第十二章第二節(jié)常數(shù)項級數(shù)的審斂法一、正項級數(shù)的審斂法二、任意項級數(shù)的審斂法(一)正項級數(shù)及基本定理(二)常用審斂法一、正項級數(shù)的審斂法(一)正項級數(shù)及其基本定理若則稱為正項級數(shù).即(n=1,2,…),趨于無窮或有極限定義:定理1.

正項級數(shù)收斂證:“”“”證:所以原級數(shù)收斂.例1.定理2.(二)常用審斂法1．比較審斂法

強級數(shù)收斂,弱級數(shù)也收斂;

弱級數(shù)發(fā)散,強級數(shù)也發(fā)散.證:這與已知矛盾.證畢.利用級數(shù)的性質(zhì)1、性質(zhì)3和定理2可證明:解:調(diào)和級數(shù)∴根據(jù)比較審斂法可知，例2.發(fā)散,結(jié)論:由圖可知例如問題：如何使用比較審斂法？(1)如果能把它的(從某項起的)各項適當?shù)姆糯?，使放大后的級?shù)是已知收斂的正項級數(shù)時，那么就(2)如果能把的(從某項起的)各項(保持非負),可判斷是收斂的;使縮小后的級數(shù)是已知發(fā)散的正項級數(shù)時,那么就可判斷是發(fā)散的.適當?shù)乜s小當需要判別一個正項級數(shù)是否收斂時，解:是發(fā)散的.例3.解:例4.解:∴原級數(shù)發(fā)散.(2)∴原級數(shù)收斂．則兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;(2)當

l

=

0時,(3)當

l

=∞時,設(shè)兩正項級數(shù)滿足(1)當0<

l

<∞

時,2.比較審斂法的極限形式定理3.問題:由定理2可知同時收斂或同時發(fā)散;(3)當l=∞時,根據(jù)(2)可知,(1)當0<

l

<∞時,(2)當l=

0時,由定理2

知收斂,若證:

據(jù)極限定義,矛盾.證畢.解:∴由定理3知,例5.解:故級數(shù)收斂.例6.

則極限審斂法：在定理3中取:解:故所給級數(shù)發(fā)散.例7.

解:故所給級數(shù)收斂.例8.

說明：用比較審斂法來判斷正項級數(shù)的斂散性時,比較審斂法雖然有時是很方便的,但使用該方法時需要另外找到一個適當?shù)恼椉墧?shù)作為參考級數(shù).在實踐上,找到一個參考級數(shù),往往不是一件輕而易舉的事.問題：能否不必另外尋找參考級數(shù),而從級數(shù)本身判斷它是否收斂？常用的參考級數(shù)有:等比級數(shù)、p

-級數(shù)、調(diào)和級數(shù).比較審斂法的不便之處:證:定理4.3.比值審斂法(達朗貝爾D’Alembert判別法)設(shè)為正項級數(shù),且則(1)當(2)當時,級數(shù)收斂;或時,級數(shù)發(fā)散;(3)當時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.故原級數(shù)收斂.公比r<1的等比級數(shù)

例如,故原級數(shù)發(fā)散.如何使用比值審斂法判別正項級數(shù)的斂散性？是因子的乘積形式且中含有時,用比值法較方便.則無法判斷級數(shù)的斂散性；一般的,當正項級數(shù)的一般項解:(1)例9.(2)解:例10.比值審斂法失效,改用比較審斂法.定理5.4*.根值審斂法(柯西判別法)如何使用根值審斂法判別正項級數(shù)的斂散性？其內(nèi)含有根值判別法法失效；或是一些因子的乘積，解:(1)∴

級數(shù)收斂.例11.判斷下列級數(shù)的斂散性:∴

級數(shù)收斂.(2)內(nèi)容小結(jié)正項級數(shù)審斂法必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判