3.2.1第二課時(shí)函數(shù)的最大（?。┲?23利用圖象求函數(shù)的最值利用單調(diào)性求函數(shù)的最值二次函數(shù)的最值4最值的實(shí)際應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)核心素養(yǎng)：借助函數(shù)圖象，會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的最大值、最小值，理解它們的作用和意義.通過(guò)圖象經(jīng)歷函數(shù)最值的抽象過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).函數(shù)的最大值與最小值知識(shí)梳理

最大值最小值條件一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：?x∈I，都有f(x)____

Mf(x)____

M?x0∈I，使得___________結(jié)論稱M是函數(shù)y＝f(x)的最大值稱M是函數(shù)y＝f(x)的最小值幾何意義f(x)圖象上最高點(diǎn)的________f(x)圖象上最低點(diǎn)的________≤f(x0)＝M縱坐標(biāo)縱坐標(biāo)≥

總結(jié)歸納解

作出f(x)的圖象如圖：利用圖象求函數(shù)的最值用圖象法求最值的三個(gè)步驟總結(jié)提升2【練】函數(shù)y＝－3x2＋2在區(qū)間[－1，2]上的最大值為_(kāi)_______.解析

函數(shù)y＝－3x2＋2的對(duì)稱軸為x＝0，又0∈[－1，2]，∴f(x)max＝f(0)＝2.利用圖象求函數(shù)的最值【練】函數(shù)f(x)＝|x|，x∈[－1，3]，則f(x)的最大值為_(kāi)_______.

解析根據(jù)圖象可知，f(x)max＝3.答案3利用圖象求函數(shù)的最值解析

(1)作出函數(shù)f(x)的圖象(如圖(1)).由圖象可知，當(dāng)x＝±1時(shí)，f(x)取最大值f(±1)＝1.當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取最小值f(0)＝0，故f(x)的最大值為1，最小值為0.答案1,0利用圖象求函數(shù)的最值(2)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x這兩個(gè)函數(shù)中的較小者，則f(x)的最大值為(

)A.2 B.1C.－1 D.無(wú)最大值解析

在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)的圖象(如圖(2)中實(shí)線部分)，則f(x)max＝f(1)＝1，故選B.答案B圖(1)圖(2)利用圖象求函數(shù)的最值【例】求f(x)在[1，4]上的最大值及最小值.解

由(1)可知f(x)在[1，4]上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(1)＝2，利用單調(diào)性求函數(shù)的最值1.利用單調(diào)性求最值：首先判斷函數(shù)的單調(diào)性；然后利用單調(diào)性寫(xiě)出最值.2.函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系：(1)若函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上是減函數(shù)，則f(x)在[a，b]上的最大值為f(a)，最小值為f(b)；(2)若函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則f(x)在[a，b]上的最大值為f(b)，最小值為f(a).總結(jié)提升任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，所以f(x1)<f(x2)，即函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù).利用單調(diào)性求函數(shù)的最值【練】函數(shù)f(x)在[－2，2]上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最小值、最大值分別是(

)A.f(－2)，0

B.0，2C.f(－2)，2 D.f(2)，2解析

由圖象可知，此函數(shù)的最小值是f(－2)，最大值是2.答案C利用單調(diào)性求函數(shù)的最值(2)若對(duì)任意的x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.所以x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立.記y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，所以y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，故當(dāng)x＝1時(shí)，y取得最小值，最小值為3＋a.所以當(dāng)3＋a>0，即a>－3時(shí)，f(x)>0恒成立，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－3，＋∞).利用單調(diào)性求函數(shù)的最值微專題1不含參數(shù)的二次函數(shù)的最值【例】函數(shù)f(x)＝x2－4x＋7(0≤x≤6)的最大值為_(kāi)_______，最小值為_(kāi)_______.解析

∵f(x)＝x2－4x＋7＝(x－2)2＋3，∴此二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝2，∴原函數(shù)的最大值為f(6)＝19，最小值為f(2)＝3.答案19，3二次函數(shù)的最值微專題2含參數(shù)的二次函數(shù)的最值【例】已知函數(shù)f(x)＝x2－ax＋1，(1)求f(x)在[0，1]上的最大值；所以區(qū)間[0，1]的哪一個(gè)端點(diǎn)離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，則在哪個(gè)端點(diǎn)取到最大值，二次函數(shù)的最值(2)當(dāng)a＝1時(shí)，求f(x)在閉區(qū)間[t，t＋1](t∈R)上的最小值.∴f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋t＋1；二次函數(shù)的最值1.含參數(shù)的二次函數(shù)最值問(wèn)題的解法解決含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問(wèn)題，首先將二次函數(shù)化為y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符號(hào)確定拋物線的開(kāi)口方向，依對(duì)稱軸x＝－h(huán)得出頂點(diǎn)的位置，再根據(jù)x的定義區(qū)間結(jié)合大致圖象確定最大或最小值.2.對(duì)于含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問(wèn)題，一般有如下幾種類(lèi)型：(1)區(qū)間固定，對(duì)稱軸變動(dòng)(含參數(shù))，求最值；(2)對(duì)稱軸固定，區(qū)間變動(dòng)(含參數(shù))，求最值；(3)區(qū)間固定，最值也固定，對(duì)稱軸變動(dòng)，求參數(shù).通常都是根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)和對(duì)稱軸的相對(duì)位置進(jìn)行分類(lèi)討論.總結(jié)提升【練】

已知二次函數(shù)f(x)＝x2－2x＋3. (1)當(dāng)x∈[－2，0]時(shí)，求f(x)的最值； (2)當(dāng)x∈[－2，3]時(shí)，求f(x)的最值；解

f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其對(duì)稱軸為x＝1，開(kāi)口向上.(1)當(dāng)x∈[－2，0]時(shí)，f(x)在[－2，0]上是減函數(shù)，故當(dāng)x＝－2時(shí)，f(x)有最大值f(－2)＝11；當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)有最小值f(0)＝3.(2)當(dāng)x∈[－2，3]時(shí)，f(x)在[－2，3]上先遞減后遞增，故當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)有最小值f(1)＝2.又|－2－1|>|3－1|，∴f(x)的最大值為f(－2)＝11.二次函數(shù)的最值(3)當(dāng)x∈[t，t＋1]時(shí)，求f(x)的最小值g(t).解

①當(dāng)t>1時(shí)，f(x)在[t，t＋1]上是增函數(shù)，所以當(dāng)x＝t時(shí)，f(x)取得最小值，此時(shí)g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.②當(dāng)t≤1≤t＋1，即0≤t≤1時(shí)，f(x)在[t，t＋1]上先遞減后遞增，故當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得最小值，此時(shí)g(t)＝f(1)＝2.③當(dāng)t＋1<1，即t<0時(shí)，f(x)在[t，t＋1]上是減函數(shù)，所以當(dāng)x＝t＋1時(shí)，f(x)取得最小值，此時(shí)g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2，二次函數(shù)的最值【練】(多選題)若函數(shù)y＝x2－4x－4的定義域?yàn)閇0，m]，值域?yàn)閇－8，－4]，則實(shí)數(shù)m的值可能是(

) A.2 B.3 C.4 D.5

解析

函數(shù)y＝x2－4x－4的圖象關(guān)于x＝2對(duì)稱，且f(2)＝－8，f(0)＝f(4)＝－4，

如圖，y＝x2－4x－4在(－∞，2)上單調(diào)遞減，(2，＋∞)上單調(diào)遞增，

由圖可知，m∈[2，4]，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2，4]，故選ABC.答案ABC二次函數(shù)的最值【練】已知二次函數(shù)f(x)的最小值為1，且f(0)＝f(2)＝3. (1)求f(x)的解析式； (2)若f(x)在區(qū)間[2a，a＋1]上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；解

(1)由已知，設(shè)f(x)＝a(x－1)2＋1(a>0)，由f(0)＝3，得a＝2，故f(x)＝2x2－4x＋3.二次函數(shù)的最值【練】在區(qū)間[－1，1]上，y＝f(x)的圖象恒在y＝2x＋2m＋1的圖象上方，

試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍.解

由已知，即2x2－4x＋3>2x＋2m＋1在[－1，1]上恒成立，化簡(jiǎn)，得x2－3x＋1－m>0.設(shè)g(x)＝x2－3x＋1－m，則只要g(x)min>0，因?yàn)間(x)在區(qū)間[－1，1]上單調(diào)遞減，所以g(x)min＝g(1)＝－1－m，即－1－m>0，解得：m<－1，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，－1).二次函數(shù)的最值二次函數(shù)的最值(2)當(dāng)a∈(1，6)時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值M(a).解

因?yàn)閍∈(1，6)，二次函數(shù)的最值二次函數(shù)的最值最值的實(shí)際應(yīng)用(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？(總收益＝總成本＋利潤(rùn))∴當(dāng)x＝300時(shí)，f(x)max＝25000，當(dāng)x>400時(shí)，f(x)＝60000－100x是減函數(shù)，f(x)<60000－100×400<25000.∴當(dāng)x＝300時(shí)

，f(x)max＝25000.即每月生產(chǎn)300臺(tái)儀器時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為25000元.最值的實(shí)際應(yīng)用對(duì)于實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，首先要審清題意，確定自變量和因變量的條件關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，列出函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而分析函數(shù)的性質(zhì)，從而解決問(wèn)題.同時(shí)要注意自變量的取值范圍.總結(jié)提升最值的實(shí)際應(yīng)用(2)試問(wèn)如何安排甲、乙兩座城市的投資，才能使公司總收益最大？最值的實(shí)際應(yīng)用最值的實(shí)際應(yīng)用

求函數(shù)最值的常用方法與技巧(1)圖象法求函數(shù)最值.①畫(huà)出函數(shù)y＝f(x)的圖象；②觀察圖象，找出圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)；③寫(xiě)出最值，最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)的最大值，最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)的最小值.(2)運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性求最值是求函數(shù)最值的常用方法，特別是當(dāng)函數(shù)圖象不易作出時(shí)，單調(diào)性幾乎成為首選方法.(3)①注意對(duì)問(wèn)題中求最值的區(qū)間與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間之間的關(guān)系進(jìn)行辨析；②注意對(duì)問(wèn)題中求最值的區(qū)間的端點(diǎn)值的取舍.