第九講

參數(shù)譜估計(jì)Z變換簡(jiǎn)介濾波器原理簡(jiǎn)介隨機(jī)信號(hào)的線性模型AR模型譜估計(jì)

講授內(nèi)容1.1Z變換定義

定義

序列x(n)的Z變換定義為如下級(jí)數(shù)其中，z是復(fù)變量收斂域

使得Z變換收斂的z值的集合稱為收斂域ROC（regionofconvergence），一般情況下，冪級(jí)數(shù)將在一個(gè)環(huán)形區(qū)域中收斂，即1.2不同類型序列的Z變換

有限長(zhǎng)度序列：僅有有限個(gè)采樣數(shù)據(jù)值不為零，即當(dāng)時(shí)，

右邊序列：當(dāng)時(shí)左邊序列：當(dāng)時(shí)雙邊序列：n為任意值時(shí)，x(n)均有值。雙邊z變換可以看成一個(gè)左邊序列和一個(gè)右邊序列的z變換之和

1.3逆Z變換

定義式為計(jì)算方法：長(zhǎng)除法部分分式法留數(shù)法2.1數(shù)字濾波器定義

數(shù)字濾波器可以看成一個(gè)離散時(shí)間LTI系統(tǒng)，其輸入輸出的關(guān)系可以用一個(gè)差分方程來(lái)表示：可以取

進(jìn)行簡(jiǎn)化

對(duì)上式進(jìn)行z變換得

表征了濾波器2.2兩類濾波器

考慮濾波器表達(dá)式IIR濾波器當(dāng)時(shí)為有理分式，相應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)序列為無(wú)限長(zhǎng)序列，稱為無(wú)限沖激響應(yīng)（IIR，infiniteimpulseresponse）濾波器FIR濾波器當(dāng)

時(shí)，

為z的多項(xiàng)式，其對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)為有限長(zhǎng)序列，這種濾波器稱為有限沖激響應(yīng)（FIR，finiteimpulseresponse）濾波器2.3濾波器的另一種表示法

濾波器的另一種常用表達(dá)式為采用零、極點(diǎn)表示為系統(tǒng)零點(diǎn)為系統(tǒng)極點(diǎn)所以：

FIR濾波器是一個(gè)全零點(diǎn)濾波器IIR濾波器是一個(gè)零極點(diǎn)濾波器或全極點(diǎn)濾波器2.4濾波器的頻響函數(shù)

只要以

來(lái)替代z就可以得到頻率響應(yīng)函數(shù)即可得：

3最小二乘估計(jì)原理

見WORD文檔“最小二乘估計(jì)”4.1隨機(jī)信號(hào)的線性模型ARMA模型：對(duì)應(yīng)于零極點(diǎn)濾波器AR模型：對(duì)應(yīng)于全極點(diǎn)濾波器MA模型：對(duì)應(yīng)于全零點(diǎn)濾波器4.2AR模型參數(shù)估計(jì)方程（一）最經(jīng)典的模型參數(shù)估計(jì)方程是Yule-Walker方程p階AR模型滿足如下的差分方程

其中，

為實(shí)常數(shù)，且

是均值為0，方差為

的平穩(wěn)白噪聲序列

對(duì)上式兩邊乘以

，并取期望值，得因?yàn)锳R(p)為因果系統(tǒng)，所以等式右邊

4.3AR模型參數(shù)估計(jì)方程（二）所以

對(duì)于

，根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的對(duì)稱性，有

4.4AR模型參數(shù)估計(jì)方程（三）變?yōu)榫仃囆问?/p>

紅色是模型的待求參數(shù)，可降秩，先求有時(shí)已知模型參數(shù)，可以反求自相關(guān)系數(shù)功率譜的表達(dá)式為

FPE準(zhǔn)則（最終預(yù)測(cè)誤差準(zhǔn)則，finalpredictionerror）：下式取最小值A(chǔ)IC準(zhǔn)則（赤池信息準(zhǔn)則，Akaikeinformationcriterion）：下式取最小值4.5AR模型定階方法

5AR譜估計(jì)例子

已知平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)

的自相關(guān)函數(shù)值：現(xiàn)用全極點(diǎn)模型（AR(3)）估計(jì)它的功率譜，已知參數(shù)

，請(qǐng)求出模型的參數(shù)

及

，并寫出功率譜估計(jì)的表達(dá)式6下次課內(nèi)容

專題討論“各種功率譜估計(jì)方法的比較（