專題訓(xùn)練（三）平行四邊形中的動態(tài)問題班別 姓名 （教材P68習(xí)題第13題的變式與應(yīng)用）【原題】（人教版八年級下冊教材第68頁第13題）如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm.

點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度向點D運動；點Q從點C同時出發(fā)，以3cm/s的速針對訓(xùn)練如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC，AD=6,BC=16，點E是BC的中點.點P以每秒1個單位長度的速度從點A出發(fā)，沿AD向點D運動；點Q同時以每秒2個單位長度的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B運動.點P停止運動時，點Q也隨之停止運動.求當(dāng)運動時間t為多少秒時，以點P、Q、E、D為頂點的四邊形是平行四邊形.DABDAB如圖，A,B,C,D為矩形ABCD的四個頂點，AB=25cm,AD=8cm,動點P,Q分別從點AC同時出發(fā)，點P以3cm/s的速度向點B移動，運動到點B為止，點Q以2cm/s的速度向點D移動.P,Q兩點從出發(fā)開始到第幾秒時,PQ〃AD?試問：P,Q兩點從出發(fā)開始到第幾秒時，四邊形PBCQ的面積為84平方厘米.如圖，平行四邊形ABCD中，AC=6,BD=8,點P從點A出發(fā)以每秒1cm的速度沿射線AC移動，點Q從點C出發(fā)以每秒1cm的速度沿射線CA移動.經(jīng)過幾秒，以P,Q,B,D為頂點的四邊形為矩形？⑵若BC丄AC垂足為C,求⑴中矩形邊BQ的長.如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,AB=8cm,AD=12cm,BC=18cm,點P從點A出發(fā)以1cm/s的速度向點D運動；點Q從點C同時出發(fā)，以2cm/s的速度向點B運動，當(dāng)點Q到達(dá)點B時，點P也停止運動，設(shè)點P、Q運動的時間為t秒.⑴作DE丄BC于E,則CD邊的長度為10cm；從運動開始，當(dāng)t取何值時，四邊形PQBA是矩形？在整個運動過程中是否存在t值，使得四邊形PQCD是菱形？若存在，請求出t值；若不存在，請說明理由.APfDB—APfDB—QC5.如圖，已知矩形ABCD,AD=4,CD=10,P是AB上一動點，M、N、E分別是PD、PC、CD的中點．求證：四邊形PMEN是平行四邊形；請直接寫出當(dāng)AP為何值時，四邊形PMEN是菱形；(3)四邊形PMEN有可能是矩形嗎？若有可能，求出AP的.4 PB長；若不可■能，請說明理由.X0DEC參考答案【例】（人教版八年級下冊教材第68頁第13題）參考答案【例】（人教版八年級下冊教材第68頁第13題）如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm.點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度向點D運動；點Q從點C同時出發(fā)，以3cm/s的速14y.D為頂點的四邊形是平行四邊形.【解答】①設(shè)經(jīng)過ts時，四邊形PQCD是平行四邊形,TAP=t，CQ=31，DP=24—t，?°?DP=CQ.?°?24—t=3t.???t=6,即經(jīng)過6s時，四邊形PQCD是平行四邊形，此時PQ〃CD，且PQ=CD.②設(shè)經(jīng)過ts時，PQ=CD，即四邊形PQCD是等腰梯形，VAP=t,BQ=26—31,??t=26—31+2,t=7.綜上所述當(dāng)t=6s或7s時，PQ=CD.【方法歸納】根據(jù)動點運動過程中構(gòu)造的特殊四邊形的性質(zhì)列方程求解針對訓(xùn)練如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,AD=6,BC=16，點E是BC的中點.點P以每秒1個單位長度的速度從點A出發(fā)，沿AD向點D運動；點Q同時以每秒2個單位長度的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B運動.點P停止運動時，點Q也隨之停止運動.求當(dāng)運動時間t為多少秒時，以點P、Q、E、D為頂點的四邊形是平行四邊形.解：由題意可知，AP=t,CQ=21,CE=|bc=8.TAD〃BC,???當(dāng)PD=EQ時，以點P、Q、E、D為頂點的四邊形是平行四邊形.當(dāng)2tV8,即tV4時，點Q在C、E之間，如圖甲.此時，PD=AD—AP=6—t,EQ=CE—CQ=8—21,由6—t=8—2t得t=2.當(dāng)8<21<16，且t<6,即4<t<6時，點Q在B、E之間，如圖乙.此時，PD=AD—AP=6—t,EQ=CQ—CE=2t—8,由6—t=2t—8得七=14???當(dāng)運動時間為2s或可s時，以點P、Q、E、3Z_D

圖甲圖乙如圖，A,B,C,D為矩形ABCD的四個頂點，AB=25cm,AD=8cm,動點P,Q分別從點AC同時出發(fā)，點P以3cm/s的速度向點B移動，運動到點B為止，點Q以2cm/s的速度向點D移動.P,Q兩點從出發(fā)開始到第幾秒時，PQ〃AD?試問：P,Q兩點從出發(fā)開始到第幾秒時，四邊形PBCQ的面積為84平方厘米.解：⑴設(shè)P,Q兩點從出發(fā)開始到第x秒時，PQ〃AD,???四邊形ABCD是平行四邊形，???AB〃CD，即AP〃DQ.?PQ〃AD,???四邊形APQD是平行四邊形.???AP=DQ.???3x=25—2x.解得x=5.答:P,Q兩點從出發(fā)開始到第5秒時，PQ〃AD.(2)設(shè)P,Q兩點從出發(fā)開始到第a秒時，四邊形PBCQ的面積為84平方厘米,?BP=25—3a,CQ=2a,???根據(jù)梯形面積公式得:2(25—3a+2a)?8=84.解得a=4.答：P,Q兩點從出發(fā)開始到第4秒時，四邊形PBCQ的面積為84平方厘米.如圖，平行四邊形ABCD中，AC=6,BD=8,點P從點A出發(fā)以每秒1cm的速度沿射線AC移動，點Q從點C出發(fā)以每秒1cm的速度沿射線CA移動.經(jīng)過幾秒，以P,Q,B,D為頂點的四邊形為矩形?⑵若BC丄AC垂足為C,求⑴中矩形邊BQ的長.解：(1)當(dāng)t=7秒時，四邊形BPDQ為矩形.理由如下：當(dāng)t=7秒時，PA=QC=7,AC=6,???CP=AQ=1.???PQ=BD=8.BD=8,AC=6,??四邊形ABCD為平行四邊形,BD=8,AC=6,A0=C0=3.???B0=D0=4.???0Q=0P=4.???四邊形BPDQ為平形四邊形.PQ=BD=8,???四邊形BPDQ為矩形.由(1)得B0=4,CQ=7,BC丄AC,???ZBCA=90°.BC2+CQ2=BQ2.

如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,AB=8cm,AD=12cm,BC=18cm,點P從點A出發(fā)以1cm/s的速度向點D運動；點Q從點C同時出發(fā)，以2cm/s的速度向點B運動，當(dāng)點Q到達(dá)點B時，點P也停止運動，設(shè)點P、Q運動的時間為t秒.作DE丄BC于E,則CD邊的長度為更cm；從運動開始，當(dāng)t取何值時，四邊形PQRA是矩形？在整個運動過程中是否存在t值，使得四邊形PQCD是菱形？若存在，請求出t值；若不存在，請說明理由.APfDB—APfDB—QC解：⑵如圖1,由題意得：AP=t,DP=12—t,CQ=21,BQ=18—21.要使四邊形PQBA是矩形，已有ZB=90°,AD〃BC即AP〃BP，只需滿足AP=BQ即t=18—21,解得t=6,因此，當(dāng)t=6秒時，四邊形PQBA是矩形.不存在，理由：如圖2,要使四邊形PQCD是平行四邊形，已有AD〃BC即DP〃CQ,只需滿足DP=CQ即12—t=2t,.??t=4時，四邊形PQCD是平行四邊形，但DP=12—t=8H10，即DPHDC,???按已經(jīng)速度運動，四邊形PQCD只能是平行四邊形，但不可能是菱形.D4ADQ0BIS如圖，已知矩形ABCD,AD=4,CD=10,P是AB上一動點，M、N、E分別是PD、PC、CD的中點．(1)求證：四邊形PMEN是平行四邊形;請直接寫出當(dāng)AP為何值時，四邊形PMEN是菱形;四邊形PMEN有可能是矩形嗎？若有可能求出AP的長；若不可能，請說明理由.解：(1)???M、N、E分別是PD、PC、CD的中點,???ME是PC的中位線，NE是PD的中位線.???ME〃PC，EN〃PD.???四邊形PMEN是平行四邊形.⑵當(dāng)AP=5時，AP=BP，在RtAPAD和RtAPBC中，|ZA=ZB,Iad=bc，???△PAD竺△PBC(SAS).???PD=PC.???M、N、E分別是PD、PC、CD的中點,??.ne=pm=2pd，me=pn=￡pc.???PM=ME=EN=PN.???四邊形PMEN是菱形