第九講

參數(shù)譜估計Z變換簡介濾波器原理簡介隨機信號的線性模型AR模型譜估計

講授內(nèi)容1.1Z變換定義

定義

序列x(n)的Z變換定義為如下級數(shù)其中，z是復變量收斂域

使得Z變換收斂的z值的集合稱為收斂域ROC（regionofconvergence），一般情況下，冪級數(shù)將在一個環(huán)形區(qū)域中收斂，即1.2不同類型序列的Z變換

有限長度序列：僅有有限個采樣數(shù)據(jù)值不為零，即當時，

右邊序列：當時左邊序列：當時雙邊序列：n為任意值時，x(n)均有值。雙邊z變換可以看成一個左邊序列和一個右邊序列的z變換之和

1.3逆Z變換

定義式為計算方法：長除法部分分式法留數(shù)法2.1數(shù)字濾波器定義

數(shù)字濾波器可以看成一個離散時間LTI系統(tǒng)，其輸入輸出的關系可以用一個差分方程來表示：可以取

進行簡化

對上式進行z變換得

表征了濾波器2.2兩類濾波器

考慮濾波器表達式IIR濾波器當時為有理分式，相應的單位脈沖響應序列為無限長序列，稱為無限沖激響應（IIR，infiniteimpulseresponse）濾波器FIR濾波器當

時，

為z的多項式，其對應的單位脈沖響應為有限長序列，這種濾波器稱為有限沖激響應（FIR，finiteimpulseresponse）濾波器2.3濾波器的另一種表示法

濾波器的另一種常用表達式為采用零、極點表示為系統(tǒng)零點為系統(tǒng)極點所以：

FIR濾波器是一個全零點濾波器IIR濾波器是一個零極點濾波器或全極點濾波器2.4濾波器的頻響函數(shù)

只要以

來替代z就可以得到頻率響應函數(shù)即可得：

3最小二乘估計原理

見WORD文檔“最小二乘估計”4.1隨機信號的線性模型ARMA模型：對應于零極點濾波器AR模型：對應于全極點濾波器MA模型：對應于全零點濾波器4.2AR模型參數(shù)估計方程（一）最經(jīng)典的模型參數(shù)估計方程是Yule-Walker方程p階AR模型滿足如下的差分方程

其中，

為實常數(shù)，且

是均值為0，方差為

的平穩(wěn)白噪聲序列

對上式兩邊乘以

，并取期望值，得因為AR(p)為因果系統(tǒng)，所以等式右邊

4.3AR模型參數(shù)估計方程（二）所以

對于

，根據(jù)自相關函數(shù)的對稱性，有

4.4AR模型參數(shù)估計方程（三）變?yōu)榫仃囆问?/p>

紅色是模型的待求參數(shù)，可降秩，先求有時已知模型參數(shù)，可以反求自相關系數(shù)功率譜的表達式為

FPE準則（最終預測誤差準則，finalpredictionerror）：下式取最小值AIC準則（赤池信息準則，Akaikeinformationcriterion）：下式取最小值4.5AR模型定階方法

5AR譜估計例子

已知平穩(wěn)隨機信號

的自相關函數(shù)值：現(xiàn)用全極點模型（AR(3)）估計它的功率譜，已知參數(shù)

，請求出模型的參數(shù)

及

，并寫出功率譜估計的表達式6下次課內(nèi)容

專題討論“各種功率譜估計方法的比較（