§2.7二次函數(shù)、冪函數(shù)

考向瞭望?把脈高考§2.7二次函數(shù)

、冪函數(shù)考向瞭望?把脈高考考點(diǎn)探究?挑戰(zhàn)高考考向瞭望?把脈高考雙基研習(xí)?面對(duì)高考雙基研習(xí)?面對(duì)高考基礎(chǔ)梳理1．二次函數(shù)的三種表示形式(1)一般式：________________________(2)頂點(diǎn)式：若二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(k，h)，則其解析式為f(x)＝____________________(3)兩根式：若二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,0)，(x2,0)，則其解析式為f(x)＝_______________________f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．a(chǎn)(x－k)2＋h(a≠0)．a(chǎn)(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)圖像定義域______________RR單調(diào)遞增奇偶性當(dāng)b＝0時(shí)為__________，當(dāng)b≠0時(shí)為非奇非偶函數(shù)對(duì)稱性圖像關(guān)于直線x＝__________

成軸對(duì)稱圖形偶函數(shù)思考感悟二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中的a，b，c對(duì)其圖像的性質(zhì)有何作用？提示：a決定開口方向，a與b決定對(duì)稱軸位置，c決定圖像與y軸的交點(diǎn)位置，a，b，c決定圖像的頂點(diǎn)．3．簡(jiǎn)單的冪函數(shù)函數(shù)__________叫作冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．y＝xα課前熱身1．若二次函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，則f(x)的表達(dá)式為(

)A．f(x)＝－x2－x－1

B．f(x)＝－x2＋x＋1C．f(x)＝x2－x－1D．f(x)＝x2－x＋1答案：D2．若函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間(－∞，4]上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A．a(chǎn)≥3 B．a(chǎn)≤－3C．a(chǎn)＜5 D．a(chǎn)≥－3答案：B3．給出命題：若函數(shù)y＝f(x)是冪函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖像不過第四象限．在它的逆命題、否命題、逆否命題三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是(

)A．3 B．2C．1 D．0答案：C4．(教材習(xí)題題改編)將二次函函數(shù)y＝－2x2的圖像平平行移動(dòng)動(dòng)，頂點(diǎn)點(diǎn)移到(3,2)，則二次次函數(shù)解解析式為為____________．答案：y＝－2x2＋12x－16答案：4考點(diǎn)探究?挑戰(zhàn)高考考點(diǎn)突破考點(diǎn)一二次函數(shù)的解析式問題利用已知知條件求求二次函函數(shù)解析析式，常常用的方方法是待待定系數(shù)數(shù)法，但但可根據(jù)據(jù)不同的的條件選選用適當(dāng)當(dāng)形式求求f(x)解析式．．(1)已知三個(gè)個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)時(shí)，宜宜用一般般式；(2)已知拋物物線的頂頂點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)與對(duì)稱稱軸有關(guān)關(guān)或與最最大(小)值有關(guān)時(shí)時(shí)，常使使用頂點(diǎn)點(diǎn)式；(3)若已知拋拋物線與與x軸有兩個(gè)個(gè)交點(diǎn)，，且橫軸軸坐標(biāo)已已知時(shí)，，選用兩兩根式求求f(x)更方便．．例1【名師點(diǎn)評(píng)評(píng)】一般式在在任何題題目中都都適用，，其缺點(diǎn)點(diǎn)是設(shè)的的字母較較多，容容易引起起混亂．．頂點(diǎn)式式一般需需要先知知道二次次函數(shù)圖圖像的頂頂點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)，而兩兩根式則則需要先先知道圖圖像與x，y軸的交點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)．．在解題題時(shí)，遵遵循的原原則是出出現(xiàn)字母母越少越越好，但但不管用用什么方方法求解解，都需需要三個(gè)個(gè)獨(dú)立的的條件．．考點(diǎn)二冪函數(shù)冪函數(shù)是是指形如如y＝xα(α∈R)的函數(shù)，，它的形形式非常常嚴(yán)格，，必須完完全具備備這種形形式的函函數(shù)才是是冪函數(shù)數(shù)．冪函函數(shù)的圖圖像和性性質(zhì)與冪冪指數(shù)α有關(guān)，當(dāng)當(dāng)α>0時(shí)，圖像像過原點(diǎn)點(diǎn)，且在在[0，＋∞)上為增函函數(shù)，當(dāng)當(dāng)α<0時(shí)，圖像像不過原原點(diǎn)，且且在(0，＋∞)上為減函函數(shù)．例2【思路點(diǎn)撥撥】(1)利用冪函函數(shù)的性性質(zhì)對(duì)M進(jìn)行求解解．(2)將f(x)代入F(x)后利用奇奇偶性的的定義判判斷．【解】(1)∵f(x)是偶函數(shù)數(shù)，∴m2－2m－3是偶數(shù)．．又在(0，＋∞)上是減函函數(shù)，∴∴m2－2m－3＜0，即－1＜m＜3.∵m∈Z，∴m＝0,1,2.當(dāng)m＝0時(shí)，m2－2m－3＝－3不是偶數(shù)數(shù)，舍去去；當(dāng)m＝1時(shí)，m2－2m－3＝－4為偶數(shù)，，符合題題意；當(dāng)m＝2時(shí)，m2－2m－3＝－3不是偶數(shù)數(shù)，舍去去．∴m＝1，故f(x)＝x－4.當(dāng)a≠0，b≠0時(shí)，F(xiàn)(x)為非奇非非偶函數(shù)數(shù)；當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，F(xiàn)(x)為奇函數(shù)數(shù)；當(dāng)a≠0，b＝0時(shí)，F(xiàn)(x)為偶函數(shù)數(shù)；當(dāng)a＝0，b＝0時(shí)，F(xiàn)(x)既是奇函函數(shù)又是是偶函數(shù)數(shù)．【失誤點(diǎn)評(píng)評(píng)】本題易忽忽視m∈Z而出現(xiàn)無無法求出出f(x)的解析式式的情況況．分別作出出它們的的圖像如如圖所示示，由圖圖像可知知，當(dāng)x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)時(shí)，f(x)＞g(x)；當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)＝g(x)；當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)＜g(x)．考點(diǎn)三二次函數(shù)的最值問題二次函數(shù)數(shù)在閉區(qū)區(qū)間上的的最大值值和最小小值只能能在區(qū)間間端點(diǎn)或或二次函函數(shù)圖像像的頂點(diǎn)點(diǎn)處取得得．因此此，求二二次函數(shù)數(shù)的最值值必須認(rèn)認(rèn)清定義義域區(qū)間間與對(duì)稱稱軸的相相對(duì)位置置以及拋拋物線的的開口方方向，然然后借助助于二次次函數(shù)的的圖像或或性質(zhì)求求解．顯顯然，定定義域、、對(duì)稱軸軸及二次次項(xiàng)系數(shù)數(shù)是求二二次函數(shù)數(shù)最值的的三要素素．函數(shù)f(x)＝x2－4x－4在閉區(qū)間[t，t＋1](t∈R)上的最小值值記為g(t)．(1)試寫出g(t)的函數(shù)表達(dá)達(dá)式；(2)作g(t)的圖像并寫寫出g(t)的最小值．．【思路點(diǎn)撥】所求二次函函數(shù)解析式式固定、區(qū)區(qū)間變動(dòng)，，可考慮區(qū)區(qū)間在變動(dòng)動(dòng)過程中二二次函數(shù)的的單調(diào)性，，從而利用用二次函數(shù)數(shù)的單調(diào)性性求函數(shù)在在區(qū)間上的的最值．例3【解】(1)f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8.當(dāng)t>2時(shí)，f(x)在[t，t＋1]上是是增增函函數(shù)數(shù)，，∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4；當(dāng)t≤2≤≤t＋1，即即1≤≤t≤2時(shí)，，g(t)＝f(2)＝－－8；當(dāng)t＋1<2，即即t<1時(shí)，，f(x)在[t，t＋1]上是是減減函函數(shù)數(shù)，，∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.互動(dòng)動(dòng)探探究究2“已知知函函數(shù)數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋2，求求f(x)在[－5,5]上的的最最大大值值”，如如何何解解答答？？解：：f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]，對(duì)對(duì)稱稱軸軸x＝－－a.(1)當(dāng)－－a<－5，即即a>5時(shí)，，函函數(shù)數(shù)f(x)在[－5,5]上單單調(diào)調(diào)遞遞增增，，如如圖圖1，故故f(x)max＝f(5)＝52＋2a×5＋2＝27＋10a.(2)當(dāng)－－5≤－a<0，即即0<a≤5時(shí)，，如如圖圖2，故f(x)max＝f(5)＝52＋2a×5＋2＝27＋10a.(3)當(dāng)0≤－a≤5，即即－－5≤a≤0時(shí)，，如如圖圖3，故f(x)max＝f(－5)＝(－5)2＋2a×(－5)＋2＝27－10a.(4)當(dāng)－－a>5，即即a<－5時(shí)，，如如圖圖4，f(x)max＝f(－5)＝27－10a.方法感悟方法法技技巧巧1．二二次次函函數(shù)數(shù)的的解解析析式式有有三三種種形形式式：：一一般般式式、、頂頂點(diǎn)點(diǎn)式式和和兩兩根根式式．．根根據(jù)據(jù)已已知知條條件件靈靈活活選選用用．．(如例例1)2．二二次次函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)性性只只與與對(duì)對(duì)稱稱軸軸和和開開口口方方向向有有關(guān)關(guān)系系，，因因此此單單調(diào)調(diào)性性的的判判斷斷通通常常用用數(shù)數(shù)形形結(jié)結(jié)合合法法來來判判斷斷．．(如例例3)3．冪冪函函數(shù)數(shù)y＝xα(α∈R)，其其中中α為常常數(shù)數(shù)，，其其本本質(zhì)質(zhì)特特征征是是以以冪冪的的底底x為自自變變量量，，指指數(shù)數(shù)α為常常數(shù)數(shù)，，這這是是判判斷斷一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)是是否否是是冪冪函函數(shù)數(shù)的的重重要要依依據(jù)據(jù)和和唯唯一一標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)．．應(yīng)當(dāng)注意并不不是任意的一一次函數(shù)、二二次函數(shù)都是是冪函數(shù)，如如y＝x＋1，y＝x2－2x等都不是冪函函數(shù)．(如例2)4．在(0,1)上，冪函數(shù)中中指數(shù)愈大，，函數(shù)圖像愈愈靠近x軸(簡(jiǎn)記為“指大圖低”)，在(1，＋∞)上，冪函數(shù)中中指數(shù)越大，，函數(shù)圖像越越遠(yuǎn)離x軸．5．求二次函數(shù)數(shù)在給定區(qū)間間上的最值(值域)，其關(guān)鍵是判判斷二次函數(shù)數(shù)圖像頂點(diǎn)的的橫坐標(biāo)(或?qū)ΨQ軸)與所給區(qū)間的的關(guān)系，然后后結(jié)合二次函函數(shù)的圖像，，利用數(shù)形結(jié)結(jié)合的思想來來解決問題．．(如例3)失誤防范1．冪函數(shù)的圖圖像一定會(huì)出出現(xiàn)在第一象象限內(nèi)，一定定不會(huì)出現(xiàn)在在第四象限內(nèi)內(nèi)，至于是否否出現(xiàn)在第二二、三象限內(nèi)內(nèi)，要看函數(shù)數(shù)的奇偶性；；冪函數(shù)的圖圖像最多只能能同時(shí)出現(xiàn)在在兩個(gè)象限內(nèi)內(nèi)；如果冪函函數(shù)圖像與坐坐標(biāo)軸相交，，則交點(diǎn)一定定是原點(diǎn)．2．冪函函數(shù)的的定義義域的的求法法可分分5種情況況：①α為零；；②α為正整整數(shù)；；③α為負(fù)整整數(shù)；；④α為正分分?jǐn)?shù)；；⑤α為負(fù)分分?jǐn)?shù)．．3．作冪冪函數(shù)數(shù)的圖圖像要要聯(lián)系系函數(shù)數(shù)的定定義域域、值值域、、單調(diào)調(diào)性、、奇偶偶性等等，只只要作作出冪冪函數(shù)數(shù)在第第一象象限內(nèi)內(nèi)的圖圖像，，然后后根據(jù)據(jù)它的的奇偶偶性就就可作作出冪冪函數(shù)數(shù)在定定義域域內(nèi)完完整的的圖像像．4．利用用冪函函數(shù)的的圖像像和性性質(zhì)可可處理理比較較大小小、判判斷復(fù)復(fù)合函函數(shù)的的單調(diào)調(diào)性及及在實(shí)實(shí)際問問題中中的應(yīng)應(yīng)用等等類型型．進(jìn)進(jìn)一步步培養(yǎng)養(yǎng)學(xué)生生的數(shù)數(shù)形結(jié)結(jié)合、、分類類討論論等數(shù)數(shù)學(xué)思思想和和方法法．考情分析考向瞭望?把脈高考本節(jié)主主要考考查二二次函函數(shù)圖圖像的的應(yīng)用用、二二次函函數(shù)的的單調(diào)調(diào)區(qū)間間、二二次函函數(shù)在在給定定區(qū)間間上的的最值值以及及與此此有關(guān)關(guān)的參參數(shù)問問題、、冪函函數(shù)的的圖像像及性性質(zhì)等等．其其中二二次函函數(shù)圖圖像的的應(yīng)用用與其其最值值問題題是高高考的的熱點(diǎn)點(diǎn)，題題型多多以小小題或或大題題中關(guān)關(guān)鍵的的一步步的形形式出出現(xiàn)．．預(yù)測(cè)在在2012年高考考中以以二次次函數(shù)數(shù)為命命題落落腳點(diǎn)點(diǎn)的題題目仍仍將是是一個(gè)個(gè)熱點(diǎn)點(diǎn)，重重點(diǎn)考考查數(shù)數(shù)形結(jié)結(jié)合與與等價(jià)價(jià)轉(zhuǎn)化化兩種種數(shù)學(xué)學(xué)思想想．真題透析例【答案】C【名師點(diǎn)點(diǎn)評(píng)】(1)本題易易出現(xiàn)現(xiàn)以下下失誤誤：①①解題題方向向不明明確，，簡(jiǎn)單單問題題復(fù)雜雜化，，如將將a換底為為以10為底的的對(duì)數(shù)數(shù)；②②比較較大小小時(shí)不不會(huì)尋尋找合合適的的“中間量量”．(2)這類題題目各各版本本的課課本中中都有有出現(xiàn)現(xiàn)，如如北師師版第第126、127頁均有有，只只是考考題對(duì)對(duì)其作作了變變化，，使得得考題題增加加了能能力的的成份份且綜綜合性性更強(qiáng)強(qiáng)．(3)比較兩兩個(gè)冪冪值和和兩個(gè)個(gè)對(duì)數(shù)數(shù)值大大小的的方法法：①若是兩兩個(gè)冪冪值的的大小小的比比較，，則首首先分分清底底數(shù)相相同還還是指指數(shù)相相同，，如果果底數(shù)數(shù)相同同，可可以利利用指指數(shù)函函數(shù)的的單調(diào)調(diào)性；；如果果指數(shù)數(shù)相同同，可可以轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為為底數(shù)數(shù)相同同，也也可以以借助助圖像像；如如果底底數(shù)不不同，，指數(shù)數(shù)也不不同，，就要要利用用“中間間量量”進(jìn)行行比比較較．．②若是是兩兩個(gè)個(gè)對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)值值的的大大小小比比較較，，如如果果底底數(shù)數(shù)相相同同，，可可以以利利用用對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)函函