4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式第1課時(shí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥高斯是偉大的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家.高斯十歲時(shí),有一次老師出了一道題目,老師說(shuō):“現(xiàn)在給大家出道題目,1+2+…+100的和是多少?”過(guò)了兩分鐘,正當(dāng)大家在對(duì)1+2=3,3+3=6,4+6=10…算得不亦樂(lè)乎時(shí),高斯站起來(lái)回答說(shuō):“1+2+3+…+100=5050.”老師問(wèn):“你是如何算出答案的?”高斯回答說(shuō):“因?yàn)?+100=101,2+99=101,…,50+51=101,所以101×50=5050.”這個(gè)故事告訴我們要像數(shù)學(xué)王子高斯一樣善于觀察,敢于思考,從一些簡(jiǎn)單的事物中發(fā)現(xiàn)和尋找出某些規(guī)律性的東西.這個(gè)小故事還告訴我們求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的一種很重要的思想方法——“倒序相加”法.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其推導(dǎo)

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)方法倒序相加法.推導(dǎo)過(guò)程設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)分別為a1,a2,a3,…,an-2,an-1,an,Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an,依等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,得:Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-1)d].①再把項(xiàng)的次序反過(guò)來(lái),Sn又可以寫成:Sn=an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-1)d].②①②兩邊分別相加,得:2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)=n(a1+an),∴Sn=.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥名師點(diǎn)析(1)兩個(gè)公式均為等差數(shù)列的求和公式,一共涉及a1,an,Sn,n,d五個(gè)量.通常已知其中三個(gè),可求其余兩個(gè),而且方法就是解方程(組),這也是等差數(shù)列的基本問(wèn)題形式之一.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微拓展從函數(shù)角度認(rèn)識(shí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:(1)公式的變形(2)從函數(shù)角度認(rèn)識(shí)公式①當(dāng)d≠0時(shí),Sn是項(xiàng)數(shù)n的二次函數(shù),且不含常數(shù)項(xiàng);②當(dāng)d=0時(shí),Sn=na1,Sn不是項(xiàng)數(shù)n的二次函數(shù).(3)結(jié)論及其應(yīng)用已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn+C,若C=0,則數(shù)列{an}為等差數(shù)列;若C≠0,則數(shù)列{an}不是等差數(shù)列.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a3=0,a6+a7=14,則S7=

.解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因?yàn)閍3=0,a6+a7=14,所以答案:14探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用例1(1)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且a1=1,a4=7,則S9=

.

(2)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若S3=3,S6=24,則a9=

.

(3)在等差數(shù)列{an}中,若a1=1,an=-512,Sn=-1022,則公差d=

.

分析:利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列方程進(jìn)行計(jì)算求解.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解析:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則a4=a1+3d=1+3d=7,所以d=2.解得n=4.又由an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,解得d=-171.答案:(1)81

(2)15

(3)-171探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟a1,d,n稱為等差數(shù)列的三個(gè)基本量,an和Sn都可以用這三個(gè)基本量來(lái)表示,五個(gè)量a1,d,n,an,Sn中,可知三求二,即等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式中“知三求二”的問(wèn)題,一般是通過(guò)通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式聯(lián)立方程(組)來(lái)求解.這種方法是解決數(shù)列運(yùn)算的基本方法.在運(yùn)算中要注意等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練1(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和為Sn,已知a2=3,a5=9,則S5等于(

)A.15

B.20

C.25

D.30(2)若等差數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和S5=25,且a2=3,則a7=(

)A.12 B.13 C.14 D.15(3)已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和,若a3=16,S20=20,Sn=110,則n=

.

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:(1)C

(2)B

(3)10或11探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)利用an與Sn的關(guān)系解決問(wèn)題例2(1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=5n-1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.分析:利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式,注意對(duì)首項(xiàng)的檢驗(yàn).解:(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=51-1=4.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=4·5n-1.由于a1=4也適合an=4·5n-1,因此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=4·5n-1(n∈N*).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,求通項(xiàng)公式an的步驟1.當(dāng)n=1時(shí),a1=S1.2.當(dāng)n≥2時(shí),根據(jù)Sn寫出Sn-1,化簡(jiǎn)an=Sn-Sn-1.3.如果a1也滿足當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1的通項(xiàng)公式,那么數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=Sn-Sn-1;如果a1不滿足當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1的通項(xiàng)公式,那么數(shù)列{an}的通探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練2已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-9n,第k項(xiàng)滿足5<ak<8,則k=(

)A.9 B.8 C.7 D.6解析:當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2-9n-(n-1)2+9(n-1)=2n-10.當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=-8也適合,所以an=2n-10.因?yàn)?<ak<8,所以5<2k-10<8,解得7.5<k<9,故k=8.答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)例3已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),前n項(xiàng)和為Sn,且滿足

(1)求證:{an}為等差數(shù)列;(2)求出{an}的通項(xiàng)公式.相減,利用an與Sn的關(guān)系可消去Sn,得到an與an-1的關(guān)系,從而可判斷數(shù)列{an}是不是等差數(shù)列,再根據(jù)a1=S1可求出a1的值,即得{an}的通項(xiàng)公式.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)若an-1=-an-1,則an+an-1=1,而a1=3,所以a2=-2,這與數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)相矛盾;若an-1=an-1,即an-an-1=1,因此{(lán)an}為等差數(shù)列.(2)由(1)知,{an}為等差數(shù)列,且a1=3,公差d=1,所以an=3+(n-1)=n+2,故{an}的通項(xiàng)公式為an=n+2.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟利用an與Sn的關(guān)系式求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.已知an與Sn的關(guān)系式求an時(shí),可根據(jù)已給出的關(guān)系式,令n取n+1或n取n-1,再寫出一個(gè)關(guān)系式,將兩式相減,消去Sn,得到an與an+1或an與an-1的關(guān)系,從而確定數(shù)列{an}是等差數(shù)列或其他數(shù)列,求出其通項(xiàng)公式.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)延伸探究在本例中,若將條件變?yōu)椤皵?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),前n項(xiàng)和為Sn,且滿足8Sn=(an+2)2”,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解:當(dāng)n=1時(shí),8a1=(a1+2)2,解得a1=2.當(dāng)n≥2時(shí),8Sn-1=(an-1+2)2,即(an+an-1)(an-an-1-4)=0.因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),所以an+an-1>0,所以an-an-1-4=0,即an-an-1=4,所以數(shù)列{an}為首項(xiàng)為2,公差為4的等差數(shù)列,故an=2+4(n-1)=4n-2.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)等差數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用例4

某人用分期付款的方式購(gòu)買一件家電,價(jià)格為1150元,購(gòu)買當(dāng)天先付150元,以后每月的這一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率為1%.若交付150元后的一個(gè)月開(kāi)始算分期付款的第一個(gè)月,則分期付款的第10個(gè)月該交付多少錢?全部貸款付清后,買這件家電實(shí)際花費(fèi)多少錢?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解:設(shè)每次交款數(shù)額依次為a1,a2,…,a20,則a1=50+1

000×1%=60,a2=50+(1

000-50)×1%=59.5,…a10=50+(1

000-9×50)×1%=55.5,即第10個(gè)月應(yīng)付款55.5元.由于{an}是以60為首項(xiàng),以-0.5為公差的等差數(shù)列,所以有即全部付清后實(shí)際付款1

105+150=1

255(元).反思感悟等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用的解題策略建立等差數(shù)列的模型時(shí),要根據(jù)題意找準(zhǔn)首項(xiàng)、公差和項(xiàng)數(shù)或者首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練3甲、乙兩物體分別從相距70m的兩處同時(shí)相向運(yùn)動(dòng),甲第1分鐘走2m,以后每分鐘比前1分鐘多走1m,乙每分鐘走5m.(1)甲、乙開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后幾分鐘相遇?(2)如果甲、乙到達(dá)對(duì)方起點(diǎn)后立即返回,甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1m,乙繼續(xù)每分鐘走5m,那么開(kāi)始運(yùn)動(dòng)幾分鐘后第二次相遇?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)整理得n2+13n-140=0.解得n=7,n=-20(舍去).所以第1次相遇是在開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后7分鐘.(2)設(shè)n分鐘后第2次相遇,由題意,整理得n2+13n-420=0.解得n=15,n=-28(舍去).所以第2次相遇是在開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后15分鐘.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)典例已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+2,求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.解:當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2+2-(n-1)2-2=2n-1;當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=12+2=3,不適合上式,方法點(diǎn)睛已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式Sn,求an時(shí)應(yīng)分三步.第一步,利用a1=S1求a1.第二步,當(dāng)n≥2時(shí),求an=Sn-Sn-1.第三步,檢驗(yàn)a1是否適合當(dāng)n≥2時(shí)得到的an.若適合,則an即為所求;若不適合,將an用分段函數(shù)表示.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)1.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,公差d=-2,若S10=S11,則a1=(

)A.18 B.20 C.22 D.24答案:B2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=-n2+3n,若ak+1=-16,則k的值等于(

)A.9 B.8 C.7 D.6解析:當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=-n2+3n+(n-1)2-3(n-1)=-2n+4.又a1=S1=2也適合上式,所以an=-2n+4(n∈N*),由ak+1=-16,得-2(k+1)+4=-16,解得k=9.答案:A探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)3.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a6=S3=12,則{an}的通項(xiàng)an=