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習(xí)題181研究下列函數(shù)的連續(xù)性并畫出函數(shù)的圖形(1)解已知多項式函數(shù)是連續(xù)函數(shù)所以函數(shù)f(x)在[01)和(12]內(nèi)是連續(xù)的在x1處因為f(1)1并且所以從而函數(shù)f(x)在x1處是連續(xù)的綜上所述，函數(shù)f(x)在[02]上是連續(xù)函數(shù)(2)解只需考察函數(shù)在x1和x1處的連續(xù)性在x1處因為f(1)1并且所以函數(shù)在x1處間斷但右連續(xù)在x1處因為f(1)1并且f(1)f(1)所以函數(shù)在x1處連續(xù)綜合上述討論函數(shù)在(1)和(1)內(nèi)連續(xù)在x1處間斷但右連續(xù)2下列函數(shù)在指出的點處間斷說明這些間斷點屬于哪一類如果是可去間斷點則補充或改變函數(shù)的定義使它連續(xù)(1)x1x2解因為函數(shù)在x2和x1處無定義所以x2和x1是函數(shù)的間斷點因為所以x2是函數(shù)的第二類間斷點因為所以x1是函數(shù)的第一類間斷點并且是可去間斷點在x1處令y2則函數(shù)在x1處成為連續(xù)的(2)xk(k012)解函數(shù)在點xk(kZ)和(kZ)處無定義因而這些點都是函數(shù)的間斷點因(k0)故xk(k0)是第二類間斷點因為(kZ)所以x0和(kZ)是第一類間斷點且是可去間斷點令y|x01則函數(shù)在x0處成為連續(xù)的令時y0則函數(shù)在處成為連續(xù)的(3)x0解因為函數(shù)在x0處無定義所以x0是函數(shù)的間斷點又因為不存在所以x0是函數(shù)的第二類間斷點(4)x1解因為所以x1是函數(shù)的第一類不可去間斷點3討論函數(shù)的連續(xù)性若有間斷點判別其類型解在分段點x1處因為所以x1為函數(shù)的第一類不可去間斷點在分段點x1處因為所以x1為函數(shù)的第一類不可去間斷點4證明若函數(shù)f(x)在點x0連續(xù)且f(x0)0則存在x0的某一鄰域U(x0)當(dāng)xU(x0)時f(x)0證明不妨設(shè)f(x0)>0因為f(x)在x0連續(xù)所以由極限的局部保號性定理存在x0的某一去心鄰域使當(dāng)x時f(x)>0從而當(dāng)xU(x0)時f(x)>0這就是說則存在x0的某一鄰域U(x0)當(dāng)xU(x0)時f(x)05試分別舉出具有以下性質(zhì)的函數(shù)f(x)的例子(1)x012n是f(x)的所有間斷點且它們都是無窮間斷點解函數(shù)在點x012n處是間斷的且這些點是函數(shù)的無窮間斷點(2)f(x)在R上處處不連續(xù)但|f(x)|在R上處處連續(xù)解函數(shù)在R上處處不連續(xù)但|f(x)|1

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