基本原理歐拉幅角公式---復(fù)變函數(shù)或者：證明歐拉公式建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，在復(fù)變理論中占有很重要的位置。傅里葉變換和傅里葉積分定理f(x)的傅里葉變換定義為這個(gè)積分是s的函數(shù)，用同樣的公式對(duì)F(s)變化，我們有：當(dāng)f(x)是x的偶函數(shù)時(shí)，重復(fù)變換得到f(ω),它與我們開(kāi)始時(shí)的函數(shù)相同，此為傅里葉變換的循環(huán)換特性。當(dāng)f(x)是x的奇函數(shù)時(shí)，重復(fù)變換得到f(-ω)。傅里葉變換和傅里葉積分定理一般地，不論非f(x)是奇函數(shù)、偶函數(shù)或者是一般函數(shù)，重復(fù)變換都將得到f(-x)。可逆性傅里葉變換的常用公式為：我們把F(s)稱為f(x)的-i變換而把f(x)稱為F(s)的+i變換；即：說(shuō)明：在f(x)的不連續(xù)點(diǎn)上，等式的左邊應(yīng)該為1/2(f(x+)+f(x-)),

也即，當(dāng)從兩側(cè)逼近不連續(xù)點(diǎn)x時(shí)，等式左邊應(yīng)該為f(x)的不相等極限的均值。傅里葉變換和傅里葉積分定理可以把變換公式中出現(xiàn)的因子2π與s看成一體，得到下面的形式：傅里葉變換存在的條件若1.┃f(x)┃從-∞到∞的積分存在；2.f(x)中的任何斷點(diǎn)都是有限的，則上面的表達(dá)式等于f(x)(或者在f(x)的不連續(xù)點(diǎn)等于1/2(f(x+)+f(x-))。奇偶性及其意義任意函數(shù)f(x)都可以無(wú)二義地分解為奇部和偶部，即：奇偶性及其意義設(shè)：其中E和O一般是復(fù)的f(x)的傅里葉變換可以簡(jiǎn)化為：由此可得如果函數(shù)式偶的，它的變換也是偶的，如果函數(shù)是奇的，它的變換也是奇的。奇偶性及其意義由此可得如果函數(shù)式偶的，它的變換也是偶的，如果函數(shù)是奇的，它的變換也是奇的。余弦和正弦變換對(duì)正的s，函數(shù)f(x)的余弦變換定義為應(yīng)當(dāng)注意到余弦變換沒(méi)有考慮f(x)的坐標(biāo)原點(diǎn)左邊的部分，它僅定義了坐標(biāo)原點(diǎn)右邊的部分。對(duì)正的s，函數(shù)f(x)的正弦變換定義為公式的含義用圖形解釋傅里葉積分給定f(x),我們畫(huà)出一個(gè)震蕩的f(x)cos2πx，介于f(x)與-f(x)包絡(luò)之間，因?yàn)?所以f(x)cos2πsx下面積的兩倍就是Fc(s)上圖這個(gè)面積實(shí)際上是趨近于零，而這意味著s的值相當(dāng)大，第三張圖是s值較小的情況。公式的含義

卷積卷積的含義卷積描述了一個(gè)觀測(cè)儀器在一些變量的小范圍上對(duì)某些物理量進(jìn)行加權(quán)平均的操作。常常發(fā)生的情況是，加權(quán)函數(shù)的形式不隨變量中心值得改變而改變，觀測(cè)到的量是所要求的量的分布和加權(quán)函數(shù)的卷積，而不是所要求的物理量本身的值。所有物理觀測(cè)都以這種方式受到儀器分辨能力的限制，也正是由于這個(gè)原因，卷積是無(wú)所不在的。兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x)的卷積是：卷積的理解一將u看作變量而將x看成參數(shù)：先將g(u)翻轉(zhuǎn)成g(-u)，然后將g(-u)移動(dòng)x距離即g(-(u-x));乘積曲線f(u)g(x-u)下的面積就是卷積h(x)。卷積的理解二將x看作變量而將u看成參數(shù)：f(x)被分割為無(wú)窮小的柱條。每個(gè)柱條的作用將熔鑄為以柱條為中心而具有g(shù)(x)曲線形狀的一段子波形。圖中只畫(huà)出除了兩個(gè)這樣條柱熔鑄的子波形，這樣h(x)就等于所有的子波形在點(diǎn)x處貢獻(xiàn)的總和。卷積的理解三將u看作變量而將x看成參數(shù):其中g(shù)(u)關(guān)于u=x/2作了翻轉(zhuǎn)。和前面一樣，乘積曲線f(u)g(x-u)下的面積就是卷積h(x)。從這個(gè)觀點(diǎn)可以形象地看出卷積對(duì)翻轉(zhuǎn)的中心線位置的依賴性。卷積的含義卷積的定律：序列積假設(shè)給定兩個(gè)函數(shù)f和g，要求計(jì)算它們的卷積。我們構(gòu)造f值序列，它們位于寬度為ring的小的均勻間隔上相應(yīng)的g的序列為我們可以很翻遍地將g序列系在一個(gè)活動(dòng)紙條上，紙條可以連續(xù)地滑動(dòng)到與f序列的每個(gè)循序序列值相對(duì)應(yīng)的位置上(x)。g序列式按照公式的要求以相反地序列寫(xiě)在紙條上的。我們可以定義{fi}和{gi}的序列積的第(i+1)項(xiàng)如下序列積的計(jì)算是一個(gè)完全可行的過(guò)程。兩個(gè)序列可以方便地寫(xiě)成豎直的列，相應(yīng)的結(jié)果寫(xiě)在由移動(dòng)紙條上某個(gè)合適的位置上所畫(huà)的箭頭所指的位置。223342112491013108144561、序列積是一個(gè)比任何序列都要長(zhǎng)的序列，它的項(xiàng)數(shù)比兩個(gè)序列的項(xiàng)數(shù)的總和少一個(gè)。2、序列積的各元素的和等于兩個(gè)序列的各項(xiàng)和的乘積。幾個(gè)特殊的序列1、序列J起著與沖激符號(hào)δ(x)類似的重要作用。對(duì)任意序列{f},它有如下性質(zhì)：{J}*{f}={f}當(dāng)然只有一個(gè)元素的序列{1}和其他一些數(shù)列比如{100}也具有這個(gè)性質(zhì)。2、或3、可以生成n項(xiàng)的滑動(dòng)平均幾個(gè)特殊的序列4、半無(wú)限序列Sn是求一個(gè)序列的前n項(xiàng)和。序列乘法的逆運(yùn)算如果{f}*{g}={h}，則{h}稱為{f}和{g}的序列積,這是因?yàn)樾蛄衶h}構(gòu)成了用{f}和{g}所表示的多項(xiàng)式的乘積的多項(xiàng)式系數(shù)。反過(guò)來(lái)，已知{f}和{h}，求解{g}的過(guò)程可以稱作序列除法。對(duì)于這樣的問(wèn)題，可以用多項(xiàng)式除法來(lái)解決。用矩陣表示的序列積設(shè)序列{h}是序列{f}和{g}的序列積，其中假設(shè){f}有5個(gè)元素，{g}有3個(gè)元素，則{h}有7個(gè)元素。對(duì)于用列矩陣表達(dá)序列的情況，交換律{a}*{x}={x}*{a}不再適用。自相關(guān)函數(shù)和五角星如果f(x)是一個(gè)實(shí)函數(shù)，則f☆f是一個(gè)偶函數(shù)，其值在原點(diǎn)處取得最大值，即隨著移位的引入，乘積的積分值會(huì)下降。通過(guò)把函數(shù)除以它的中心值來(lái)進(jìn)行歸一化，我們定義一個(gè)量r(x)我們稱r(x)為f(x)的自相關(guān)函數(shù)。不過(guò)某些特定的應(yīng)用場(chǎng)合，歸一化問(wèn)題常常并不重要，我們更感興趣的是自相關(guān)函數(shù)的特性而不是它的幅度，所以，非歸一化的形式就被稱作自相關(guān)函數(shù)了。自相關(guān)是研究同一過(guò)程不同時(shí)刻的相互依賴關(guān)系，一個(gè)波形的普通自相關(guān)函數(shù)丟棄了其在時(shí)間維上的信息。三重相關(guān)互相關(guān)兩個(gè)實(shí)函數(shù)g(x)和h(x)的互相關(guān)函數(shù)定義如下相對(duì)于g*h=h*g，h對(duì)g的互相關(guān)運(yùn)算卻不同于g對(duì)h的互相關(guān)運(yùn)算。可以把g☆h看作“g掃描h”，即當(dāng)g隨x的變化移動(dòng)時(shí)，h保持不動(dòng)。和自相關(guān)的情況一樣，互相關(guān)函數(shù)常被歸一化使得其在原點(diǎn)處的值為1，并且在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候，用平均值來(lái)代替無(wú)窮積分。在復(fù)函數(shù)情況下的相關(guān)兩個(gè)實(shí)函數(shù)g(x)和h(x)的互相關(guān)函數(shù)定義如下在復(fù)函數(shù)的情況下，我們習(xí)慣于定義（復(fù)的）相關(guān)為g*掃描h，其中g(shù)*是g的復(fù)共軛。作為一個(gè)特例，復(fù)函數(shù)f的復(fù)自相關(guān)為f*☆f能量譜圖我們把一個(gè)函數(shù)的變換的模的平方稱為能量譜，即┃F(s)┃2是f(x)的能量譜。盡管f(x)決定了F(s)從而也決定了┃F(s)┃2，但f(x)和它的能量譜之間并沒(méi)有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，為了重建f(x)，必須要有┃F(s)┃以及F(s)的幅角。能量譜只包含了f(x)的某種信息，而并沒(méi)有給出其傅里葉分量的相位情況。能量譜所丟失的信息和我們用自相關(guān)函數(shù)代替原始函數(shù)時(shí)所丟失的信息是完全一樣的。能量譜圖若f(x)表示的是一個(gè)物理波形，則f(x)是實(shí)的，它的能量譜是一個(gè)偶函數(shù)，因此可以由s≥0時(shí)的取值完全確定。為了強(qiáng)調(diào)這個(gè)事實(shí)，我們用術(shù)語(yǔ)“正頻率能量譜”來(lái)表示s≥0的┃F(s)┃2。由于┃F(s)┃2有單位s上能量密度的性質(zhì)，如果s的一個(gè)離散點(diǎn)上有非零的能量，那么┃F(s)┃2將會(huì)是無(wú)窮大。這是一種具有無(wú)限窄譜線的情況*一些有用函數(shù)的符號(hào)單位高度和單位寬度的矩形函數(shù)∏(x)單位高度和單位寬度的矩形函數(shù)定義：通過(guò)使用卷積運(yùn)算，矩形函數(shù)也可以用來(lái)表示滑動(dòng)平均，在頻域內(nèi)與一個(gè)矩形函數(shù)相乘可以看成一個(gè)理想的低通濾波。符號(hào)rectx是∏(x)的一個(gè)代替用法。別稱：門(mén)函數(shù)，窗函數(shù)，廂函數(shù)單位高度和單位面積的三角函數(shù)Λ(x)單位高度和單位面積的三角函數(shù)定義：Λ(x)函數(shù)之所以很重要，很大程度上是因?yàn)樗檬恰?x)的自卷積。各種指數(shù)曲線、高斯曲線和瑞利曲線各種指數(shù)函數(shù)：各種指數(shù)曲線、高斯曲線和瑞利曲線高斯函數(shù)：高斯函數(shù)的傅里葉變換仍然是高斯函數(shù)。各種指數(shù)曲線、高斯曲線和瑞利曲線二維高斯函數(shù)：Heaviside單位階躍函數(shù)H(x)任何有跳變的函數(shù)都可以被分解為一個(gè)連續(xù)函數(shù)和一個(gè)平移的階躍函數(shù)。因?yàn)橐粋€(gè)函數(shù)和H(x)相乘后，原函數(shù)在x為負(fù)時(shí)變?yōu)榱?，而在x為正時(shí)保持不變，所以單位階躍函數(shù)是一種能夠表達(dá)簡(jiǎn)單信號(hào)值被開(kāi)關(guān)的簡(jiǎn)單手段。補(bǔ)圖單位階躍函數(shù)是表達(dá)非連續(xù)性不可缺少的輔助手段，定義為：Heaviside單位階躍函數(shù)H(x)階躍函數(shù)對(duì)于簡(jiǎn)化積分上下限起了重要作用，它通過(guò)對(duì)原來(lái)的界限外的部分置零來(lái)實(shí)現(xiàn)。然后就可以使用常用的積分區(qū)間。比如-∞到+∞或者0到+∞。例如函數(shù)H(x-x’)在x’>x時(shí)為零，那么積分Heaviside單位階躍函數(shù)H(x)所以R(x)實(shí)際上是一個(gè)卷積積分：R(x)可以寫(xiě)成Heaviside單位階躍函數(shù)H(x)現(xiàn)在我們可以注意到，一個(gè)函數(shù)如果積分存在的話，與H(x)做卷積就是做積分運(yùn)算或補(bǔ)圖符號(hào)函數(shù)sgn(x)符號(hào)函數(shù)sgn(x)(念做signumx)，根據(jù)x的符號(hào)取1或-1，即：它與階躍函數(shù)H(x)有點(diǎn)不一樣，但具有階躍函數(shù)的許多特性。它有2的正跳變，與H(x)的關(guān)系是：濾波函數(shù)或內(nèi)插函數(shù)sinc(x)我們定義：它的特性為：sinc0=1;

sinc

n=0,

n是非零的整數(shù)。Sinc函數(shù)獨(dú)一無(wú)二的特性是在頻譜上，它包含一定譜帶內(nèi)的所有頻譜分量。進(jìn)一步，在截止頻率內(nèi)它的頻譜是平坦的。sinc

x與∏(s)是一對(duì)傅里葉變換對(duì)。sincx函數(shù)在卷積中是理想的低通濾波器。也就是說(shuō)，它保留截止頻率內(nèi)的頻率分量并保持不變，而對(duì)截止頻率以外的分量全部刪除。濾波函數(shù)或內(nèi)插函數(shù)sinc(x)另一個(gè)常用的函數(shù)是sincx函數(shù)的平方。sinc2x函數(shù)的傅里葉變換是Λ(x)函數(shù)。它的一些特性是：沖激符號(hào)我們把抽象的無(wú)線短暫或集中，無(wú)限強(qiáng)烈的單位面積沖激表示為：此處我們賦予其意義為：函數(shù)t-1∏(x/t)是一個(gè)寬為t高為t-1，具有單位面積的矩形函數(shù)；當(dāng)t趨近域0變化時(shí)，變會(huì)產(chǎn)生一個(gè)高度逐漸增大的單位面積脈沖序列。沖激符號(hào)使我們能簡(jiǎn)潔地描述不確定的任意形狀的段戰(zhàn)脈沖。沖激符號(hào)與單位階躍函數(shù)的密切關(guān)系式根據(jù)在x為整數(shù)時(shí)等于1，而x為負(fù)數(shù)時(shí)等于0這一性質(zhì)得出的。因此：?jiǎn)挝浑A躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是沖激符號(hào)。篩選特性我們將按照解釋包含沖激符號(hào)的表達(dá)式時(shí)所用的方法來(lái)說(shuō)明下式的含義。用序列t-1∏(x/t)來(lái)代替δ(x)，進(jìn)行乘法和積分運(yùn)算，最后求t趨近于0時(shí)積分的極限，如下式所示：由于等式左邊對(duì)f(x)所進(jìn)行的運(yùn)算篩選出了函數(shù)f(x)的單個(gè)值，所以我們把它稱作沖激符號(hào)的篩選特性。篩選特性為了強(qiáng)調(diào)其和卷積積分的類同之處，我們可以這樣寫(xiě)如果f(x)在x=0處發(fā)生跳變，則篩選積分有一個(gè)限值，一般可以表示為：沖激符號(hào)的一個(gè)重要的性質(zhì)即，如果用系數(shù)a對(duì)x進(jìn)行尺度壓縮，則會(huì)導(dǎo)致原本為單位面積的脈沖面積縮小，于是縮沖激強(qiáng)度縮小到原來(lái)的1/|a|。性質(zhì)δ(-x)=δ(x)，說(shuō)明沖激符號(hào)具有偶對(duì)稱性質(zhì)采樣或復(fù)制符號(hào)III(x)其有很多顯而易見(jiàn)的性質(zhì)顯然III(x)是周期為1的函數(shù)。III(x)的采樣特性周期采樣性質(zhì)是以討論過(guò)的沖激符號(hào)的篩選積分特性的推廣。因此，用III(x)和函數(shù)f(x)想乘便有效地對(duì)f(x)以單位間隔進(jìn)行采樣。結(jié)果不包含兩整數(shù)間III(x)=0所對(duì)應(yīng)的f(x)的信息；而當(dāng)x為整數(shù)時(shí)f(x)的值被保留下來(lái)。III(x)的采樣特性使其成為一個(gè)很有用的工具，廣泛應(yīng)用于很多學(xué)科。III(x)的復(fù)制特性用III(x)和函數(shù)f(x)進(jìn)行卷積運(yùn)算當(dāng)中，即函數(shù)f(x)沿x軸正方向以單位間隔重復(fù)出現(xiàn)，永無(wú)止境。當(dāng)然，如果f(x)的底寬大于1，則會(huì)發(fā)生交疊。偶沖激對(duì)II(x)和奇沖激對(duì)II(x)偶沖激對(duì)和奇沖激對(duì)的定義如下：沖激對(duì)的重要性源于它們與正余弦函數(shù)的變換關(guān)系：偶沖激對(duì)II(x)和奇沖激對(duì)II(x)當(dāng)偶沖激對(duì)II(x)和函數(shù)f(x)相卷積時(shí)，會(huì)表現(xiàn)出復(fù)制性。如果f(x)的有限差分定義為那么于是，有限差分算子也可以表示為：沖激符號(hào)的導(dǎo)數(shù)一個(gè)函數(shù)在原點(diǎn)左側(cè)趨向于+∞，在原點(diǎn)右側(cè)趨向于-∞，而當(dāng)|x|>0時(shí)值為0。為了涵蓋這些條件我們希望將其表示成δ’（0）=0。導(dǎo)數(shù)篩選特性可由下式得出其他性質(zhì)如下：零函數(shù)零函數(shù)主要是指傅里葉變換為0，而并非其本身恒為零的函數(shù)。按照定義，如果：則f(x)為零函數(shù)。(其中[a,b]為任意區(qū)間）。如果兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x)具有相同的變換形式，則f(x)-g(x)是一個(gè)零函數(shù)?；径ɡ硪恍┯糜谡f(shuō)明的變換下面列出6個(gè)可供參考的變換對(duì)：則f(x)為零函數(shù)。(其中[a,b]為任意區(qū)間）。如果兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x)具有相同的變換形式，則f(x)-g(x)是一個(gè)零函數(shù)。一些用于說(shuō)明的變換當(dāng)a趨近于0的時(shí)候，式子左邊代表一個(gè)δ(x)的一個(gè)定義序列。式子左邊在極限情況下是1的傅里葉變換，其結(jié)論是：

1是δ(s)在極限情況下的傅里葉變換。一些用于說(shuō)明的變換據(jù)此是在極限情況下的傅里葉變換。

在極限情況下的傅里葉變換是：一些用于說(shuō)明的變換

在極限情況下的傅里葉變換是：把以上的例子總結(jié)一下：相似性定理如果f(x)的傅里葉變換是F(s),則f(ax)的傅里葉變換是|a|-1F(s/a).推導(dǎo)如下：這個(gè)定理表明時(shí)間域尺度的壓縮對(duì)應(yīng)于頻率域尺度的擴(kuò)展。但是當(dāng)變換對(duì)中的一個(gè)函數(shù)在水平方向上擴(kuò)展時(shí)，另一個(gè)函數(shù)不但在水平方向上壓縮，而且會(huì)在垂直方向上增長(zhǎng)，以保持函數(shù)曲線下方的面積不變。因此當(dāng)函數(shù)擴(kuò)展或壓縮時(shí)，它在垂直方向上會(huì)壓縮或增長(zhǎng)以作補(bǔ)償。（如此函數(shù)平方的積分將保持不變。）加性定理如果f(x)和g(x)的傅里葉變換分別是F(s)和G(s)，則相應(yīng)的f(x)+g(x)的傅里葉變換是F(s)+G(s)。推導(dǎo)如下：上述定理說(shuō)明傅里葉變換適合處理線性問(wèn)題。它的一個(gè)推論是：af(x)的傅里葉變換是aF(s)，其中a是一個(gè)常數(shù)。移位定理如果f(x)的傅里葉變換是F(s)，則f(x-a)的傅里葉變換是如果一個(gè)給定函數(shù)向正方向移動(dòng)一個(gè)量a，它的傅里葉變換幅度不會(huì)變化。因此可以預(yù)料傅里葉變換的變化將局限于相位的變換。根據(jù)這一個(gè)定理，每一分量在相位上的延遲與s值成正比，即頻率越高，相位角變換越大。推導(dǎo)：調(diào)制定理如果f(x)的傅里葉變換為F(s),則f(x)cosωx的傅里葉變換是：推導(dǎo)：調(diào)制定理新的變換會(huì)被看作F(s)和的卷積。卷積定理如果f(x)和g(x)的傅里葉變換分別為F(s)和G(s)，那么f(x)*g(x)的傅里葉變換是F(s)G(s)，也就是說(shuō)，兩個(gè)函數(shù)卷積的變換等于它們變換的乘積。推導(dǎo)：卷積定理卷積的變換是變換的乘積；乘積的變換是變換的卷積；兩個(gè)函數(shù)的卷積是它們變換的乘積的變換；兩個(gè)函數(shù)的乘積是它們的變換的卷積的變換。瑞利定理一個(gè)函數(shù)模的平方的積分等于它的頻譜模的平方的積分。功率定理自相關(guān)定理如果f(x)的傅里葉變換是F(s)，那么它的自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換是自相關(guān)定理在通信中常見(jiàn)的形式是，信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)是它的功率譜的傅里葉變換。微分定理如果f(x)的傅里葉變換是F(s)，那么的傅里葉變換是卷積的微分微分定理與卷積定理共同作用的情況下，如果那么求解變換閉式積分?jǐn)?shù)值傅里葉變換對(duì)于多里變量x，數(shù)據(jù)以離散的形式給出。間隔Δx可能會(huì)非常精確以至于不需插入中間值，但是不管怎樣我們可以認(rèn)為數(shù)據(jù)很少包含周期2Δx的傅里葉分量的有效信息，因此沒(méi)有必要計(jì)算頻率高于（2Δx）-1時(shí)傅里葉變換的值。另外，觀察所得的數(shù)據(jù)是對(duì)有限范圍內(nèi)的x給出的，我們假設(shè)范圍為-X<x<X。根據(jù)上面的討論，傅里葉變換不需要對(duì)小于(2X)-1的s值進(jìn)行計(jì)算。如果F(s)中有重要的精確細(xì)節(jié)需要用小于(2X)-1的列表時(shí)間來(lái)描述，則需要在x=X之外取更多的f(x)。數(shù)值傅里葉變換近似等于F(s)。該式可分解為下面的實(shí)部和虛部：MATLAB中的傅里葉變換傅里葉逆變換：光學(xué)傅里葉變換光譜學(xué)如果我們可以確定一個(gè)電磁信號(hào)s(t)的時(shí)間自相關(guān)，那么通過(guò)傅里葉變換，我們就可以得到信號(hào)的功率譜。具體做法：將信號(hào)分解為兩個(gè)部分然后得到二者的積s(t)s(t+τ),其中τ是一個(gè)可變的時(shí)延。通過(guò)把聚酯薄膜膠片旋轉(zhuǎn)45度就可以高效地實(shí)現(xiàn)光的分解。其中一束光光沿著入射方向，功率是入射功率的一半，另一束光沿著適當(dāng)?shù)姆较蚍瓷?。在兩束光重新合成并通過(guò)檢測(cè)器之間，對(duì)其中的一束光插入相對(duì)時(shí)延τ,經(jīng)過(guò)延遲的光通過(guò)一個(gè)平面鏡反射后回到原來(lái)的路徑上。對(duì)最大的時(shí)延τmax,可以達(dá)到1/2τmax的譜分辨率帶寬。覆蓋的總帶寬將擴(kuò)展到高頻1/2Δτ，其中Δτ為移動(dòng)平面鏡時(shí)在每個(gè)τ處停留的時(shí)間。光學(xué)傅里葉變換光譜學(xué)兩個(gè)域一個(gè)函數(shù)在(-∞,+∞)區(qū)間上的定積分等于其傅里葉變換在原點(diǎn)處的值，即函數(shù)與x軸所包圍的面積推導(dǎo)如下：中心幅度一階矩類似于直線上的質(zhì)量分布，f(x)的一階原點(diǎn)矩定義為：如果f(x)的傅里葉變換為F(s),則f(x)的一階矩等于F(s)在s=0處的斜率的-（2πi)-1倍，即：質(zhì)心f(x)的質(zhì)心是一個(gè)橫坐標(biāo)為<x>的點(diǎn)，使得函數(shù)f(x)與x軸所包圍面積乘以<x>的積等于其一階原點(diǎn)矩。這樣，<x>告訴我們函數(shù)f(x)主要集中在哪個(gè)點(diǎn)上，或當(dāng)一個(gè)脈沖信號(hào)被表示為時(shí)間的函數(shù)時(shí)，<t>表示了該脈沖發(fā)生的時(shí)刻。慣性矩(二階原點(diǎn)矩)函數(shù)f(x)的慣性矩或二階原點(diǎn)矩的定義為：一個(gè)函數(shù)的二階原點(diǎn)矩越大，其傅里葉變換在原點(diǎn)處的曲率就越大。f(x)在x較大處的特性可以由傅里葉變換在原點(diǎn)處的特性反應(yīng)出來(lái)。均方橫坐標(biāo)均方橫坐標(biāo)<x2>是x2根據(jù)f(x)的分布的加權(quán)平均值。如果f(或者g)的質(zhì)心在原點(diǎn)處，則f*g的均方橫坐標(biāo)等于f與g的均方橫坐標(biāo)的和。回轉(zhuǎn)半徑即均方橫坐標(biāo)的平方根，它的方便之處在于：它與x有同樣的量綱。平滑性與集聚性我們用一個(gè)函數(shù)的所有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)來(lái)衡量該函數(shù)的光滑程度。一個(gè)函數(shù)越光滑，它的傅里葉變換就越集聚，也就是說(shuō)，傅里葉變換隨著s的增大衰減越快。如果一個(gè)函數(shù)和它的n-1階導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，則它的傅里葉變換在s較大時(shí)，其衰減速度至少和|s|-(n+1)一樣快，即：一般情況下，我們可以說(shuō)，如果函數(shù)第k階導(dǎo)數(shù)含有沖擊，則它的變換在無(wú)窮遠(yuǎn)的性態(tài)和|s|-(k)一樣.平滑性與集聚性標(biāo)準(zhǔn)差δf可以用來(lái)衡量函數(shù)f(x)的散布。函數(shù)f(x)與g(x)卷積后函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差增大，其結(jié)論是：如果函數(shù)的第k階導(dǎo)數(shù)含有沖激，我們說(shuō)該函數(shù)有k階平滑度。如果f(x)有m階平滑度而g(x)含有n階平滑度，則f(x)*g(x)含有m+n階平滑度?！捌交庇袝r(shí)用作卷積的同義詞。等效寬度對(duì)于一個(gè)確定形狀的函數(shù)，衡量其寬度的簡(jiǎn)單方法是：也就是說(shuō)，函數(shù)與x軸所包圍的面積除以它的中心幅度。另一種表示方法是，如果一個(gè)矩形的高度等于函數(shù)的中心幅度，面積等于函數(shù)與x軸所包圍的面積，則該矩形的寬度就是這個(gè)函數(shù)的等效寬度。在光譜學(xué)中，譜線的寬度定義為與這條譜線有相同中心亮度和面積的矩形的寬度。等效寬度函數(shù)的等效寬度等于它的傅里葉變換的等效寬度的倒數(shù)，即自相關(guān)寬度自相關(guān)寬度為自相關(guān)函數(shù)的等效寬度：這樣定義的自相關(guān)寬度沒(méi)有指出函數(shù)在原點(diǎn)處的集中程度。函數(shù)的等效寬度與其傅里葉變換的等效寬度互為倒數(shù)，從這一關(guān)系我們可以得到，函數(shù)的自相關(guān)寬度是它的功率譜的等效寬度的倒數(shù)。用自相關(guān)寬度來(lái)衡量函數(shù)的分散程度，最大的優(yōu)點(diǎn)(相對(duì)等效寬度而言)在于，它去除了等效寬度對(duì)中心幅度的敏感性。均方寬度x的均方值定義為：它被廣泛地用來(lái)度量寬度，以及函數(shù)的中心不在坐標(biāo)原點(diǎn)的方差：當(dāng)函數(shù)與x軸包圍面積為0時(shí)，這些方法不適用，因此不能用來(lái)衡量震蕩信號(hào)或波包的寬度。不確定性關(guān)系我們把相對(duì)于|f(x)|2的質(zhì)心偏離的均方稱為模平方的方差。|f(x)|2的質(zhì)心為：那么，|f(x)|2模平方的方差的方差為：不確定性關(guān)系|f(x)|2模平方的方差的方差為:(Δx)2|F(s)|2模平方的方差的方差為:(Δs)2不確定性關(guān)系信號(hào)的帶寬-持續(xù)期之積不能小于一個(gè)確定的值。這種不確定性關(guān)系為：所以，我們不能在時(shí)頻平面上對(duì)信號(hào)進(jìn)行任意精確地描述。我們可以分別任意指定一個(gè)信號(hào)的時(shí)域分辨率或者頻域分辨率，但是不能同時(shí)指定這兩種分辨率。有限差分函數(shù)f(x)在間隔a上的有限差分定義為：由于經(jīng)常和那些只在離散間隔上列表的函數(shù)一起使用，因此有限差分只定義在x的離散值上。當(dāng)差分間隔a較小時(shí)，Δaf(x)較小且近似正比于f(x)的導(dǎo)數(shù)；當(dāng)a取值較大時(shí)，Δaf(x)可以分為兩部分，分別為f(x)的平移和一個(gè)f(x)的反平移。如果f(x)在間隔a上的有限差分是Δaf(x)，則Δaf(x)的傅里葉變換為2isinπasF(s)有限差分在x域中，有限差分與微分的關(guān)系可以表示為：在變換域中表示為：二階差分Δ2aa=

Δa[Δaf(x)]=f(x+a)-2f(x)+f(x-a)?；瑒?dòng)平均在處理氣象數(shù)據(jù)時(shí)，例如降雨量，通常使用滑動(dòng)平均將不重要的逐天的數(shù)據(jù)波動(dòng)平滑掉，以便于揭示季節(jié)趨勢(shì)。f(x)在間隔a上的滑動(dòng)平均定義為：滑動(dòng)平均可以表示為函數(shù)與矩形函數(shù)的卷積形式，該矩形函數(shù)寬為a面積為1：f(x)在間隔a上滑動(dòng)平均的傅里葉變換是sincasF(s)?；瑒?dòng)平均對(duì)一個(gè)函數(shù)進(jìn)行多次滑動(dòng)平均運(yùn)算，可以得到函數(shù)的高階滑動(dòng)平均，所以二階滑動(dòng)平均表示為：其傅里葉變換為：波形、頻譜、濾波器和線性性電波形與頻譜信號(hào)波形V(t)的頻譜S(f)定義為它的傅里葉變換(或者是極限意義下的傅里葉變換):據(jù)此：因?yàn)閂(t)定義為實(shí)函數(shù)，故頻譜函數(shù)S(f)的實(shí)部必定為偶函數(shù)，而它的虛部必定為奇函數(shù)，即S(f)是hermitian的。電波形與頻譜波形和頻率譜之間的公式變換的其他形式另外的對(duì)稱形式方式：電波形與頻譜內(nèi)核函數(shù)形式cosωt+sinωt是一個(gè)傅里葉內(nèi)核函數(shù)。濾波器濾波器V1(t)V2(t)與T(f)相乘S1(f)S2(f)傅里葉反變換V2(t)傅里葉反變換V1(t)與I(t)卷積V1(t)V2(t)傅里葉反變換T(f)濾波器當(dāng)輸入波形的頻譜S1(f)=1,即輸入波形V1(t)=δ(t)時(shí)，輸出波形即為濾波器的特征波形I(t)。通信中將其稱為濾波器的“沖擊響應(yīng)”。很多情況下它可以像頻率特征函數(shù)T(f)一樣來(lái)表征一個(gè)濾波器的特性，而且更容易通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法得到。濾波器第三種表征濾波器特性的方法是用它的“階越響應(yīng)”，即當(dāng)輸入為階躍函數(shù)V1(t)=H(t)時(shí)，濾波器輸出波形。令這個(gè)輸出函數(shù)為A(t)。同時(shí)，將V1(t)看作由階躍序列V1’(τ)H(t-τ)構(gòu)成，我們可以看到濾波器V1(t)卷積I(t)求導(dǎo)V’1(t)卷積A(t)求導(dǎo)V2(t)S1(f)乘T(f)乘i2πfi2πfS1(f)乘T(f)/i2πfS2(f)乘i2πf濾波器這樣，在濾波理論中有以下幾種形式的傅里葉積分所涉及到的卷積積分為：濾波器離散的信號(hào)f(n)當(dāng)作輸入信號(hào)時(shí)，通常要進(jìn)行濾波：低通濾波器可以用來(lái)減少不期望的隨機(jī)噪聲和快速的系統(tǒng)波動(dòng)；高通濾波器通常用來(lái)減少不期望的漂移；精密帶通濾波器則可以用來(lái)使數(shù)字信號(hào)滿足電話線或無(wú)線電傳輸?shù)囊?guī)定帶寬要求。所涉及到的卷積積分為：對(duì)定理的解釋相似性定理：當(dāng)信號(hào)波形延遲了一個(gè)給定的時(shí)間T時(shí)，它的諧波成分受到的影響是不同的。比如頻率恰好等于T-1或其整數(shù)倍的諧波成分，根本不受影響；周期遠(yuǎn)大于T的分量受影響較小，但是周期大小同T值，相比較較小的分量，相位收到的影響就會(huì)較大。一般地，我們可以說(shuō)周期T1=f1-1的分量，它的幅度不變但是相位延遲了2πT/T1。因此每個(gè)分量移位后變?yōu)閑xp(-2πf1T)S(f1)。因?yàn)閷?duì)時(shí)間尺度壓縮一個(gè)給定的因子相當(dāng)于所有諧波分量的周期，因此就以同樣的因子提高了每個(gè)分量的頻率。因?yàn)閂(0)不隨時(shí)間尺度變化而改變，由定積分定理可知頻率譜下的面積保持不變，因此當(dāng)頻率譜擴(kuò)展到更高頻率時(shí)，補(bǔ)償因子|a|-1相應(yīng)地降低頻譜的幅度。移位定理：對(duì)定理的解釋調(diào)制定理：把一個(gè)角頻率為ω的音頻調(diào)制到一個(gè)角頻率為Ω的載波上，調(diào)制后的波形為：其中M為調(diào)制深度。該波形和未調(diào)制載波cosΩt的不同之處在于加了一個(gè)參量McosΩtcosωt，該量的形式為調(diào)制定理所適用的形式。調(diào)制定理說(shuō)明，如果信號(hào)V(t)的傅里葉變換為S(f),那么波形V(t)cosωt的傅里葉變換可以把S(f)兩分為相同的兩半，其中之一向右移動(dòng)一個(gè)量ω/2π,另一個(gè)向向左移動(dòng)相等的距離。對(duì)定理的解釋如果：那么：故，McosΩtcosωt的傅里葉變換是見(jiàn)下圖：對(duì)定理的解釋對(duì)定理的解釋調(diào)制定理的逆：間隔一定時(shí)間連續(xù)發(fā)送兩個(gè)相同的信號(hào)，那么這個(gè)復(fù)合信號(hào)的頻率可以通過(guò)一個(gè)信號(hào)的頻譜乘以一個(gè)頻率的余弦函數(shù)得到，即：在上面的表達(dá)式中，時(shí)間原點(diǎn)選擇在了兩個(gè)分離信號(hào)的原點(diǎn)中間，但我們也可以根據(jù)移位定理寫(xiě)為線性和時(shí)不變?cè)O(shè)信號(hào)V2(t),W2(t)分別是一個(gè)濾波器對(duì)激勵(lì)型號(hào)V1(t),W1(t)的響應(yīng)。如果無(wú)論選擇怎么樣的V1(t),W1(t)都有V1(t)+W1(t)通過(guò)濾波器的響應(yīng)是V2(t)+W2(t),那么就可以說(shuō)這個(gè)濾波器是線性。時(shí)不變性質(zhì)是指對(duì)任何T和V1(t)來(lái)說(shuō)，信號(hào)V1(t-T)的響應(yīng)都是V2(t-T)。作為線性時(shí)不變的后果，一個(gè)激勵(lì)A(yù)cos2πft(其中f表示頻率)的響應(yīng)是其中Φ和B/A可以隨頻率的改變而變化。所以響應(yīng)具有與激勵(lì)相同的形式，但是在相位上可能延遲了一個(gè)Φ,幅度上可能變化了一個(gè)引子B/A。線性和時(shí)不變量Φ和B/A是濾波器的特性，而且可以用一個(gè)復(fù)量T(f)簡(jiǎn)單地表示，這個(gè)量就是傳輸因子，定義為：采樣與級(jí)數(shù)采樣定理采樣定理描述在一定條件下，用固定間隔的采樣樣本就可以精確回復(fù)原來(lái)信號(hào)的所有值，換言之，這個(gè)樣本集合完全等價(jià)于所有的函數(shù)值。這個(gè)條件就是：函數(shù)必須是“帶限的”，即函數(shù)的傅里葉變換在一個(gè)有限范圍內(nèi)是非零的，而在其它區(qū)域內(nèi)為零?？紤]函數(shù)f(x),它的傅里葉變換F(s)在|s|>S0時(shí)為零。顯然它是一個(gè)帶限函數(shù)。在這種情況下，傅里葉積分量被限制在以s的原點(diǎn)為中心的頻帶內(nèi)。這個(gè)函數(shù)其實(shí)代表了一大類用有限頻率的設(shè)備所觀察到的物理分布。我們稱這種變換為“截止變換”，并說(shuō)它們?cè)诔^(guò)“截止頻率”s0后被截?cái)?。采樣定理一般情況下，截止變換都具有II(s/2s0)G(s)的形式，其中G(s)是任意的，因此具有截止變換的函數(shù)的一般形式為其中g(shù)(x)是任意的。當(dāng)然，如果原函數(shù)是截至的，那么它就不是帶限函數(shù)，而其變換是帶限的。帶限函數(shù)的特殊性質(zhì)：

它們可以被間隔不大于1/2S0-1的等間隔采樣值完全描述。采樣定理采樣定理考慮到上圖中的函數(shù)，我們只保留了x等于采樣間隔τ的整數(shù)倍處的f(x)信息，而丟失其中間值。因此如果可以從f(x)III(x/τ)重構(gòu)出f(x)，那么采樣定理得證。III(x/τ)的傅里葉變換為τIII(τs)，它是間隔為τ-1的單位沖激串。因此有：我們可以看出原函數(shù)乘以III(x/

τ)相當(dāng)于把頻譜F(s)以間隔τ-1進(jìn)行周期延拓。如果我們可以恢復(fù)F(s)，那么我們就可以重構(gòu)函數(shù)f(x)?？梢詫ⅵ覫II(τs)乘以II(s/2s0)就行了。除了在s=s0處存在奇異行為外，這就足以證明采樣定理。采樣定理同時(shí)，臨界采用條件也很明顯，因?yàn)槿绻貜?fù)的頻譜發(fā)生混疊，我們就無(wú)法恢復(fù)f(x)。在各重復(fù)頻譜的間隔τ-1小于2S0時(shí)就會(huì)發(fā)生這種情況。所以采樣間隔不能超過(guò)1/2S0-1。在臨界采樣時(shí)，各個(gè)重復(fù)的頻譜剛好接觸在一起。內(nèi)插從采樣點(diǎn)計(jì)算中間值的數(shù)值計(jì)算過(guò)程當(dāng)然不依賴于傅里葉變換。因?yàn)榛謴?fù)的過(guò)程是對(duì)變換乘以II(s/2s0),在函數(shù)時(shí)域的等效操作是與2scsinc2scx進(jìn)行卷積，這樣就可以III(x/τ)f(x)直接恢復(fù)出f(x)。和一個(gè)由沖激串組成的函數(shù)卷積在數(shù)值計(jì)算上很有吸引力，因?yàn)榫矸e積分實(shí)際上變成求和(序列積)。頻域矩形濾波假設(shè)我們要去掉一個(gè)函數(shù)超過(guò)某個(gè)頻率值得頻譜分量，也即給傅里葉變換乘以矩形函數(shù)，我們把它寫(xiě)為II(s)。假設(shè)S0=1/2也即臨界采樣間隔為1。計(jì)算濾波值時(shí)的卷積積分不能完全簡(jiǎn)化為求和。但是，在數(shù)值計(jì)算時(shí)它必須用求和進(jìn)行逼近，那么我們會(huì)問(wèn)，表格間隔可以粗略到什么程度仍然能夠充分逼近所要計(jì)算的積分：頻域矩形濾波從τ=1開(kāi)始，我們發(fā)現(xiàn)∑1=f(x)，即基本就沒(méi)有進(jìn)行濾波。現(xiàn)在嘗試τ=1/2，我們有所以∑1/2包含了中心部分F(s)II(s)和一些較遠(yuǎn)的部分。在許多應(yīng)用中，這樣簡(jiǎn)單的方法就已經(jīng)足夠了。用滑動(dòng)平均進(jìn)行平滑函數(shù)f(x)與寬度為W的矩形函數(shù)卷積導(dǎo)致它的傅里葉變換通過(guò)一個(gè)低通濾波器。然而這個(gè)濾波器與上面討論的銳截止濾波的情況大相徑庭。我們知道和WII(x/W)進(jìn)行卷積對(duì)應(yīng)傳輸函數(shù)是F(s)=sincWs，它具有等效寬度1/W的帶通寬度。欠采樣假設(shè)f(x)以一定的間隔(與所期望的矩形濾波截止頻率相應(yīng)的間隔)進(jìn)行采樣。那么這些采樣值確定了一個(gè)帶限信號(hào)g(x),它有一個(gè)所期望范圍的截止頻譜，而且乍一看似乎是和一個(gè)矩形濾波器的乘積得到的。但是這一過(guò)程與矩形濾波并不相同，因?yàn)榻Y(jié)果和f(x)中的高頻分量有關(guān)。例如，某個(gè)采樣值可能會(huì)落在一個(gè)狹窄的尖峰上，更進(jìn)一步講，粗糙的采樣點(diǎn)的相位將會(huì)對(duì)結(jié)果造成明顯的影響。不過(guò)這種效果通?？梢哉J(rèn)為是對(duì)舉行濾波較好的近似。欠采樣幅度和斜率采樣交錯(cuò)采樣存在噪聲的采樣傅里葉級(jí)數(shù)與真實(shí)的物理模型有點(diǎn)關(guān)系令f(x)為具有普通傅里葉變換F(s)的一個(gè)函數(shù)，然后與復(fù)制符號(hào)卷積得到周期函數(shù)p(x)，定義為：p(x)的周期為1，對(duì)于p(x)沒(méi)有普通的傅里葉變換，因?yàn)椴皇諗俊Ｒ虼宋覀儗?duì)p(x)乘一個(gè)因子γ(x),使得x的絕對(duì)值較大的時(shí)候，它衰減到0.這就使得嚴(yán)格的周期函數(shù)變得物理上可實(shí)現(xiàn)的。令：γ(x)的傅里葉變換為：函數(shù)γ(x)p(x)的傅里葉變換為：用shah符號(hào)來(lái)表示，即為：現(xiàn)在令收斂因子作用于周期函數(shù)p(x),使得它的無(wú)窮積分收斂，而對(duì)Γ做卷積去除了譜線P(s)上的無(wú)窮間斷點(diǎn)。取f(x)為一個(gè)周期段g(x)II(x),我們看到一個(gè)周期函數(shù)的頻譜是一組沖激，沖激的強(qiáng)度是F(s)的等間隔采樣，F(xiàn)(s)是一個(gè)周期函數(shù)的傅里葉變換。有Gibbs現(xiàn)象在對(duì)周期現(xiàn)象進(jìn)行分析以確定傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的情況中，有一個(gè)實(shí)際而重要的問(wèn)題是需要知道應(yīng)該保留多少項(xiàng)。要考慮與要表達(dá)的周期函數(shù)中的斷點(diǎn)或銳變有關(guān)的過(guò)沖現(xiàn)象。通過(guò)忽略掉超過(guò)某個(gè)有限頻率的項(xiàng)，相當(dāng)于讓周期函數(shù)p(x)通過(guò)一個(gè)低通濾波器。這樣，如果基頻是s0，且保留到最高頻率ns0，這就仿佛給頻譜乘了一個(gè)矩形函數(shù)II(s/2Sc),其中Sc是介于ns0和(n+1)s0之間的截止頻率。為了方便可以取為(n+1/2)s0。在頻率譜上乘以II(s/(2n+1)s0),相當(dāng)于周期函數(shù)p(x)與（2n+1）s0sinc（(2n+1)s0x）進(jìn)行卷積。因此，當(dāng)級(jí)數(shù)的求和上線頻率為ns0，和就成為：卷積函數(shù)具有單位面積，故在p(x)緩慢變化時(shí)，結(jié)果與p(x)保持相當(dāng)一致。Gibbs現(xiàn)象實(shí)例現(xiàn)在我們希望研究在間斷點(diǎn)上發(fā)生的情況，因此我們選擇一個(gè)在x=0的兩邊適當(dāng)?shù)木嚯x內(nèi)等于sgnx的周期函數(shù)。因?yàn)槲覀儼炎⒁饬性趚=0附近發(fā)生了什么情況，所以在這個(gè)范圍以外的函數(shù)形狀并不重要，只要它是周期的。在x=0附近，結(jié)果近似為：下圖b為區(qū)域A的放大。Gibbs現(xiàn)象實(shí)例我們知道：這個(gè)函數(shù)對(duì)x大的負(fù)值在-1附近震蕩，隨著x接近原點(diǎn)，震蕩幅度增加，在x=0處通過(guò)零點(diǎn)，上沖到最大值1.18，然后變?yōu)樵?1附近的衰減振蕩。如果我們改變sinc的尺度因子，用因子N=(2n+1)s0對(duì)其進(jìn)行壓縮，并且使其強(qiáng)度增加一個(gè)因子N，以至它的單位面積保持不變，那么與sgnx卷積將使在-1和+1附近的震蕩速度加快而震蕩幅度不變。這等于不連續(xù)量的9%的過(guò)沖仍保持在9%，但在更接近斷點(diǎn)的地方達(dá)到最大值。在負(fù)半邊發(fā)生的最小值情況與此相同。有限區(qū)間的傅里葉變換傅里葉系數(shù)我們知道，有限區(qū)間變換可以用一個(gè)略有不同的函數(shù)II(x)p(x)的標(biāo)準(zhǔn)變換表示如下：如果我們考慮單位周期函數(shù)p(x)的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)an和bn的通用公式，即：這樣，我們處理變換的方法就可以自由地應(yīng)用于傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的確定。傅里葉系數(shù)實(shí)例一個(gè)周期的窄三角窗脈沖串：借助shah符號(hào)來(lái)表示，這個(gè)脈沖串可以表示為如下形式：它的傅里葉變換為：傅里葉系數(shù)實(shí)例表達(dá)式中的來(lái)自于一般情況下，一個(gè)函數(shù)有任意的周期T，其變換說(shuō)明傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)可以通過(guò)讀取不同間隔s=T-1處的F(s)來(lái)獲得。周期沖激串x的周期函數(shù)的傅里葉變換是一串等間隔的沖激。如果一個(gè)周期函數(shù)本身是由等間隔的沖激所構(gòu)成，或者如果一個(gè)沖激串本身是周期的：從原函數(shù)f(x),通過(guò)與III(x)的卷積生成一個(gè)具有單位周期的周期函數(shù)p(x)。因?yàn)閜(x)具有單位周期，它的的變換為P（s），由單位間隔的沖激組成。現(xiàn)在，通過(guò)乘以間隔為X的單位強(qiáng)度的沖激串對(duì)p（x）進(jìn)行采樣，其中間隔X小于1，得到一個(gè)周期沖擊串這樣，對(duì)x的周期函數(shù)均勻采樣得到一個(gè)類似于采樣函數(shù)的均勻復(fù)制的結(jié)構(gòu)。因此可以用兩種方法表示：離散的傅里葉變換和FFT離散問(wèn)題經(jīng)常與周期函數(shù)聯(lián)系在一起。一個(gè)周期函數(shù)可以用離散間隔上的一系列數(shù)來(lái)描述。那么變換可以被看作是一串等間隔的δ函數(shù)，其強(qiáng)度由系數(shù)給定。我們考慮一個(gè)信號(hào)，一般地，如果采樣間隔為T(mén)，第一個(gè)采樣點(diǎn)在t=t0，那么由定義，f(τ)的離散傅里葉變換F(v)由下式給出：正如周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)中的首項(xiàng)系數(shù)a0等于函數(shù)值的平均一樣，離散傅里葉變換的首值F(0)等于f(τ)的值的平均N-1Σf(τ)。定義式中的因子N-1是為了遵循先前的慣例。與正式的定義不同，在實(shí)際的計(jì)算中，將因子N-1與后來(lái)的歸一化因子或作圖的尺度因子相結(jié)合，比過(guò)早對(duì)F(v)的每個(gè)元素乘以N-1更有效。v/N的值類似于用煤采樣間隔的周期數(shù)度量的頻率，符號(hào)的對(duì)應(yīng)可以總結(jié)如下：時(shí)間頻率連續(xù)情況tf離散情況τν/N在離散的情況下選擇符號(hào)v而不是f，是為了強(qiáng)調(diào)頻率整數(shù)v和頻率有關(guān)但是和頻率f是不一樣的。例如:如果采樣時(shí)間間隔是1s且有8個(gè)采樣點(diǎn)(N=8),那么將在v=8f處頻率分量f，相反的，頻率整數(shù)v=1表示頻率是1/8Hz。給定離散變換F(v),我們可以在下面的逆變換關(guān)系的幫助下恢復(fù)出時(shí)間序列f(τ),即為了說(shuō)明這一點(diǎn)，我們首先驗(yàn)證下面的事實(shí)：為了建立離散逆變換，為了方便起見(jiàn)我們引入啞元變量τ’得：逆變換定義的不同之處在于其指數(shù)上的符號(hào)是正的而且前面沒(méi)有因子N-1。為了說(shuō)明這一點(diǎn)，我們首先驗(yàn)證下面的事實(shí)：為了建立離散逆變換，為了方便起見(jiàn)我們引入啞元變量τ’得：從逆變換中我們可以看到，正如離散時(shí)間τ一樣，頻率整數(shù)v也只需要N個(gè)整數(shù)值且范圍從0-N-1。N個(gè)測(cè)量值在變換后仍能用N個(gè)參數(shù)來(lái)表示，這聽(tīng)起來(lái)當(dāng)然是合理的。即使，f的值是實(shí)的，F(xiàn)的值一般也是復(fù)的。離散傅里葉變換的性質(zhì)互易性質(zhì)為了使v為整數(shù)，我們?cè)陔x散傅里葉變換中引入了尺度因子N，使得離散傅里葉變換也不是嚴(yán)格互易的。如果我們連續(xù)應(yīng)用兩次DFT變換而不改變i的符號(hào)，則復(fù)共軛反轉(zhuǎn)特性假如τ的符號(hào)改變，也就是說(shuō)f(τ)沿直線τ=0反折，那么v的符號(hào)將該變值得注意的是，當(dāng)f(τ)沿直線τ=1/2反折時(shí)，也能得到相同的結(jié)果。疊加定理移位定理反轉(zhuǎn)特性假如τ的符號(hào)改變，也就是說(shuō)f(τ)沿直線τ=0反折，那么v的符號(hào)將該變值得注意的是，當(dāng)f(τ)沿直線τ=1/2反折時(shí)，也能得到相同的結(jié)果。疊加定理卷積定理兩個(gè)序列{f1(τ)}和{f2(τ)}的圓周卷積定義為：乘積定理f2()應(yīng)該理解為其周期延拓。為了強(qiáng)調(diào)離散求和與連續(xù)卷積積分之間的區(qū)別，對(duì)離散卷積我們使用術(shù)語(yǔ)卷積和互相關(guān)自相關(guān)序列和首值廣義Parseval-Rayleigh定理填補(bǔ)定理填補(bǔ)算子Packk向一給定的N元序列f(τ)尾部填零，使序列的元素個(gè)數(shù)增加到KN。相似性定理為了得到類似于連續(xù)時(shí)間中的尺度的擴(kuò)展和壓縮，我們必須給序列補(bǔ)充足夠的零元素，要么在序列尾部補(bǔ)零，以便能夠擴(kuò)展序列，要么在元素之間插零，以便使序列能有壓縮的空間。在元素之間插入零的操作使序列元素的總個(gè)數(shù)乘了個(gè)因子K，我們用展寬算子StretchK表示它。相似定理是，如果{g}的傅里葉變換是{G},如此，在τ域內(nèi)展寬K倍將導(dǎo)致v域內(nèi)F(v)的K倍重復(fù)；頻率的尺度沒(méi)有被K壓縮。用一個(gè)可以對(duì)長(zhǎng)度N為64，128，或2的其他整數(shù)冪的序列進(jìn)行操作的通用程序，對(duì)一個(gè)長(zhǎng)度為60的序列進(jìn)行FFT。給序列填加4個(gè)零可以使它滿足程序。但是，把零填加到序列的后面，前面，或者兩個(gè)加在前面兩個(gè)加在后面，所得的結(jié)果是否會(huì)有區(qū)別？由下圖再想到移位定理，我們知道|F(v)|將不受影響，但原點(diǎn)的有效位移將會(huì)引入相位變化。如果相位很重要，就像它應(yīng)該是的那樣，如果數(shù)據(jù)序列本來(lái)就由各自然的零點(diǎn)，那么我位移定理將能提供一個(gè)適當(dāng)?shù)南辔恍拚蜃?。?shí)際考慮如果我們?cè)谖膊刻?8個(gè)零，并且使用N=128的程序，結(jié)果會(huì)不同。為了理解這一點(diǎn)，考慮延拓的意義，其中f(τ)和F(v)被看做是周期的且周期為N。設(shè)v(t)是連續(xù)變量t的函數(shù)，它在0~N-1的t的整數(shù)值上，與f(τ)一致，在此之外為0。如圖所示v(t)III(t)是一串沖激，它和f(τ)包含相同的信息，但是不具有周期為N的重復(fù)特性。然而周期特性可以用下式表示，即它和f(τ)嚴(yán)格一致。如果我們把橫坐標(biāo)標(biāo)為t，箭頭標(biāo)為圓點(diǎn)的話，圖d將是f(τ)的精確表達(dá)。實(shí)際考慮如果v(t)的傅里葉變換為S(f)，我們利用卷積定理和shah函數(shù)III()的變換是它本身的特性，可以得到假如f和v之間的關(guān)系為f=v/N,那么上面的表達(dá)式就對(duì)應(yīng)于DFTF(v),f(τ)對(duì)應(yīng)于p(t)。如果將v(t)III(t)進(jìn)行周期為2N的延拓，我們將得到它的傅里葉變換為：與上面不同的是這相當(dāng)于對(duì)S(f)*III(f)進(jìn)行了比上面高一倍的采樣。提高采樣頻率導(dǎo)致兩者差異的原因是S(f)可能是振蕩的，而且通常的確是這樣的，除非序列f(τ)沒(méi)有那些經(jīng)常出現(xiàn)在數(shù)據(jù)串的開(kāi)始和結(jié)尾部分的大的跳躍。當(dāng)然由于f(τ)的周期性，如果終值f(N-1)近似等于初值f(0)的話，一個(gè)大的初值f(0)將不被看做一個(gè)大的跳躍。但是如果一個(gè)64元的數(shù)據(jù)序列，通過(guò)在尾部補(bǔ)0延拓到128個(gè)元素，那么這就是跳躍，F(xiàn)(v)中會(huì)出現(xiàn)不光滑的結(jié)構(gòu)，同樣的，如果把相對(duì)平滑的64元數(shù)據(jù)序列中的4個(gè)連續(xù)元素置0，F(xiàn)(v)中將會(huì)出現(xiàn)振蕩。這說(shuō)明通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)序列補(bǔ)零將其擴(kuò)充到64個(gè)元素并不一定總是最好的方法。通過(guò)補(bǔ)充比零更合理的啞元數(shù)據(jù)，可以得到與期望的結(jié)果更加一致的結(jié)果。實(shí)際考慮離散傅里葉變換正確嗎？---信號(hào)的混疊當(dāng)計(jì)算傅里葉變換時(shí)，DFT理論是準(zhǔn)確的，獨(dú)立自主的，它確切描述了對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)樣本的操作，剩下的問(wèn)題是依賴于數(shù)據(jù)采樣點(diǎn)的DFT在多大程度上近似于函數(shù)的傅里葉變換呢？很明顯，DFT只能是一個(gè)近似值，因?yàn)樗鼉H提供了一組有限的離散頻率點(diǎn)的值。但是這些離散值本身正確嗎？我們可以很容易舉出它們是不正確的簡(jiǎn)單例子。這個(gè)問(wèn)題的討論是基于采樣定理和混疊現(xiàn)象的。如果初始的采樣間隔不是足夠小，以至不足以表示原函數(shù)中的高頻分量，那么DFT的值和通過(guò)它們的光華曲線都會(huì)因混疊而發(fā)生錯(cuò)誤。如果原函數(shù)是已知的，那么與一個(gè)給定的采樣間隔相關(guān)的誤差是可以計(jì)算的。從實(shí)際操作來(lái)看，我們往往只知道采樣序列，那么誤差的避免只能依賴一些經(jīng)驗(yàn)因素，及經(jīng)驗(yàn)。例如在同樣的時(shí)間內(nèi)采樣兩倍的點(diǎn)就能確定是否存在高頻分量。DFT中的另一個(gè)重要的誤差源是數(shù)據(jù)串的截?cái)唷．?dāng)然，對(duì)函數(shù)的截?cái)嗵幚聿豢杀苊獾貙?dǎo)致了一個(gè)不正確的傅里葉變換（所得結(jié)果是正確傅里葉變換和某個(gè)sinc函數(shù)的卷積)，因此截?cái)嗾`差并不是DFT所具有的。然而所犯的錯(cuò)誤是不同的。為了說(shuō)明這一點(diǎn)，假設(shè)采樣間隔選得足夠精細(xì)使得它能處理數(shù)據(jù)中的高頻分量而且沒(méi)有混疊誤差?，F(xiàn)在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行截?cái)嗵幚怼?duì)DFT的影響是把它和一個(gè)sinc函數(shù)的采樣進(jìn)行卷積，與這個(gè)sinc函數(shù)對(duì)應(yīng)的矩形函數(shù)的寬度描述了對(duì)信號(hào)的截?cái)唷ｋx散傅里葉變換正確嗎？---數(shù)據(jù)串的截?cái)嘣斐深l譜泄露離散傅里葉變換正確嗎？---數(shù)據(jù)串的截?cái)嘣斐深l譜泄露卷積的結(jié)果是造成頻譜的“擴(kuò)散”（拖尾，變寬），這就是所謂的頻譜泄露。減小泄露的方法：1、取更長(zhǎng)的數(shù)據(jù)，也就是窗寬加寬，當(dāng)然數(shù)據(jù)太長(zhǎng)必然使得運(yùn)算量和儲(chǔ)存量都增加；2、數(shù)據(jù)不用突然截?cái)?，也就是不要加矩形窗，而是要緩慢截?cái)?，即為加各種緩變的窗（如三角窗等），使得窗譜的旁半更小，卷積后造成的泄露更小。離散傅里葉變換正確嗎？---柵欄效應(yīng)因?yàn)镈FT計(jì)算的頻譜只限制在離散點(diǎn)上的頻譜，也就是限制為基頻整數(shù)倍處，的譜，而不是連續(xù)頻率的函數(shù)，這就像通過(guò)柵欄觀看景色一樣，只能在離散的點(diǎn)上看到真實(shí)的景象，把這種現(xiàn)象稱為柵欄效應(yīng)。減小柵欄效應(yīng)的辦法：使頻域抽樣更密，即增加頻域抽樣的點(diǎn)數(shù)N，在不改變時(shí)域數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)的情況下，必然是在時(shí)域數(shù)據(jù)末端填加一些零點(diǎn)，使一個(gè)周期內(nèi)的點(diǎn)數(shù)增加，但并不改變?cè)瓉?lái)的記錄。功率譜在許多情況下變換的相位是不重要或者不可知的，此時(shí)我們可以研究|F(v)|,但是往往我們是對(duì)|F(v)|2進(jìn)行研究，這其實(shí)是等價(jià)的，并且我們把|F(v)|2稱為功率譜。雖然功率譜不只是應(yīng)用于隨機(jī)過(guò)程或者來(lái)自隨機(jī)信號(hào)源的確定性信號(hào)，但是這些應(yīng)用卻是非常重要。隨機(jī)過(guò)程的功率譜常常被定義成隨機(jī)過(guò)程的自協(xié)方差函數(shù)的傅里葉變換。（自協(xié)方差函數(shù)是在自相關(guān)運(yùn)算之前除去直流分量后的結(jié)果。但是它們?cè)谛g(shù)語(yǔ)上的區(qū)別是不易發(fā)現(xiàn)的。因?yàn)橥ǔ５睦斫馐窃谟?jì)算自相關(guān)之前要減去非零均值，否則計(jì)算是不可能的。）假設(shè)我們求一個(gè)N元序列的DFT。具體的，設(shè)這N個(gè)數(shù)據(jù)是某一點(diǎn)海平面每隔10s的高度。自然地，F(xiàn)n(v)的值應(yīng)該表示海浪能量所在的頻率段，但是它的精確度和它的分辨率卻是有限的，因?yàn)閿?shù)據(jù)長(zhǎng)度N是有限的。Fn(v)的相位雖然非零，但是幾乎不包含我們感興趣的任何信息，如果把它們丟棄，|Fn(v)|2則形成了我們對(duì)海浪功率譜的測(cè)量。如果海浪的狀態(tài)變化的話，正如它經(jīng)常變化一樣，那么這些測(cè)量只能作為那個(gè)時(shí)期的海浪功率譜的記錄。但是N的值是有限的，這種測(cè)量在一定程度上是不完美的，使得從v的一個(gè)值到下一個(gè)值的變換呈現(xiàn)無(wú)規(guī)律性。功率譜為了得到一個(gè)較好的測(cè)量，我們可以將采樣數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度增加到4倍，但是我們能如何知道這段觀察期間還的能量譜沒(méi)有發(fā)生變化呢？?jī)H有的方法是我們將數(shù)據(jù)分成若干段，然后再作判斷。離散哈特變換一種嚴(yán)格互易的實(shí)變換給定一個(gè)實(shí)的波星號(hào)V(t)，若下面的積分存在，我們就可以定義積分變換：為了將Φ(ω)與V(t)的傅里葉變換S(ω)聯(lián)系起來(lái)，我們使用下面傅里葉變換定義比較方便：一種嚴(yán)格互易的實(shí)變換令其中e(ω)和o(ω)分別為Φ(ω)的奇部和偶部。則對(duì)于給定的Φ(ω)，我們可以構(gòu)造e(ω)-io(ω)，以獲得V(t)的傅里葉變換S(ω)：這樣我們看到僅通過(guò)簡(jiǎn)單的反折與疊加運(yùn)算，就可以從Φ(ω)容易地變換到V(t)的傅里葉變換。反之，若給定了S(ω)，我們也可以獲得Φ(ω),即將S(ω)的實(shí)部減去虛部：符號(hào)與示例作為一個(gè)例子，取則：下圖左邊是V(t)，右邊是它的傅里葉變換S(ω)，其中虛線表示S(ω)的實(shí)部，點(diǎn)線表示S(ω)的虛部。圖種虛部的符號(hào)已經(jīng)取反了。實(shí)線表示哈特利變換，該變換為S(ω)的實(shí)部與虛部符號(hào)取反的簡(jiǎn)單求和。它是實(shí)的而且明顯是非對(duì)稱的。反過(guò)來(lái)，利用Φ(ω)的奇部和偶部可以恢復(fù)出復(fù)值傅里葉變換S(ω)的實(shí)部和虛部。離散哈特利變換考慮一個(gè)類似于時(shí)間的離散變量τ，但可以假設(shè)為僅有從0~N-1的N個(gè)整數(shù)值。給定一個(gè)函數(shù)f(τ),我們可以把它看做一個(gè)波形信號(hào)，定義它的離散哈特利變換(DHT)為：其中作為比較，其離散傅里葉變換F(v)為:f(τ)的逆DHT關(guān)系式為離散哈特利變換為了從DHT得到DFT，可將DHT分為奇部和偶部。其中那么DFT由下式給出DHT的例子為了與上圖比較，考慮f(τ)是對(duì)連續(xù)函數(shù)V(t)的前面部分進(jìn)行等間隔采樣，共采樣N=16點(diǎn)。由于V(t)在0時(shí)刻不連續(xù)，把f(τ)在τ=0時(shí)的取值為[V(0+)+V(0-)]/2=0.5。下圖為f(τ)及其離散哈特利變換H(v),其結(jié)果類似于對(duì)上圖中的變換以間隔Δω/2π

=

1/16進(jìn)行采樣。離散哈特利變換兩個(gè)圖的差異較小，部分是由于截?cái)嘀笖?shù)波形引起的，部分是由于像DFT一樣的混疊造成的。DHT的卷積運(yùn)算DHT服從的卷積定理如下：如果f(τ)是f1(τ)和f2(τ)的卷積，即那么：其中H(v),

H1(v)和H2(v)分別為f(τ),f1(τ)和f2(τ)的離散哈特利變換，且H2(v)=H2e(v)+H2o(v)，即奇部與偶部的和。傅里葉變換在儀器中的應(yīng)用InorderthatthisdiscreteFouriertransformgeneratethetrueF(ω),

it

is

important

not

only

that

the

total

number

of

data

points,

N,

be

large

enough

but

also

that

the

data

be

obtained

at

a

fast

enough

rate.

The

reason

for

this

requirement

on

the

rate

of

data

acquisition

is

easily

seen:

if

we

wish

to

represent

in

digital

form

a

cosine

wave

of

frequency

v

hertz

(ω=2πv

radians

per

second),

the

sampling

theorem

tell

us

that

we

must

take

two

data

points

per

cycle

to

specify

the

amplitude

and

frequency

of

the

wave.

A

larger

number

of

points

per

cycle

provides

no

additional

information

but

does

not

in

any

way

detract

fromthe

information

content.

A

sampling

rate

of

fewer

than

two

points

per

cycle,

however,introduces

ambiguity

and

results

in

a

distortion

of

the

spectrum.

Thus,

if

it

is

known

that

vmax

is

the

highest

frequency

present,

the

minimum

acceptable

sampling

rate

is

2vmax

points

per

second.傅里葉變換在紅外中的應(yīng)用Theefficiencyoftheinterferometric

method

arises

both

from

the

multiplex

advantage

of

obtaining

data

at

all

frequencies

simultaneously

and

from

the

larger

energy

throughput

made

available

by

eliminating

the

narrow

slits

and

small

apertures

of

monochromator.The

greatly

improved

sensitivity

now

permits

study

of

IR

spectra

of

samples

as

small

as

10

nanograms.

The

speed

of

obtaining

spectra

is

being

exploited

especially

in

the

study

of

the

effluent

from

gas

chromatographs,

where

the

IR

spectra

of

the

separate

fractions

can

be

obtained

in

the

gas

stream.“observed”signalfromaMichelsoninterferometerasafunctionofmirrordisplacementforanincidentwaveconsistingofthreediscretefrequencies.Thissignalisthesumofthethethreecosinewavesignalsthatwouldarisefromeachfrequencyseparately,asindicated.Forclaritytheindividualcosinewaveshavebeendisplaceddownwardbytwounits.Thecosinewaveswithwhichareconcerned(thecomponentwavesinupfigure,forexample)arefunctions,notreallyoftime,butofthedistanceofmirrordisplacements.Hencethe“frequencies”withwhichwedealarenottruefrequencies,butwavenumbers(inreciprocalcentimeters).Thecommonlystudiedmid-andfar-infraredregionofthespectrumextendsuptoabout4000cm-1.Ifweensurethatnohigherfrequenciesreachthedetectorbyinterposinganopticalfilterwithasharp,high-frequencycutoff,thenaccordingtothesamplingtheorem,theremustbeaminimumdataacquisitionof8000pointspercentimeterofopticalpath-lengthdifference(16000pointspercentimeterofmirrordisplacementssincetheinfraredbeamtransversesthepathtoandfromthemirror).SamplingrateinFTIRThedistancethemirrormustmoveinFTIRA

cosine

wave

of

frequency

or

(wave

number)

v

and

infinite

in

extent

leads,

on

Fourier

transformation,

to

an

infinitely

sharp

line

at

v.From

Fourier

theory

it

can

be

shown

that

the

width

of

the

line

at

half

maximum

intensity

(in

reciprocal

centimeters)

is

given

by

the

reciprocal

of

the

path-length

difference

(

that

is,one-half

the

reciprocal

of

the

mirror

displacement).

Thus

resolution

of

the

interferometer

can

be

made

as

great

as

desired

by

providing

sufficient

mirror

displacement.

傅里葉變換在NMR中的應(yīng)用WenowinquirehowtheadvantagesoftheFTmethodcanbeutilizedinNMRspectroscopy.AMichelsoninterferometerisoutofthequestionforanumberofreasons;forexample,toobtain1-hertzresolution(3.3×10-11

cm-1)

the

mirror

would

have

to

travel

over

150,000

kilometers.

But

we

can

achieve

the

desired

goal

by

using

well-known

NMR

pulse

techniques.AnalternativemethodforstudyingNMRconsistsof“gating”thetransmitteronforashortperiodinordertoapplyashort,intensepulseofradio-frequencyenergytothesample.(thisprocedureresultsinabroadband,ratherthanamonochromaticsourceofirradiation.)A.

Precession

of

nuclear

magnetic

moments

about

an

applied

magnetic

field

H0.

The

resultant

macroscopic

magnetization

M

is

directed

along

the

z

axis.

B

Tipping

of

M

away

from

the

z

axis

by

interaction

with

the

rf

field

H1.

A

component

of

M

now

exists

in

the

xy

plane

and

rotates

as

M

preccesses

about

H0.AsMprecesses,itinducesanelectricalsignalinthecoilalongtheyaxis.Themagnitudeofthisso-calledfree-inductionsignaldecreasesexponentiallywithtime.SinceM

isreducedbynaturalspin-spinrelaxationprocessesandbytheeffectsofmagneticfieldinhomogeneity.If

the

reference

frequency

used

to

generate

H1

is

not

precisely

coincident

with

the

resonance

frequency,then

there

is

interference

between

the

nuclear

signal

from

the

precessing

magnetization

and

the

reference

signal

from

the

rf

oscillater.

This

leads

to

the

sort

of

“ringing”

pattern.Whenyousuperimposetwosinewavesofdifferentfrequencies,you

get

components

at

the

sum

and

difference

of

the

two

frequencies.

For

equal

amplitude

sine

waves:SumandDifferenceFrequenciesThe

first

term

gives

the

phenomenon

of

beats

with

a

beat

frequency

equa