:A=USV其中S是對角矩陣numpy中主成分分解---SVD程序代碼:B=np.linalg.svd(A,full_matrices=False)full_matrices=False一定要寫,否則會按復數(shù)分解分解結果:U=B[0]lamda=B[1]V=B[2]Lamda是所有的特征值,可以計算相鄰比值,決定主成分,它不是一個矩陣實例—光譜矩陣的SVD分解數(shù)據(jù):E:\學校教學\教改項目教材\數(shù)據(jù)\S-093790.txt是一個16*6的矩陣看看能求解個特征值?16個?6個?96個?實例—光譜矩陣的SVD分解data=np.mafromtxt("E:\\學校教學\\教改項目教材\\數(shù)據(jù)\\S-093790.txt")data=data.dataB=np.linalg.svd(data,full_matrices=False)>>>B[1]array([5.48250094e+00,1.10440342e+00,3.27012276e-01,3.23153080e-03,2.19720845e-03,1.11546885e-03])實例—光譜矩陣的SVD分解>>>ld=B[1]>>>foriinrange(len(ld)-1): temp=ld[i]/ld[i+1] print(temp)4.964219451633.37725370576101.1942313561.470743841531.96976226926矩陣中有3個有效特征值根據(jù)有效特征值,設定PCA的得分和載荷實例—光譜矩陣的SVD分解根據(jù)主成分,規(guī)劃得分U和載荷矩陣PSVD:X=USVPCA:X=TPtT=US,P=Vti=len(lamda)
S=np.zeros((i,i))
S[:i,:i]=np.diag(lamda)
T=np.dot(U,S)V=V.TP=VT=T[:,:k]P=P[:,:k]可否編寫PCA類傳遞矩陣給類求得T、P矩陣,特征值比值列表根據(jù)特征值比值,規(guī)劃T和PPCA類importnumpyasnpclassPCA:def__init__(self,A):self.A=AdefSVDdecompose(self):B=np.linalg.svd(self.A,full_matrices=False)U=B[0]lamda=B[1]V=B[2]i=len(lamda)S=np.zeros((i,i))S[:i,:i]=np.diag(lamda)PCA類
self.T=np.dot(U,S)
V=V.Tself.P=Vcompare=[]foriinrange(len(lamda)-1):temp=lamda[i]/lamda[i+1]compare.append(temp)returnU,S,V,comparedefPCAdecompose(self,k):T=self.T[:,:k]P=self.P[:,:k]returnT,PPCA類調用應該先調用decompose方法,根據(jù)返回的特征之比值,確定主成分再調用PCAdecompose方法,設定得分和載荷矩陣主成分回歸原來Y=XA現(xiàn)在Y=TATtY=TtTATtT-1TtY=A求得最終的回歸系數(shù):主成分X=TPt因為P是正交矩陣,所以T=XPY=TA=XPA=XAnew主成分回歸數(shù)據(jù)E:\學校教學\python\S-093843.txtE:\學校教學\python\C-093843.txt求解方程C=SAS是6*16的矩陣所以StS的逆不存在S是光譜矩陣,光譜的不同波長間線性相關,所以可以用PCR程序代碼—建模過程S=np.mafromtxt(“E:\\學校教學\\python\\S-093843.txt")S=S.dataC=np.mafromtxt(“E:\\學校教學\\python\\C-093843.txt")C=C.dataB=np.linalg.svd(data,full_matrices=False)U=B[0]lamda=B[1]i=len(lamda)S=np.zeros((i,i))S[:i,:i]=np.diag(lamda)T=np.dot(U,S)V=B[2]程序代碼—建模過程P=V.Tforiinrange(len(lmada)-1): temp=lamda[i]/lamda[i+1] print(temp)k=int(input(“主成分數(shù)為:”))T=T[:,:k]P=P[:,:k]TtT=np.dot(T.T,T)inv=np.linalg.inv(TtT)A=np.dot(inv,T.T)Alast=np.dot(P,A)程序代碼—預報對新測定Snew:C=np.dot(Snew,Alast)擴展--能否用MLR、PCA類PCR類傳遞X,Y給PCRPCR內,以X調用PCA,確定主成分數(shù)根據(jù)確定的主成分數(shù),確定T、P,以T,Y建模,并結合P確定回歸系數(shù)建立預報方法。擴展--能否用MLR、PCA類PCR類importnumpyasnpfromPCAimportPCAfromMLRimportMLRclassPCR:def__init__(self,X,Y):self.X=Xself.Y=YdefconfirmPCs(self):pca=PCA(self.X)U,S,V,compare=pca.SVDdecompose()returncompare擴展----能否用MLR、PCA類defmodel(self,PCs):pca=PCA(self.X)U,S,V,compare=pca.SVDdecompose()T,P=pca.PCAdecompose(PCs)mlr=MLR(T,self.Y)mlr.modelling()self.A=np.dot(P,mlr.A)defpredict(self,Xnew):ans=np.dot(Xnew,self.A)returnans調用函數(shù)S=np.mafromtxt("E:\\學校教
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