一、力矩的功力對(duì)剛體做的功是各個(gè)力對(duì)各相應(yīng)質(zhì)元做功的總和。內(nèi)力、垂直轉(zhuǎn)動(dòng)平面的力均不做功?！?-3定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功能關(guān)系因?yàn)閹讉€(gè)外力對(duì)物體做功，則合外力做功之和為功二、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能第

i個(gè)質(zhì)量元的動(dòng)能為整個(gè)剛體的動(dòng)能為剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理：合外力矩對(duì)剛體作的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。A內(nèi)=0以剛體和地球?yàn)橄到y(tǒng)，取地面為零勢(shì)能參考點(diǎn)。剛體的重力勢(shì)能應(yīng)等于質(zhì)量集中于質(zhì)心的重力勢(shì)能。結(jié)論：剛體的重力勢(shì)能

等于各質(zhì)量元重力勢(shì)能之合。剛體的重力勢(shì)能四、剛體的重力勢(shì)能重力矩的元功為推導(dǎo)：重力矩的功。例1

一質(zhì)量為M，半徑R的圓盤，盤上繞有細(xì)繩，一端掛有質(zhì)量為m的物體。問物體由靜止下落高度h時(shí)，其速度為多大？解：hmMm解得：而解:先對(duì)細(xì)棒OA所受的力作一分析；重力作用在棒的中心點(diǎn)C，方向豎直向下；軸和棒之間沒有摩擦力，軸對(duì)棒作用的支承力垂直于棒和軸的接觸面且通過O點(diǎn)，在棒的下擺過程中，此力的方向和大小是隨時(shí)改變的。例2一根質(zhì)量為m、長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒OA(如圖)，可繞通過其一端的光滑軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，今使棒從水平位置開始自由下擺，求細(xì)棒擺到豎直位置時(shí)其中點(diǎn)C和端點(diǎn)A的速度。GAAO在使棒從水平位置下擺到豎直位置過程中，重力矩所作的功是應(yīng)該指出：重力矩作的功可用重力勢(shì)能的差值來表示，也可用重力作的功來表示。由此得按定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理代入上式得因所以細(xì)棒在豎直位置時(shí)，端點(diǎn)A和中心點(diǎn)C的速度分別為一、剛體的角動(dòng)量圖為以角速度繞定軸Oz轉(zhuǎn)動(dòng)的一根均勻細(xì)棒。把細(xì)棒分成許多質(zhì)點(diǎn)，其中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為。當(dāng)細(xì)棒以轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)繞軸的半徑為。它相對(duì)于O點(diǎn)的位矢為。§3-4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量定理及其守恒定律因，所以的大小為方向如圖所示。則對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量為：剛體對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量，等于各個(gè)質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的矢量和。對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，我們感興趣的只是對(duì)沿軸的分量，叫做剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量。而這個(gè)分量實(shí)際上就是各質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量沿軸的分量之和。從圖中可以看出：矢量式：

剛體對(duì)某定軸的角動(dòng)量等于剛體對(duì)此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積。因此二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理：即單個(gè)剛體兩邊積分得——角動(dòng)量(動(dòng)量矩)定理則該系統(tǒng)對(duì)該軸的角動(dòng)量為：由幾個(gè)物體組成的系統(tǒng)，如果它們對(duì)同一給定軸的角動(dòng)量分別為、、…，物體系統(tǒng)對(duì)于該系統(tǒng)有兩邊積分得或

若剛體所受合外力矩為零，則剛體的角動(dòng)量保持不變?！?jiǎng)傮w的角動(dòng)量守恒定律三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律剛體角動(dòng)量守恒的幾種情況：(對(duì)同一轉(zhuǎn)軸)角動(dòng)量守恒條件：M合外z=0

F合外z=0M合外z=0？FFF.注意：

M合外z=0F合外z=0？例1一個(gè)質(zhì)量為M，半徑為R的水平轉(zhuǎn)臺(tái)(可看作勻質(zhì)圓盤)可繞通過中心的豎直光滑軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，一個(gè)質(zhì)量為m的人站在轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣。人和轉(zhuǎn)臺(tái)最初相對(duì)地面靜止。求當(dāng)人在轉(zhuǎn)臺(tái)上沿邊緣走一周時(shí)，人和轉(zhuǎn)臺(tái)相對(duì)地面各轉(zhuǎn)過的角度為多少？

即標(biāo)量式即令代入(1)式得兩邊乘dt

并積分得當(dāng)人在盤上走完一周時(shí)，應(yīng)有聯(lián)立(2)、(3)式，得例二一勻質(zhì)細(xì)棒長(zhǎng)為l

，質(zhì)量為m，可繞通過其端點(diǎn)O的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。當(dāng)棒從水平位置自由釋放后，它在豎直位置上與放在地面上的物體相撞。該物體的質(zhì)量也為m，它與地面的摩擦系數(shù)為。相撞后物體沿地面滑行一距離s而停止。求相撞后棒的質(zhì)心C離地面的最大高度h，并說明棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件。解：這個(gè)問題可分為三個(gè)階段進(jìn)行分析。第一階段是棒自由擺落的過程。這時(shí)除重力外，其余內(nèi)力與外力都不作功，由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理：CO用表示棒這時(shí)的角速度,則(1)第二階段是碰撞過程。因碰撞時(shí)間極短，自由的沖力極大，物體雖然受到地面的摩擦力，但可以忽略。這樣，棒與物體相撞時(shí)，它們組成的系統(tǒng)所受的對(duì)轉(zhuǎn)軸O的外力矩為零，所以，這個(gè)系統(tǒng)的對(duì)O軸的角動(dòng)量守恒。我們用v表示物體碰撞后的速度，則(2)式中

表示棒在碰撞后的角速度，它可正可負(fù)。取正值，表示碰后棒向左擺；反之，表示向右擺。第三階段是物體在碰撞后的滑行過程。物體作勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度由牛頓第二定律求得為(3)由勻減速直線運(yùn)動(dòng)的公式得(4)亦即由式(1)、(2)與(4)聯(lián)合求解，即得(5)亦即l<6s棒的質(zhì)心C上升的最大高度，與第一階段情況相似，也可由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能求得：把式(5)代入上式，所求結(jié)果為(6)當(dāng)

取正值，則棒向左擺，其條件為當(dāng)

取負(fù)值，則棒向右擺，其條件為例三一長(zhǎng)為l

、質(zhì)量為m

的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞光滑軸O在鉛直面內(nèi)擺動(dòng)。當(dāng)桿靜止時(shí)，一顆質(zhì)量為m0

的子彈水平射入與軸相距為a

處的桿內(nèi)，并留在桿中，使桿能偏轉(zhuǎn)到300，求子彈的初速v0。解：分兩個(gè)階段進(jìn)行考慮(1)子彈射入細(xì)桿,使細(xì)桿獲得初速度。因這一過程進(jìn)行得很快,細(xì)桿發(fā)生偏轉(zhuǎn)極小,可認(rèn)為桿仍處于豎直狀態(tài)。子彈和細(xì)桿組成待分析的系統(tǒng),無外力矩,滿足角動(dòng)量守恒條件。子彈射入細(xì)桿前、后的一瞬間,系統(tǒng)角動(dòng)量分別為其中由角動(dòng)量守恒，得：(1)(2)子彈隨桿一起繞軸O

轉(zhuǎn)動(dòng)。以子彈、細(xì)桿構(gòu)成一系統(tǒng)，只有重力作功。可用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理。棒的質(zhì)心上升的高度：子彈