學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(三)(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．如圖1-3-12，在正方形網(wǎng)格上有6個(gè)三角形：①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK.其中，②～⑥中與三角形①相似的是()圖1-3-12A．②③④ B．③④⑤C．④⑤⑥ D．②③⑥【解析】由相似三角形判定定理知選B.【答案】B2．如圖1-3-13，在△ABC中，M在BC上，N在AM上，CM＝CN，且eq\f(AM,AN)＝eq\f(BM,CN)，下列結(jié)論中正確的是()圖1-3-13A．△ABM∽△ACBB．△ANC∽△AMBC．△ANC∽△ACMD．△CMN∽△BCA【解析】∵CM＝CN，∴∠CMN＝∠CNM.∵∠AMB＝∠CNM＋∠MCN，∠ANC＝∠CMN＋∠MCN，∴∠AMB＝∠ANC.又eq\f(AM,AN)＝eq\f(BM,CN)，∴△ANC∽△AM B.【答案】B3．如圖1-3-14，正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，AF⊥DE于點(diǎn)O，則eq\f(AO,DO)等于()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07370013】圖1-3-14\f(2,5)eq\r(5) \f(1,3)\f(2,3) \f(1,2)【解析】∵AF⊥DE，∴Rt△DAO∽R(shí)t△DEA，∴eq\f(AO,DO)＝eq\f(AE,DA)＝eq\f(1,2).【答案】D4．如圖1-3-15，在等邊三角形ABC中，E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)D在AC上，使得eq\f(AD,AC)＝eq\f(1,3)，則有()圖1-3-15A．△AED∽△BEDB．△AED∽△CBDC．△AED∽△ABDD．△BAD∽△BCD【解析】因?yàn)椤螦＝∠C，eq\f(BC,AE)＝eq\f(CD,AD)＝2，所以△AED∽△CBD.【答案】B5.如圖1-3-16所示，已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別是△ABC中AC，AB邊的中點(diǎn)，BE，CF相交于點(diǎn)G，F(xiàn)G＝2，則CF的長(zhǎng)為()圖1-3-16A．4 B．C．5 D．6【解析】∵E，F(xiàn)分別是△ABC中AC，AB邊的中點(diǎn)，∴FE∥BC，由相似三角形的預(yù)備定理，得△FEG∽△CBG，∴eq\f(FG,GC)＝eq\f(EF,BC)＝eq\f(1,2).又FG＝2，∴GC＝4，∴CF＝6.【答案】D二、填空題6．如圖1-3-17，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3，則DE＝________，CE＝________.圖1-3-17【解析】在Rt△ACE和Rt△ADB中，∠A為公共角，∴△ACE∽△ADB，∴eq\f(AB,AE)＝eq\f(AD,AC)，∴AE＝eq\f(AB·AC,AD)＝eq\f(ABAB＋BC,AD)＝eq\f(4×4＋2,3)＝8，則DE＝AE－AD＝5，在Rt△ACE中，CE＝eq\r(AE2－AC2)＝eq\r(82－4＋22)＝2eq\r(7).【答案】52eq\r(7)7．如圖1-3-18，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則AE＝________.圖1-3-18【解析】由∠B＝∠D，AE⊥BC及∠ACD＝90°可以推得：Rt△ABE∽R(shí)t△ADC，故eq\f(AE,AC)＝eq\f(AB,AD)∴AE＝eq\f(6×4,12)＝2.【答案】28.如圖1-3-19，在平行四邊形ABCD中，E在DC上，若DE∶EC＝1∶2，則BF∶BE＝________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07370014】圖1-3-19【解析】∵DE∶EC＝1∶2，∴DC∶EC＝3∶2，∴AB∶EC＝3∶2.∵AB∥EC，∴△ABF∽△CEF，∴eq\f(BF,EF)＝eq\f(AB,EC)＝eq\f(3,2)，∴eq\f(BF,BE)＝eq\f(3,5).【答案】3∶5三、解答題9．如圖1-3-20，已知△ABC中，AB＝AC，AD是中線，P是AD上一點(diǎn)，過(guò)C作CF∥AB，延長(zhǎng)BP交AC于E，交CF于點(diǎn)F.求證：PB2＝PE·PF.圖1-3-20【證明】連接PC.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵AD是中線，∴AD垂直平分BC，∴PB＝PC，∴∠PBD＝∠PCD，∴∠ABP＝∠ACP.又∵CF∥AB，∴∠ABP＝∠F＝∠ACP，而∠CPE＝∠FPC.∴△PCE∽△PFC，∴eq\f(PE,PC)＝eq\f(PC,PF)，∴PC2＝PE·PF，即PB2＝PE·PF.10.如圖1-3-21，某市經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)建有B，C，D三個(gè)食品加工廠，這三個(gè)工廠和開(kāi)發(fā)區(qū)A處的自來(lái)水廠正好在一個(gè)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)上，它們之間有公路相通，且AB＝CD＝900米，AD＝BC＝1700米．自來(lái)水公司已經(jīng)修好一條自來(lái)水主管道AN，B，C兩廠之間的公路與自來(lái)水主管道交于E處，EC＝500米．若自來(lái)水主管道到各工廠的自來(lái)水管道由各廠負(fù)責(zé)修建，每米造價(jià)800元．圖1-3-21(1)要使修建自來(lái)水管道的造價(jià)最低，這三個(gè)工廠的自來(lái)水管道路線應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)？并在圖中畫(huà)出該路線；(2)求出各廠所修建的自來(lái)水管道的最低造價(jià)各是多少元？【解】(1)如圖，過(guò)B，C，D分別作AN的垂線段BH，CF，DG交AN于H，F(xiàn)，G，BH，CF，DG即為所求的造價(jià)最低的管道路線．(2)在Rt△ABE中，AB＝900米，BE＝1700－500＝1200米，∴AE＝eq\r(12023＋9002)＝1500(米)，由△ABE∽△CFE，得到eq\f(CF,AB)＝eq\f(CE,AE)，即eq\f(CF,900)＝eq\f(500,1500)，可得CF＝300(米)．由△BHE∽△CFE，得eq\f(BH,CF)＝eq\f(BE,CE)，即eq\f(BH,300)＝eq\f(1200,500)，可得BH＝720(米)．由△ABE∽△DGA，得eq\f(AB,DG)＝eq\f(AE,AD)，即eq\f(900,DG)＝eq\f(1500,1700)，可得DG＝1020(米)．所以，B，C，D三廠所建自來(lái)水管道的最低造價(jià)分別是720×800＝576000(元)，300×800＝240000(元)，1020×800＝816000(元)．[能力提升]1.如圖1-3-22所示，要使△ACD∽△BCA，下列各式中必須成立的是()圖1-3-22\f(AC,AB)＝eq\f(AD,BC) \f(AD,CD)＝eq\f(AC,BC)C．AC2＝CD·CB D．CD2＝AC·AB【解析】∠C＝∠C，只有eq\f(AC,CD)＝eq\f(CB,AC)，即AC2＝CD·CB時(shí)，才能使△ACD∽△BCA.【答案】C2．如圖1-3-23所示，∠AOD＝90°，OA＝OB＝BC＝CD，則下列結(jié)論正確的是()圖1-3-23A．△DAB∽△OCAB．△OAB∽△ODAC．△BAC∽△BDAD．△OAC∽△ABD【解析】設(shè)OA＝OB＝BC＝CD＝a，則AB＝eq\r(2)a，BD＝2a，∴eq\f(AB,BD)＝eq\f(\r(2),2)，eq\f(BC,AB)＝eq\f(a,\r(2)a)＝eq\f(\r(2),2)，∴eq\f(AB,BD)＝eq\f(BC,AB)，且∠ABC＝∠DBA，∴△BAC∽△BDA.【答案】C3．如圖1-3-24所示，∠BAC＝∠DCB，∠CDB＝∠ABC＝90°，AC＝a，BC＝B.當(dāng)BD＝__________時(shí)，△ABC∽△CDB.圖1-3-24【解析】由eq\f(AC,BC)＝eq\f(BC,BD)即可得到．【答案】eq\f(b2,a)4．如圖1-3-25所示，在矩形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，EF⊥EC交AB于F，連接FC(AB>AE)．圖1-3-25(1)△AEF與△ECF是否相似？若相似證明你的結(jié)論；若不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)設(shè)eq\f(AB,BC)＝k，是否存在這樣的k值，使得△AEF與△BFC相似，若存在，證明你的結(jié)論，并求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由．【解】(1)相似．在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°.∵EF⊥EC，A，E，D共線，∴∠AEF＋∠DEC＝90°.又∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEF＝∠DCE，∴△AEF∽△DCE，∴eq\f(EF,EC)＝eq\f(AF,DE)，∴AE＝DE，∴eq\f(EF,EC)＝eq\f(AF,AE).又∵∠A＝∠FEC＝90°，∴△AEF∽△ECF.(2)存在．由于∠AEF＝90°－∠AFE<180°－∠CFE－∠AFE＝∠BFC，∴只能是△AEF∽△BCF，∠AEF＝∠BCF.由(1)知∠AEF＝∠DCE＝∠ECF＝∠FCB＝30°.∴eq\f