初

中

數(shù)

學(xué)

輔

助

線三角問(wèn)添加輔助線方法方法1：有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點(diǎn)的題目，常常利用三角形的中位線，通過(guò)這種方法，把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問(wèn)題。方法2：含有平分線的題目，常以角平分線為對(duì)稱(chēng)軸，利用角平分線的性質(zhì)和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識(shí)解決問(wèn)題。方法3：結(jié)論是兩線段相等的題目常畫(huà)輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于平分線段的一些定理。方法4：結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類(lèi)題目，常采用截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法，所謂截長(zhǎng)法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。平行邊中常用輔助線的添法平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對(duì)邊、對(duì)角和對(duì)角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成常見(jiàn)的三角形、正方形等問(wèn)題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡(jiǎn)解如下：（1）連對(duì)角線平移對(duì)角線：（2）過(guò)頂點(diǎn)作邊的垂線構(gòu)造直角三角形

（3）連接對(duì)角交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線（4接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線段或延長(zhǎng)這條線段造三角形相似或等積三角形。（5）過(guò)頂點(diǎn)作角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等.梯形常輔助線的添法梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識(shí)的綜合，通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線將梯形問(wèn)題化歸為平行四邊形問(wèn)題或三角形問(wèn)題來(lái)解決。輔助線的添加成為問(wèn)題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：（1）在梯形內(nèi)平移一腰。（2）梯形外平一腰（3）梯形內(nèi)平兩腰（4）延長(zhǎng)兩腰（5）過(guò)梯形上的兩端點(diǎn)向下底作高（6）平移對(duì)角（7）連接梯形頂點(diǎn)及一腰的中點(diǎn)。（8）過(guò)一腰的點(diǎn)作另一腰的平行線。（9）作中位線

當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計(jì)算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。通過(guò)輔助線這座橋梁，將梯形問(wèn)題化歸為平行四邊形問(wèn)題或三角形問(wèn)題來(lái)解決，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。作輔助線的方法一：中點(diǎn)、中位線，延線，平行線。如遇條件中有中點(diǎn)，中線、中位線等，那么過(guò)中點(diǎn)，延長(zhǎng)中線或中位線作輔助線，使延長(zhǎng)的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過(guò)中點(diǎn)作已知邊或線段的平行線，以達(dá)到應(yīng)用某個(gè)定理或造成全等的目的。二：垂線、分角線，翻轉(zhuǎn)全等連。如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對(duì)稱(chēng)的方法，并借助其他條件，而旋轉(zhuǎn)180，得到全等形，這時(shí)輔助線的做法就會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱(chēng)軸往往是垂線或角的平分線。三：邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實(shí)驗(yàn)。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時(shí)邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度，就可以得到全等形，這時(shí)輔助線的做法仍會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱(chēng)中心，因題而異，有時(shí)沒(méi)有中心。故可分“有心”和“無(wú)心”旋轉(zhuǎn)兩種。四造角、平、相似，和、差、積、商見(jiàn)。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相

似形有關(guān)。在制造兩個(gè)三角形相似時(shí)，一般地，有兩種方法：第一，造一個(gè)輔助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一線段進(jìn)行平移。故作歌訣、平、相似，和差積商見(jiàn)五：面積找底高，多邊變?nèi)?。如遇求面積條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積往往作底或高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵。如遇多邊形，想法割補(bǔ)成三角形；反之，亦成立。另外，我國(guó)明清數(shù)學(xué)家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法，即“割補(bǔ)”有二百多種，大多數(shù)為“面積找底高，多邊變?nèi)叧踔袔缀纬Ｒ?jiàn)輔助線口訣人說(shuō)幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱(chēng)以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。

三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱(chēng)中心等分點(diǎn)。梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)椤骱汀跗揭蒲?，移?duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。上述方法不奏效，過(guò)腰中點(diǎn)全等造。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。三角形中作輔助線的常用方法舉例一．倍長(zhǎng)中線1：已eq\o\ac(△,知)，AD是BC邊上的中線，分以邊、AC邊為直角邊E各向形外作等腰直角三角形，如圖5-2，證EF＝2AD二、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。

A

FB

D

C在△ABC中，AD平分∠BAC，求證：AB＝AC＋CD三、延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形：

5例如：如圖7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BDB，

求證：AD＝BC分析：欲證先證分別含有的三角形全等，有幾種方案：△ADC與

eq\o\ac(△,，)BCD△AOD與△BOC，與△但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無(wú)法證全等，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個(gè)三角形的公共角。證明分別延長(zhǎng)DA，CB，它們的延長(zhǎng)交于E點(diǎn)，∵AD⊥ACBC⊥BD（已知）

EA

B∴∠CAE＝∠DBE＝90°（垂直的定義）在DBE與△CAE中

D

圖7

C公共)CAE已)∵

BD已)∴△DBE≌△CAE（AAS）∴ED＝EC（等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∴ED－EA＝EC－EB即：AD＝BC。（當(dāng)條件不足時(shí)，可通過(guò)添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件四、連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為三角形來(lái)解決。例如：如圖8-1：AB∥CD，AD∥BC

求證：AB=CD分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識(shí)，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)解決。

證明連接AC（或BD）∵AB∥CDAD∥BC（已知）∴＝，＝∠4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）在ABC與△中

A

D∵

CA)已證)

B

圖8

∴△ABC≌△CDA（ASA∴AB＝CD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）五、有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng)。例如：如圖9-1：在中，AB＝AC，∠BAC＝90°∠1，CE⊥BD的延于E。求：BD＝2CE分析：要證BD＝2CE，想到構(gòu)造線段同時(shí)CE與∠ABC平線垂直，想到要將其延長(zhǎng)。證明：分別延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)?！連E⊥CF（已）

FA

E∴∠BEF＝∠BEC＝90°（垂直的定義）

DB

9

在△BEF與△BEC中，)

(公共邊∵

BEC已證)∴△BEF≌（ASA）∴CE=FE=2CF（全三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∵∠BAC=90°BE⊥CF（已知）∴∠BAC＝∠CAF＝90°∠1＋∠BDA∠1＋∠BFC＝90°∴∠BDA＝∠BFC在△ABD△∴△ABD△ACF）∴BD＝CF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∴BD＝2CE六、連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形。例如：已知：如圖；AC、BD相于點(diǎn)，，AC＝BD，求證：∠A＝∠D分析：要證∠A＝∠D可證它們所在的三角形△ABO和△DCO全，而只有AB＝DC和對(duì)頂角兩個(gè)條件，差一個(gè)條件，難以其全等，只有另尋其它的角形全等，由AB＝DC，AC＝BD，若連接BC，則△△DCB全等，所以，證得∠＝∠D。證明：連接BC，在△和△DCB中

A

DB

10

)DB知∵

CB(公共邊)∴ABC△DCB

(SSS)∴∠A＝∠D(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等七、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。例如：如圖11-1：AB＝DC，∠A＝∠D求證：∠ABC＝∠DCB。分析：由AB＝DC∠A＝∠D，想到如取的中點(diǎn)N連接，由SAS理有△△DCN故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需證∠NBC＝∠NCB，再取BC的中點(diǎn)，連接則由SSS理有△NBM△NCM，所以NBC＝∠NCB。問(wèn)題得證。證明：取，BC中點(diǎn)，連接，NM，NC。則AN=DNBM=CM，在△ABN和△DCN中(輔助線的作法已)DC已)∵

ABM11

D

∴△ABN△DCN）∴∠ABN∠DCNNB＝NC（全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角等）在△NBM△NCM

∵

NC證BM＝CM作)NM＝NM(公∴△NMB△NCM（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）∴∠NBC＋∠ABN∠NCB＋∠DCN

即∠ABC＝∠DCB。二由角分想到的輔助線口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱(chēng)以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a對(duì)稱(chēng)性；角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。①?gòu)慕瞧椒志€上一點(diǎn)向兩邊作垂線；②利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線（一截構(gòu)全等幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與猜想是在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學(xué)們能掌握相關(guān)的幾何規(guī)律，在解決幾何問(wèn)題中大膽地去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。下面就幾何中常見(jiàn)的定理所涉及到的輔助線作以介紹。

如圖1-1∠AOC=∠BOC，如取并連接DE、DF，則有△OED△OFD從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。

AED1

A如圖

A

1-2，AB

2

BF圖1

CE

D

CD

B

H圖示3-1E

FBC圖

如所在角形ABCD，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17.求CD的長(zhǎng).解：點(diǎn)D作AB于點(diǎn)又AB∥CD，所以四邊形BCDE是行四邊形所以DE＝BC＝17，CD＝BE.

圖示，直梯在Rt

△DAE，由勾股定理，得AE

2

＝DE

－AD

2

，即AE

2

＝17

－15

2

＝64.所以AE＝8.所以BE＝AB－AE＝16－8＝8.即CD＝8.例2如，梯形ABCD的上底下底CD=8，腰AD=4，求另一腰取值范圍。解：

過(guò)

點(diǎn)B

作

DCBBM

11GH(BCBGCH)22

EDBE

梯形ABCD

(ADDH

6

5AC

2

2

(52)

2

2)

2

2

15cm20cm12cm

DCE

梯形ABCD

DBE

EHDE

2

DH

2

2

2

2

2

BHBD

2

DH

2

20

2

2

1BE(916)cm2

)

150cm如圖所示，四邊形AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.判斷四邊形形狀，并證明你的結(jié)論解：邊形ABCD是等腰梯形.證明：延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)E，如圖所示.∵AC＝BD，AD＝BC＝BA，∴△DAB≌△CBA.∴∠CBA.

ECAB

∴EA＝EB.又AD＝BC，∴DE＝CE，∠EDC＝∠ECD.而∠E＋∠EAB＋∠EBA＝∠E＋∠EDC＋∠ECD＝180°，∴∠EDC＝∥AB.又AD不平行于BC∴四邊形是等腰梯形（三作角線即通過(guò)作對(duì)角線，使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例9如，在直角梯形ABCD，AD//BC，AB⊥AD，BE⊥CD于點(diǎn)E，求證：AD=DE。解：結(jié)，由AD//BC，得∠；由BC=CD得DBC=∠BDC。所以∠∠BDE又∠BAD=∠DEB=90°，BD=BD，所以eq\o\ac(△,Rt)BAD≌Rt△BED

得AD=DE（四作形的高1作條高例如圖，在直角梯形ABCD中AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，對(duì)角線垂足為過(guò)點(diǎn)F作EF//AB，交點(diǎn)E，求證：四邊形ABFE是等腰梯形。證：點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)則易知四邊形DGBC矩形，所以。因?yàn)锳B=2DC所以AG=GB。從而DA=DB于是∠∠DBA。又EF//AB，所以四邊形是等梯形。2作條高例在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠ABC=60°，AD=3cm，BC=5cm，求：(1)腰的長(zhǎng)；(2)梯形ABCD面積．解：于E，DF⊥BC于，又∵AD∥BC

∴四邊形是矩形，EF=AD=3cm∵AB=DC∵在eq\o\ac(△,Rt)中，，BE=1cm∴AB=2BE=2cm，

AE∴

梯ABCD

()AE2

3

2例如圖，在梯形，AD為底，求證：BD>AC。證：AE⊥BC于E作DF⊥BC于F，則易知AE=DF在Rt△ABE和Rt△DCF中，因?yàn)锳B>CD所以由勾股定理得BE>CF。即BF>CE。在Rt△BDF和Rt△CAE中由勾股定理得BD>AC（五作位線1已梯形一腰中點(diǎn)，作梯形的中位線。例如圖梯形ABCD是BC的中點(diǎn)∠AOD=90°證＋CD=AD。

證：AD中點(diǎn)E，連接OE則易知OE是梯形ABCD中位線，從而OE=（ABCD）①在△AOD，，AE=DE所以

1OE2

②由①、②得AB＋CD=AD2、已知形兩條對(duì)角線的點(diǎn)，接形一頂點(diǎn)與一條對(duì)角線中點(diǎn)并延長(zhǎng)與底邊相交，