學(xué)習(xí)要求1.掌握相關(guān)分析及其應(yīng)用方法2.掌握功率譜分析及其應(yīng)用3.掌握小波變換的特點、基本理論及步驟11.1工程測試信號處理的目的

通過測試，可得到一系列原始數(shù)據(jù)或圖形。這些數(shù)據(jù)是認識事物內(nèi)在規(guī)律，研究事物相互關(guān)系和預(yù)測事物發(fā)展趨勢的重要依據(jù)。但這僅僅是第一步工作，只有在此基礎(chǔ)上對已獲得的數(shù)據(jù)進行科學(xué)的處理，才能去粗取精、去偽存真、由表及里，從中提取能反映事物本質(zhì)和運動規(guī)律的有用信息，這才是測試工作的最終目的。

工程測試信號處理就是對信號進行有目的的加工，將被測信號的原始數(shù)據(jù)變換成所期望信號的過程，如增強、壓縮、濾波、估計、識別、變換等。11.2

相關(guān)分析及其應(yīng)用

相關(guān)是代表客觀事物或過程中某兩種特征量之間聯(lián)系的緊密性。在靜態(tài)測量中由于所測的是數(shù)值，所以相關(guān)就代表了某兩種特征量之間的關(guān)聯(lián)程度。（a）（b）（c）（a）嚴格的對應(yīng)關(guān)系，稱之為精確的線性

相關(guān)；（b）大致的對應(yīng)關(guān)系，稱之為中等的線性

相關(guān)；（c）數(shù)值上沒有對應(yīng)關(guān)系，稱之為二者不相關(guān)。

信號的相關(guān)性是反映信號波形相互聯(lián)系緊密程度的一種函數(shù)。均值、方差、概率密度函數(shù)反映的是隨機信號幅值的統(tǒng)計規(guī)律，而相關(guān)可更深入地揭示信號的波形結(jié)構(gòu)。隨機信號的相關(guān)函數(shù)

自相關(guān)函數(shù)

假定一個樣本記錄x(t)是來自各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機過程，其自相關(guān)函數(shù)Rxx(τ)是原樣本記錄信號x(t)與此樣本記錄在作τ時移后的信號乘積后再作積分平均運算，即以有限長樣本作估計自相關(guān)函數(shù)具有以下幾個性質(zhì)：1.當(dāng)τ=0時自相關(guān)函數(shù)取最大值，即。≥2.自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，即。=3.均值為零而又不含確定性周期信號成分的“純”隨機信號其。

互相關(guān)函數(shù)

兩隨機信號樣本x(t)和y(t)的互相關(guān)函數(shù)的估計值為。互相關(guān)函數(shù)具有以下性質(zhì)：1.不是偶函數(shù)，通常它不在τ=0處取峰值。其峰值偏離原點的位置反映了兩信號相互有多大時移。2.與是兩個不同的函數(shù)，根據(jù)定義可以證明。3.均值為零的兩統(tǒng)計獨立的隨機信號x(t)與y(t)，對所有的τ值。

相關(guān)系數(shù)函數(shù)

由于信號x(t)與y(t)本身的取值大小影響相關(guān)函數(shù)的計算結(jié)果，因而在比較不同的成對隨機信號相關(guān)程度時，僅視其相關(guān)函數(shù)值大小是不確切的。如一對小信號雖然相關(guān)程度很高，但相關(guān)函數(shù)值很小，相反一對大信號雖然相關(guān)程度很低，但相關(guān)函數(shù)值很大。為了避免信號本身幅值對其相關(guān)性程度度量的影響，將相關(guān)函數(shù)作歸一化處理，引入一個無量綱的函數(shù)——相關(guān)系數(shù)函數(shù)，互相關(guān)系數(shù)函數(shù)的定義式為這樣是在0和1之間變化的一個函數(shù)。若=1，說明x(t)與y(t)完全相關(guān)；若=0，說明x(t)與y(t)完全不相關(guān)。若1<<1，則說明x(t)與y(t)部分相關(guān)。同理，自相關(guān)系數(shù)函數(shù)反映了信號x(t)和x(t+τ)之間的相關(guān)程度。

相關(guān)函數(shù)的推廣公式

相關(guān)函數(shù)雖是由隨機信號引出的，推廣至確定性信號在含義上仍能反映信號的相關(guān)性，但運算公式有所變化。對于周期信號，其計算可用一個周期代替其整體，所以對于確定性信號中的瞬態(tài)信號，由于其長度有限，反映了其“能量有限”，故不能用

作平均，否則相關(guān)函數(shù)就為零了。所以它的相關(guān)函數(shù)計算公式為信號相關(guān)函數(shù)的實現(xiàn)

實現(xiàn)相關(guān)處理的儀器稱為相關(guān)儀，相關(guān)儀有模擬式和數(shù)字式兩種。1.模擬式相關(guān)儀模擬式相關(guān)儀采用模擬電路來實現(xiàn)相關(guān)公式中的各項運算，模擬信號x(t)和經(jīng)時移的模擬信號y(t)先相乘、再作積分、平均運算后可得到對應(yīng)于某一時移τ的互相關(guān)函數(shù)值。改變τ大小可得對應(yīng)于不同τ的互相關(guān)函數(shù)值，從而繪出互相關(guān)函數(shù)的曲線。2.數(shù)字式互相關(guān)儀

兩模擬信號x(t)與y(t)的互相關(guān)函數(shù)若要作數(shù)字相關(guān)處理，需先對這兩個模擬信號作離散化（采樣）及量化處理，然后再作相關(guān)運算。離散信號的相關(guān)函數(shù)表達式為（r=0，1，2，…，m）

N為沿時間軸的總采樣數(shù)；i為沿時間軸的采樣序數(shù)；r為間斷時移值。作為有限長采樣的相關(guān)函數(shù)估計為信號相關(guān)的物理解釋和工程應(yīng)用1.信號相關(guān)是波形相似的度量

圖（a）列出四個樣本波形，從波形相似的觀點出發(fā)觀測這四個波形，可看到波形（a′），（b′）較為相似，波形（c′）如向左移動τ值則與前二者也較相似，而（a′）、（b′）、（c′）和（d′）顯然很不相似。這種觀測是定性的、粗略的估計。如要精確地、定量地估計波形相似程度，需作進一步的分析。

圖（b）是二樣本波形x(t)、y(t)，如要度量兩波形之間的相似程度，需對其在波形相對應(yīng)的時間軸上取幅值相比較，求各時間點上兩信號幅值之差，差值愈小則波形就愈相似。因此可以總結(jié)出波形相似程度的一個指標：

式中，xi、yi為對應(yīng)于時間軸上相對應(yīng)點的兩函數(shù)取值。取差值平方是為了消除差值的正負相差造成差值和很小的假象。顯然a值愈小，則波形相似程度愈好。將上式展開得

對于一個平穩(wěn)隨機過程，式中前兩項代表的均方值是常值，a的大小主要由最后一項來決定。令因此愈大，a就愈小，波形相似程度就愈好。1.相關(guān)是周期信號中同頻成分的反映作為相關(guān)中的特例，若x(t)、y(t)均為簡諧信號

則可推算出x(t)的自相關(guān)函數(shù)和x(t)、y(t)的互相關(guān)函數(shù)1.x(t)、y(t)是同頻的正弦（或余弦）信號時，其相關(guān)函數(shù)保存它們的頻率信息。假若x(t)、y(t)是不同頻的簡諧信號則可由正（余）弦信號的正交性得出不同的結(jié)論：為簡化分析使τ=0，θ=0，

，n=1、2、…，m=1、2、…，A=B=1，則當(dāng)n=m時Rxy(0)=1

當(dāng)n≠m時Rxy(0)=0假若x(t)與y(t)是則

Rxy(0)=0

幾個相關(guān)概念

同頻無相位差的兩正弦（或余弦）信號具有最好的相關(guān)性；

同頻無相位差的正弦與余弦信號，具有零相關(guān)函數(shù)值；

兩不同頻的正弦（或余弦）諧波信號，具有零相關(guān)函數(shù)值。2.正弦（余弦）信號在作自相關(guān)處理時，其本身所具有的初相位信息（θ）在相關(guān)函數(shù)中不出現(xiàn)，即說明在作自相關(guān)處理時，失去了原簡諧信號的相位信息，而在作兩同頻正弦信號的互相關(guān)時，互相關(guān)函數(shù)中出現(xiàn)兩正弦信號之間的相位差，所以互相關(guān)處理中保留了兩正弦信號間的相位差信息。而在τ=0時

根據(jù)這一原理，可設(shè)計能反映被分析信號幅值和相位的相關(guān)濾波頻譜分析儀?；ハ嚓P(guān)函數(shù)從原理上，主要有如下幾個應(yīng)用方面：1.滯后時間的測量假定欲測定信號通過一給定線性系統(tǒng)需要的時間，即輸出滯后輸入的時間，顯然用輸入和輸出兩信號的互相關(guān)函數(shù)就可得該滯后時間，即直接用互相關(guān)函數(shù)峰值偏離原點的時間位移來確定。但當(dāng)頻率對系統(tǒng)傳遞環(huán)節(jié)和傳遞速度影響很大時，互相關(guān)函數(shù)可能不出現(xiàn)明顯的峰值。在此情況下要用后面討論的互譜密度函數(shù)來解決。2.傳遞環(huán)節(jié)的確定如果一個線性系統(tǒng)，其輸入經(jīng)過幾個環(huán)節(jié)傳遞而產(chǎn)生一個輸出，由于每條環(huán)節(jié)一般都具有不同的滯后時間，因此對輸出有明顯影響的每個環(huán)節(jié)都將在互相關(guān)函數(shù)中出現(xiàn)各自的峰值。如可計算出各環(huán)節(jié)的滯后時間，則通過與互相關(guān)函數(shù)上峰值位移的比較，可確定對輸出有明顯影響的主要環(huán)節(jié)。3.速度測量如下圖所示，當(dāng)運動物體通過固定距離為l的兩光電檢測器，檢測器可獲得對應(yīng)的兩個信號x(t)和y(t)，經(jīng)互相關(guān)處理得到相關(guān)函數(shù)Rxy(τ)。根據(jù)峰值的滯后時間τ0，即可求得運動物體的速度

。由于該方法可實現(xiàn)非接觸測量，宜用于測量、風(fēng)洞氣流、炮彈、汽車等的運動速度。11.3

功率譜分析及其應(yīng)用定義

隨機信號的自功率譜函數(shù)（自譜）是該隨機信號自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換，為Sx(f)所以

二隨機信號的互功率譜密度函數(shù)（互譜）是互相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換，記為Sxy(f)。所以物理意義令τ=0，則根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義，當(dāng)τ=0時即可得圖解含義見下圖。圖中（a）為原始的隨機信號x(t)；(b)是函數(shù)的波形；(c)是x(t)的自相關(guān)函數(shù)；(d)是的傅里葉變換，即自譜函數(shù)。功率譜分析的實現(xiàn)

各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機過程的功率譜的求取有以下三種方法：1.由定義先求取隨機信號樣本的相關(guān)函數(shù)，再求其傅里葉變換功率譜密度函數(shù)。顯然，在處理時是以有限長的樣本來作處理，所得的功率函數(shù)都是估計2.用時域信號x(t)作一系列運算后得到自功率譜的估計。計算時使有限頻段內(nèi)用有限采樣點進行計算，因此當(dāng)要求取在某一頻率值f0上一根譜線時

根據(jù)上述公式可構(gòu)成下圖的自譜分析儀的原理方框結(jié)構(gòu)。3.利用有限長度隨機信號樣本的傅里葉變換求取自譜密度函數(shù)的估計。隨機信號x(t)在有限區(qū)間T內(nèi)截斷得一樣本功率譜的應(yīng)用1.

作為工業(yè)設(shè)備狀況的分析和故障診斷的依據(jù)。

下圖是從汽車變速箱上測取的振動加速度信號經(jīng)處理后所得的功率譜圖。圖中（a）是變速箱正常工作時的譜圖，（b）為不正常工作時的譜圖。一般來說對于正常運行的機器其功率譜是穩(wěn)定的，且各譜線對應(yīng)于不同零部件不同運轉(zhuǎn)狀態(tài)的振源。在機器運行不正常時，如軸系的動不平衡，軸承的局部失效，齒輪的不正常等等，都會引起相應(yīng)譜線的變動。圖（b）較圖（a）中在9.2Hz和18.4Hz兩處出現(xiàn)額外譜線，反映了發(fā)動機的某些不正常，且指明了異常功率消耗所在的頻率，為尋找與此功率相對應(yīng)的故障部位提供了依據(jù)。

這樣可得到如下圖所示的信號及功率譜密度，從圖中可以很容易地推測，信號集中在120Hz和50Hz。信號t/ms功率譜密度f/Hz信號及其功率譜密度2.利用功率譜的數(shù)學(xué)特點求取信號傳遞系統(tǒng)的頻響函數(shù)由上圖（a）可見，在理想情況下，該系統(tǒng)頻響函數(shù)應(yīng)為

為了解決這一問題，采用功率譜求取頻響函數(shù)可得到較好效果。上式引起誤差的主要原因是由于在輸入和輸出端的噪聲所致。采用功率譜計算的方法是先在時域作相關(guān)，在頻域作運算。在理論上，信號中的隨機噪聲在時域作相關(guān)時，如τ取得足夠長皆可使其相關(guān)函數(shù)值等于零。而隨機信號與有用信號因互不相關(guān)，故二者之間的相關(guān)函數(shù)也是零。所以含有隨機噪聲的信號，經(jīng)過相關(guān)處理所得的相關(guān)函數(shù)可屏除噪聲成分，得到的是有用信號的功率譜，由此所求的頻響函數(shù)是較精確的。至于功率譜和頻響函數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系可由以上的數(shù)學(xué)公式導(dǎo)出。相干函數(shù)1.定義

兩信號x(t)與y(t)的自譜和互譜分別為Sx(f)、Sy(f)、Sxy(f)，則它們之間的相干函數(shù)為2.含義和應(yīng)用

相干函數(shù)是在頻域內(nèi)鑒別兩信號相關(guān)程度的指標。如在一測試系統(tǒng)中，為了評價其輸入信號與輸出信號間的因果性，即輸出信號的功率譜中有多少是所測輸入信號引起的響應(yīng)，可用相干函數(shù)來描述。倒頻譜分析的基本原理11.4

倒頻譜技術(shù)倒頻譜分析的意義

由倒頻譜公式可知，倒頻譜是功率譜對數(shù)的頻譜，對功率作對數(shù)處理，相當(dāng)于對其作對數(shù)加權(quán)處理，其結(jié)果是對低頻分量有較高的加權(quán)，這樣做的好處有:1.變換后的信號能量集中，易于對信號識別；2.易于解析卷積積分；3.有利于判別譜的周期性。

總之作信號的倒頻譜變換，其目的是可較容易地識別信號的組成分量，便于從中提取有用信號成分。1.分離信息通道對信號的影響,并能識別信號功率譜中的周期成分。倒頻譜技術(shù)的應(yīng)用例

一信號x(t)在傳輸過程中受到其自身回波的干擾疊加，請?zhí)蕹芈晫π盘柕挠绊憽?.剔除回聲對信號的影響。11.4

頻譜細化分析基于復(fù)調(diào)制的FFT方法1.復(fù)調(diào)制基于復(fù)調(diào)制的細化FFT方法處理步驟為：

設(shè)記錄長度為T=NTs的時域信號x(t)，其中N為采樣長度，Ts為采樣時間間隔，x(n)是x(t)離散后的時間信號，則x(n)的頻譜X0(k)為相應(yīng)有2.復(fù)低通濾波并細化3.

信號輸出濾波器輸出的時域表示為式中，H(k)為數(shù)字低通濾波器的頻響。

在上述處理過程中，濾波器的幅頻譜在該頻帶內(nèi)恒為1是前提。若不為1需加以修正。由上述處理過程可知，與同樣點數(shù)的FFT相比，這一細化方法所獲得的分辨率要提高D倍，且提高了計算效率。下圖為基于復(fù)調(diào)制的細化方法的原理框圖。相位補償細化方法該細化方法簡單直觀的處理過程如下圖所示。應(yīng)用11.6

動態(tài)補償數(shù)字濾波器

用數(shù)字處理方式選擇信號頻率稱為數(shù)字濾波，濾波的目的是讓符合要求的頻率信號通過，不符合要求的信號作極大衰減。硬件補償方法1.一階系統(tǒng)的動態(tài)特性補償2.二階系統(tǒng)的動態(tài)特性補償二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

硬件補償方法雖然可以實現(xiàn)實時補償，但每一個具體的測量系統(tǒng)都需要用專門的補償環(huán)節(jié)，即使相似的測量系統(tǒng)，僅僅因為具體參數(shù)稍有不同也難以用同樣的補償環(huán)節(jié)，甚至測試系統(tǒng)本身動態(tài)特性的變化（如老化、漂移、環(huán)境溫濕度的影響等）都有導(dǎo)致補償效果惡化的可能，因而代價較高，靈活性較差。軟件補償方法

軟件補償方法盡管實時性不高，但其設(shè)計運算方便、靈活。實際應(yīng)用時，可根據(jù)不同的要求編制不同的補償程序。隨著計算機技術(shù)及虛擬儀器的發(fā)展，軟件補償方法已廣泛用于動態(tài)測試中。動態(tài)補償濾波器應(yīng)用例

某傳感器離散傳遞函數(shù)為其時域仿真階躍響應(yīng)如圖中曲線1所示，存在著很大的動態(tài)誤差?？紤]對其進行動態(tài)補償。11.7

小波分析小波分析基礎(chǔ)

小波分析方法是一種窗口大?。创翱诿娣e）固定但其形狀可改變，時間窗和頻率窗都可改變的時頻局部化分析方法。即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率，所以被譽為數(shù)學(xué)顯微鏡。正是這種特性，使小波變換具有對信號的自適應(yīng)性。原則上講，傳統(tǒng)上使用傅里葉分析的地方，都可以用小波分析取代。小波分析優(yōu)于傅里葉變換的地方是，它在時域和頻域同時具有良好的局部化性質(zhì)。小波分析在測試信號分析中的應(yīng)用

運用小波分析進行一維信號消噪和識別信號中的發(fā)展趨勢是小波分析的一個重要應(yīng)用之一。在實際的工程應(yīng)用中，所分析的信號可能包含噪聲和一些不應(yīng)有的趨勢項，對這種信號，首先需要作信號的預(yù)處理，將信號的噪聲和趨勢項去處，提取有用信號。例

利用小波分析方法對具有噪聲的電網(wǎng)電壓值進行消噪處理，并分析用電故障原因。解：首先選擇小波函數(shù)db4，然后確定小波分解的層數(shù)N（在這里，取N為3）。從小波消噪處理的方法上說，一般有三種。1）強制消噪處理。該方法把小波分解結(jié)構(gòu)中的高頻系數(shù)全部變?yōu)?，即把高頻部分全部濾除掉，然后再對信號進行重構(gòu)處理。該方法優(yōu)點是比較簡單，缺點是容易丟失信號的有用成份。2）默認