第四章

平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)第一節(jié)平面向量的概念及其線性運算1.向量的有關概念(1)定義：既有______又有_____的量.(2)表示方法：用_________來表示向量.有向線段的長度表示向量的_____，用箭頭所指的方向表示向量的______.用a,b,或用來表示.(3)模：向量的_____叫做向量的模，記作|a|,|b|或大小方向有向線段大小方向長度【即時應用】(1)請寫出高中物理中的三個向量______________.(2)判斷下列命題的真假：(請在括號中填寫“真”或“假”)①向量的大小是實數(shù)()②向量可以用有向線段表示()③向量就是有向線段()④向量的長度和向量的長度相等()【解析】(1)由向量的定義可知，物理中的速度、力、加速度等都為向量.(2)向量是既有大小又有方向的量，向量的大小為實數(shù)，故①為真；向量可以用有向線段來表示，有向線段的長度為向量的大小，有向線段的方向為向量的方向，所以②為真；③為假；

與

是大小相等、方向相反的向量，故④為真.答案：(1)速度、力、加速度(答案不唯一)(2)①真②真③假④真2.特殊向量(1)零向量：長度為__的向量叫做零向量，記作0；零向量的方向_______.(2)單位向量：長度為________的向量.(3)共線向量：方向相同或______的向量叫做共線向量，共線向量也叫做_____向量；規(guī)定：零向量與任何向量共線.(4)相等向量：長度_____且方向_____的向量.(5)相反向量：長度_____且方向_____的向量.0不確定1個單位相反平行相等相同相等相反【即時應用】(1)判斷下列命題的真假：(請在括號中填寫“真”或“假”)①若a與b平行，則b與a方向相同或相反()②若a與b平行同向，且|a|>|b|,則a>b()③|a|=|b|與a、b的方向沒有關系()(2)把平面上一切單位向量歸結到共同的始點，那么這些向量的終點所構成的圖形是__________.【解析】(1)①假，當a為零向量時，方向是不確定的.②假，向量不能比較大小.③真，向量a與b的模相等，即長度相等，與方向無關.(2)這些向量的終點所構成的圖形是以共同的始點為圓心，以單位1為半徑的圓.答案：(1)①假②假③真(2)圓3.向量的加法與減法向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算_______法則

___________法則(1)交換律:a+b=____.(2)結合律:(a+b)+c=________.三角形平行四邊形b+aa+(b+c)向量運算定義法則(或幾何意義)運算律減法求a與b的相反向量-b的和的運算叫做a與b的差_______法則三角形【即時應用】(1)下列命題是否正確(請在括號中填“√”或“×”)①()②()③()(2)若菱形ABCD的邊長為2，則||=_________.【解析】(1)①不正確.因為②正確.因為③正確.因為(2)||=||=||=2.答案：(1)①×②√③√(2)24.向量的數(shù)乘與共線向量定理(1)向量的數(shù)乘①長度|λa|=________②方向當λ>0時，λa的方向與a的方向_____；當λ<0時，λa的方向與a的方向_____，當λ=0時，λa=__,其方向是任意的.|λ||a|相同相反0(2)向量的數(shù)乘的運算律設λ,μ為實數(shù)，則①λ(μ

a)=_________;②(λ+μ)a=___________③λ(a+b)=___________.(3)共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)λ，使得________.(λμ)aλa+μa；λa+λbb=λa【即時應用】(1)思考：在共線向量定理中，當a=0時，λ還唯一嗎？提示：當a=0且b=0時，λ可以為任意實數(shù)，不唯一，當a=0且b≠0時，λ不存在.(2)填空:①8(a+c)+7(a-c)-c=__________.②③設兩非零向量e1,e2不共線，且k(e1+e2)∥(e1+ke2)，則實數(shù)k的值為____________.④點C在線段AB上，且【解析】①原式=8a+8c+7a-7c-c=15a-0c=15a②原式=③由題意知，k(e1+e2)=λ(e1+ke2)?(k-λ)e1=(λk-k)e2又∵e1與e2不共線,∴即k=0或1.④∵∴答案：①15a②③0或1④熱點考向1平面向量的有關概念1.平面向量的概念辨析題的解題方法向量有關概念的辨析題多出現(xiàn)在選擇題或填空題中，解答時準確理解向量的基本概念是解決該類問題的關鍵，特別要掌握好相等向量；零向量的長度為0，方向不確定等知識，充分利用反例進行否定也是行之有效的方法.2.幾個重要結論(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行具有傳遞性；(2)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量；(3)平行向量與起點無關.【例1】已知下列命題：①單位向量都相等②若a與b是共線向量，b與c是共線向量，則a與c是共線向量③兩個有共同起點而長度相等的非零向量，它們的終點必相同④由于0方向不確定，故0不能與任意向量平行⑤如果a=b,b=c,則a=c⑥如果|a|=|b|，則a與b的方向相同.其中不正確的命題是______(請把不正確的命題的序號都填上).【解題指南】以概念為判斷依據(jù)，或通過舉反例說明其不正確.【規(guī)范解答】各單位向量的模都相等，但方向不一定相同，故①不正確；當b=0時，a與c可以為任意向量，故②不正確；兩個有共同起點而長度相等的非零向量，如果它們的方向相同，則它們的終點必相同，否則終點不相同，故③不正確；規(guī)定0與任意向量平行，故④不正確；如果a、b、c都為零向量，則a=c,如果a、b、c為非零向量，則它們的長度都相等、方向相同，所以a=c,故⑤正確；⑥不正確.答案：①②③④⑥【反思·感悟】平面向量的基本概念較多，比較容易遺忘，復習時要構建良好的知識結構來幫助記憶，還可以與物理中、生活中的模型進行類比和聯(lián)想來記憶.【變式訓練】給出下列命題:(1)兩個具有公共終點的向量,一定是共線向量.(2)兩個向量不能比較大小,但它們的模能比較大小.(3)λa=0(λ為實數(shù)),則λ必為零.(4)λ,μ為實數(shù),若λa=μb，則a與b共線.其中錯誤命題的個數(shù)為()(A)1(B)2(C)3(D)4【解析】選C.(1)錯誤.兩向量共線要看其方向而不是起點與終點.(2)正確.因為向量既有大小,又有方向,故它們不能比較大小,但它們的模均為實數(shù),故可以比較大小.(3)錯誤.當a=0時,不論λ為何值,λa=0.(4)錯誤.當λ=μ=0時,λa=μb,此時a與b可以是任意向量.熱點考向2平面向量的線性運算1.平面向量的線性運算法則的應用三角形法則和平行四邊形法則是向量線性運算的主要方法，共起點的向量和用平行四邊形法則，差用三角形法則.2.兩個重要結論(1)向量的中線公式：若P為線段AB中點，則(2)向量加法的多邊形法則【提醒】當兩個向量共線(平行)時，三角形法則同樣適用.向量加法的平行四邊形法則與三角形法則在本質上是一致的，但當兩個向量共線(平行)時，平行四邊形法則就不適用了.【例2】(1)如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點，則()(2)(2013·泉州模擬)已知P，A，B，C是平面內四點，且那么一定有()(3)(2013·福州模擬)如圖所示的方格紙中有定點O，P，Q，E，F(xiàn)，G，H，則=_______.【解題指南】(1)利用平面向量的線性運算并結合圖形求解．(2)將向量分解為以點P為起點的兩向量的差，然后化簡即可.(3)結合圖形，利用平行四邊形法則及向量平移即可得出.【規(guī)范解答】(1)選A.∴即(2)選D.由題意得即(3)令a=則由平行四邊形法則作出向量

再平移即發(fā)現(xiàn)a=答案：【變式訓練】在△ABC中，若點D滿足則＝()【解析】選A.∵∴∴∴【變式備選】如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點，G為BF、DE的交點，若試用a,b來表示

.【解析】

連接BD，因為G是△CBD的重心，所以熱點考向3共線向量定理的應用【方法點睛】1.共線向量定理及應用(1)可以利用共線向量定理證明向量共線，也可以由向量共線求參數(shù)的值.(2)若a,b不共線，則λa+μb=0的充要條件是λ=μ=0,這一結論結合待定系數(shù)法應用非常廣泛.2.證明三點共線的方法若則A、B、C三點共線.

【例3】已知a,b不共線，設t∈R，如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在實數(shù)t使C，D，E三點在一條直線上？若存在，求出實數(shù)t的值，若不存在，請說明理由.【解題指南】先假設存在，再用a,b表示目標向量，最后判斷是否有成立即可.【規(guī)范解答】由題設知，=d-c=2b-3a,=e-c=(t-3)a+tb,C，D，E三點在一條直線上的充要條件是存在實數(shù)k，使得，即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.因為a,b不共線，所以有解之得t=.故存在實數(shù)t=使C，D，E三點在一條直線上.【反思·感悟】1.注意待定系數(shù)法在解決此類問題中的重要作用.其中的k只是橋梁，可設而不求.2.本例中應用待定系數(shù)法求t的值時，不可忽視a,b不共線的條件.【變式訓練】設e1與e2是兩個不共線的非零向量，若向量

=3e1-2e2,試證明：A、C、D三點共線.【證明】∵∴共線，∴A、C、D三點共線.【變式備選】設a，b是兩個不共線向量，若a與b起點相同，t∈R，t為何值時，a，tb，

(a＋b)三向量的終點在一條直線上？【解析】設

(λ∈R)，化簡整理得：∵a與b不共線，∴故t=時，a,tb,(a+b)三向量的終點在一條直線上．

1.(2013·福州模擬)在平面上有A，B，C三點，設m＝n＝若m與n的長度恰好相等，則有()(A)A，B，C三點必在一條直線上(B)△ABC必為等腰三角形且∠B為頂角(C)△ABC必為直角三角形且∠B為直角(D)△ABC必為等腰直角三角形【解析】選C.如圖，以為鄰邊作平行四邊形ABCD，則由m，n的長度相等可知，兩對角線相等，因此平行四邊形ABCD一定是矩形．∴選C.2.(2013·南平模擬)