兩個向量的數(shù)量積學(xué)案編號：GEXX2-1T3-1-3【學(xué)習(xí)要求】1．掌握空間向量夾角的概念及表示方法，掌握兩個向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)和計(jì)算方法及運(yùn)算規(guī)律．2．掌握兩個向量的數(shù)量積的主要用途，會用它解決立體幾何中一些簡單的問題．【學(xué)法指導(dǎo)】數(shù)量積是向量最重要的運(yùn)算，利用數(shù)量積可以求向量的模、兩個向量的夾角；通過類比平面向量的數(shù)量積，學(xué)習(xí)空間兩向量的數(shù)量積，通過向量積的運(yùn)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識．1．空間向量的夾角定義已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OB,\s\up14(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角記法范圍〈a，b〉∈________.當(dāng)〈a，b〉＝eq\f(π,2)時，a______b想一想:〈a，b〉與〈b，a〉相等嗎?〈a,b〉與〈a,－b〉呢?2．空間向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個非零向量a，b，則____________________叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.(2)數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)乘向量與向量數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝________交換律a·b＝________分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c(3)數(shù)量積的性質(zhì)兩個向量數(shù)量積的性質(zhì)①若a，b是非零向量，則a⊥b?__________②若a與b同向，則a·b＝________；若反向，則a·b＝________.特別地，a·a＝______或|a|＝eq\r(a·a)③若θ為a，b的夾角，則cosθ＝________④|a·b|≤|a||b|3.異面直線(1)異面直線的定義________________________的兩條直線叫做異面直線．(2)兩條異面直線所成的角把異面直線________________________，這時兩條直線的夾角(________________)叫做兩條異面直線所成的角．如果所成的角是________，則稱兩條異面直線互相垂直．探究點(diǎn)一空間向量的數(shù)量積運(yùn)算問題1空間兩個向量的夾角是怎樣定義的，范圍怎樣規(guī)定？問題2類比平面向量的數(shù)量積，說出空間向量的數(shù)量積a·b的定義？問題3請你類比平面向量說出a·b的幾何意義．例1已知長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E為側(cè)面AB1的中心，F(xiàn)為A1D1的中點(diǎn)．試計(jì)算：(1)eq\o(BC,\s\up14(→))·eq\o(ED1,\s\up14(→))；(2)eq\o(BF,\s\up14(→))·eq\o(AB1,\s\up14(→))；(3)eq\o(EF,\s\up14(→))·eq\o(FC1,\s\up14(→)).跟蹤1已知正四面體OABC的棱長為1.求：(1)eq\o(OA,\s\up14(→))·eq\o(OB,\s\up14(→))；(2)(eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→)))·(eq\o(CA,\s\up14(→))＋eq\o(CB,\s\up14(→)))．探究點(diǎn)二利用數(shù)量積求夾角問題1怎樣利用數(shù)量積求直線夾角或余弦值？問題2利用數(shù)量積怎樣證明兩個向量垂直？例2在正方體中，M、N分別為棱BC和棱CC1的中點(diǎn)，求異面直線AC和MN所成的角．跟蹤2如圖所示，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.求證：CC1⊥BD探究點(diǎn)三利用數(shù)量積求向量的模問題類比平面向量，說出利用數(shù)量積求長度或距離的方法．例3已知a，b，c中每兩個的夾角都是eq\f(π,3)，且|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，試計(jì)算|a＋b＋c|.跟蹤3如圖所示，已知線段AB在平面α內(nèi)，線段AC⊥α，線段BD⊥AB，線段DD′⊥α于D′，如果∠DBD′＝30°，AB＝a，AC＝BD＝b，求CD的長．【達(dá)標(biāo)檢測】1.設(shè)a、b、c是任意的非零平面向量，且它們相互不共線，下列命題：①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·a)·c－(c·a)·b與c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正確的有(A．①②B．②③C．③④D．②④2．已知a，b均為單位向量，它們的夾角為60°，那么|a＋3b|等于 ()A.eq\r(7)B.eq\r(10)C.eq\r(13)D．43．如圖所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，則PC等于()A．6eq\r(2) B．6C．12 D．144【課堂小結(jié)】空間向量的數(shù)量積要找到兩個向量的模和夾角；利用數(shù)量積求兩異面直線所成的角，關(guān)鍵在于在異面直線上構(gòu)造向量，找出兩向量的關(guān)系；證明兩向量垂直可轉(zhuǎn)化為證明兩個向量的數(shù)量積為零，求線段長度轉(zhuǎn)化為求向量的數(shù)量積．3.1.3兩個向量的數(shù)量積一、基礎(chǔ)過關(guān)1．若a，b均為非零向量，則a·b＝|a||b|是a與b共線的 ()A．充分不必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．既非充分也非必要條件2．在棱長為1的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))等于()A．0 \f(1,2) C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(1,2)3．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，則|2a－3b|等于 \r(97) B．97 \r(61) D．614．若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，則a與b的夾角為 A．30°B．60°C．120° D．150°5．已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，且a與b的夾角為eq\f(π,3)，則|a＋b|＝________.二、能力提升6．已知a、b是異面直線，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，則a與b所成的角是 ()A．30° B．45° C．60° D．90°7．正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱長都為2，E、F分別是AB、A1C1的中點(diǎn)，則A．2 \r(3) \r(5) \r(7)8．如果e1，e2是兩個夾角為60°的單位向量，則a＝e1＋e2與b＝e1－2e2的夾角為________．9．向量(a＋3b)⊥(7a－5b)，(a－4b)⊥(7a－2b)，則a與三、解答題10.如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝eq\f(1,2)AD＝1，求PB與CD所成的角．11．在平行四邊形AB