第2節(jié)排列與組合最新考綱1.理解排列、組合的概念；2.能利用計數(shù)原理推導排列數(shù)公式、組合數(shù)公式；3.能解決簡單的實際問題.知

識

梳

理1.排列與組合的概念一定的順序名稱定義

排列從n個不同元素中取出m(m≤n)個不同元素按照_____________排成一列組合合成一組2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有____________的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù).(2)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有____________的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù).不同排列不同組合3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)1n！[微點提醒]1.解受條件限制的排列、組合題，通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法).分類時標準應統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復或遺漏.2.對于分配問題，一般先分組，再分配，注意平均分組與不平均分組的區(qū)別，避免重復或遺漏.基

礎

自

測1.判斷下列結論正誤(在括號內打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列.(

)(2)一個組合中取出的元素講究元素的先后順序.(

)答案(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

(5)√2.(選修2－3P18例3改編)從4本不同的課外讀物中，買3本送給3名同學，每人各1本，則不同的送法種數(shù)是(

) A.12 B.24

C.64

D.81答案

B答案2104.(2019·福州調研)6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為(

) A.144 B.120

C.72

D.24答案D5.(一題多解)(2018·全國Ⅰ卷)從2位女生、4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有________種(用數(shù)字作答).答案

166.(2018·浙江卷)從1，3，5，7，9中任取2個數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個數(shù)字，一共可以組成________個沒有重復數(shù)字的四位數(shù)(用數(shù)字作答).答案

1260考點一排列問題【例1】

有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù).(1)選5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體排成一排，女生必須站在一起；(4)全體排成一排，男生互不相鄰；(5)(一題多解)全體排成一排，其中甲不站最左邊，也不站最右邊；(6)(一題多解)全體排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊.規(guī)律方法

排列應用問題的分類與解法(1)對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分析法、元素分析法，在實際進行排列時一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用間接法.(2)對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法.【訓練1】

(2019·新余二模)7人站成兩排隊列，前排3人，后排4人，現(xiàn)將甲、乙、丙三人加入隊列，前排加一人，后排加兩人，其他人保持相對位置不變，則不同的加入方法種數(shù)為(

) A.120 B.240

C.360

D.480解析第一步，從甲、乙、丙三人選一個加到前排，有3種，第二步，前排3人形成了4個空，任選一個空加一人，有4種，第三步，后排4人形成了5個空，任選一個空加一人有5種，此時形成6個空，任選一個空加一人，有6種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理有3×4×5×6＝360種方法.答案C考點二組合問題【例2】

某市工商局對35種商品進行抽樣檢查，已知其中有15種假貨.現(xiàn)從35種商品中選取3種. (1)其中某一種假貨必須在內，不同的取法有多少種？ (2)其中某一種假貨不能在內，不同的取法有多少種？ (3)恰有2種假貨在內，不同的取法有多少種？ (4)至少有2種假貨在內，不同的取法有多少種？ (5)至多有2種假貨在內，不同的取法有多少種？規(guī)律方法

組合問題常有以下兩類題型變化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.(2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解.用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理.【訓練2】(1)(一題多解)某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為(

) A.14 B.24 C.28 D.48 (2)(2019·咸陽二模)若從1，2，3，…，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有(

) A.60種

B.63種

C.65種

D.66種答案(1)A

(2)D考點三分組、分配問題

多維探究角度1整體均分問題【例3－1】

國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點師范大學免費培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應的地區(qū)任教，現(xiàn)有6個免費培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學校去任教，有________種不同的分派方法.答案90角度2部分均分問題【例3－2】

某學校派出5名優(yōu)秀教師去邊遠地區(qū)的三所中學進行教學交流，每所中學至少派一名教師，則不同的分配方法有(

) A.80種

B.90種

C.120種

D.150種答案D角度3不等分問題【例3－3】

A，B，C，D，E，F(xiàn)六人圍坐在一張圓桌上開會，A是會議的中心發(fā)言人，必須坐最北面的椅子，B，C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的坐法有(

) A.24種

B.30種

C.48種

D.60種答案C【訓練3】(1)(2017·全國Ⅱ卷)安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有(

) A.12種

B.18種

C.24種

D.36種 (2)在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎.將這8張獎券分配給4個人，每人2張，不同的獲獎情況有________種(用數(shù)字作答).答案(1)D

(2)60[思維升華]1.對于有附加條件的排列、組合應用題，通常從三個途徑考慮 (1)以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素. (2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置. (3)先不考慮附加條件，計算出排列數(shù)或組合數(shù)，再減去不合要求的排列數(shù)或組合數(shù).2.排列、組合問題的求解方法與技巧 (1)特殊元素優(yōu)先安排；(2)合理分類與準確分步；(3)排列、組合混合問題先選后排；(4)相鄰問題捆綁處理；(5)不相鄰問題插空處理；(6)定序問題倍除法處理；