正弦定理與余弦定理的應用教學設計教學目標1．能夠運用正弦定理．余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題．2．通過將實際問題建立數學模型，使學生充分認識到建立數學模型的重要性，進行測量，掌握數學術語及數學作圖方法，體會數學的嚴謹性．教學重點分析測量問題的實際情景，從而找到測量距離的方法．教學難點實際問題向數學問題轉化思路的確定，即根據題意建立數學模型，畫出示意圖．教學課時第一課時教學過程：課題導入在測量工作中，經常會遇到不方便直接測量的情形．例如，如圖所示故宮角樓的高度，因為頂端和底部都不便到達，所以不能直接測量．假設給你米尺和測量角度的工具，你能在故宮角樓對面的岸邊得出角樓的高度嗎？如果能，寫出你的方案，并給出有關的計算方法；如果不能，說明理由．【設計思路】“情境與問題”以故宮角樓的高度測量為背景，引人本小節(jié)的學習內容，有利于學生了解歷史文化，增強學生的民族自豪感．使學生感受到生活中處處有數學．教材引入先給出實際問題，因為角樓頂端和底端都不方便到達，所以高度不能直接測量．然后給出米尺和測量角度的工具，讓學生自己設計測量方案．在這個過程中，教師要引導學生把實際圖形轉化為數學圖形．考慮到若一開始就求解“情境與問題”中A，B

不可到達的模型，對于學生可能有困難，不妨先讓學生求解

A，B

兩點可到達時的數學模型，再進一步變式為

A，B

兩點不可到達時的數學模型．講授新課上圖中角樓的高度問題可以轉化為：用米尺與測量角度的儀器，怎樣得到不便到達的兩點之間的距離？如圖（1）所示，設線段

AB

表示不便到達的兩點之間的距離，在能到達的地方選定位置

C

進行測量．用測量角度的儀器可以測量出∠ACB

的大小，但是因為點

A，B

都不便到達，所以∠ABC

的3條邊都無法用米尺測量．（2）如圖（2）所示，在可到達的地方再選定一點

D，并使得

CD

的長

m

能用米尺測量．用測量角度的儀器測出∠BCD=β，∠BDC=γ，∠ACD=θ，∠ADC

=φ．然后，利用α，β，γ，θ，φ 以及m即可求出AB的長．首先，在△BCD中，因為∠CBD=-β-γ，所以，由正弦定理可得因此同理，從△ACD可得，最后在△ABC中，根據AC，BC，α，利用余弦定理就可以求出AB的長．教材中給出的方法可以認為是從

C

點橫著走一段距離到達

D

點，思考：還有其他方法求出建筑的高度嗎？若有，請設計另外一種方法．下面是提供一種參考方法：如右圖所示，沿著BC

方向走一段距離到達

D點，用米尺測量出CD的長度為m．用測量角度的儀器測量出∠ACB=α，∠ADC=β．在△ADC中，∠CAD=

α-β，由正弦定理得因此，在Rt△ABC中可得三、例題講授例1：在200m高的山頂A處，測得山下一塔頂B與塔底C的俯角分別是30°，60°，試求此塔的高度（測量儀器的高度忽略不計）．解析：在Rt△OAC中，OA=200，∠OAC=30°，則OC=OA·tan∠OAC=200×tan30°=在Rt△ABD中，AD=OC=∠BAD=30°,則BD=AD·tan∠BAD=×tan30°=所以BC=CD-BD=OA-BD=200-=所以，此塔的高度為米.例2：一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側遠處一山頂D在西偏北的方向上，行駛5km后到達B處，測得此山頂在西偏北25°的方向上，仰角為8°，求此山的高度CD．（tan8°≈，長度精確到m）解析：由正弦定理可得：所以在故山的高度約為1047米．【設計意圖】在前面經歷應用正弦定理、余弦定理解決實際問題——建筑物的高度之后，通過例1——一個豎直平面上的高度、例2——立體中的高度，逐步加深培養(yǎng)學生利用數學知識解決實際問題的能力，增強學生利用數學解決實際問題的信心．課堂總結1．高度測量問題有以下兩個關注點．（1）空間向平面的轉化．高度測量問題往往是空間中的問題，為了方便觀察，減小誤差，需要將空間問題轉化為平面問題．（2）解直角三角形與解斜三角形結合，全面分析所有三角形，仔細規(guī)劃解題思路．