銳角的三角比-知識講解 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．結(jié)合圖形理解記憶銳角三角函數(shù)的定義；2．會推算準(zhǔn)確的記住特殊角的三角函數(shù)值；3．理解并能熟練運(yùn)用“同角三角函數(shù)的關(guān)系”及“銳角三角函數(shù)值隨角度變化的規(guī)律”.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、銳角三角函數(shù)的概念如圖所示，在

Rt△ABC

中，∠C＝90°，∠A

所對的邊

BC

記為

a，叫做∠A

的對邊，也叫做∠B

的鄰

邊，∠B

所對的邊

AC

記為b

，叫做∠

B

b

的對邊，也是∠A

的鄰邊，直角

C

所對的邊

AB

記為

c，叫做斜邊．銳角

A

的對邊與斜邊的比叫做∠

A

的正弦，記作

sinA，即

；

銳角

A

的鄰邊與斜邊的比叫做∠

A

的余弦，記作cosA，即

b； 銳角

A

的對邊與鄰邊的比叫做∠A

的正切，記作tanA，即

； b銳角

A

的鄰邊與對邊的比叫做∠A

的余切，記作cotA，即

b. 同理

b；

；

b； b要點(diǎn)詮釋：(1)正弦、余弦、正切、余切函數(shù)是在直角三角形化時，比值也隨之變化．

分別是一個完整的數(shù)學(xué)符號，是一個整體，不能寫成 ， ，，?

不能理解成

sin

與∠A，cos

與∠A，tan

與

與∠A

的角的其正切應(yīng)寫成“tan

∠AEF

”，不能寫成“tanAEF

”；另外，．

、

、

、

、

、

、(3)任何一個銳角都有相應(yīng)的銳角三角函數(shù)值，不因這個角不在某個三角形中而不存在．(4)由銳角三角函數(shù)的定義知：當(dāng)角度在

0°＜∠A＜90°間變化時，

，，tanA＞0

cotA＞0.要點(diǎn)二、特殊角的三角函數(shù)值

角的各三角函數(shù)值，歸納如下：銳角30°45° 1

cot160°要點(diǎn)詮釋：(1)通過該表可以方便地知道

如：若 ，則銳角 ．(2)仔細(xì)研究表中數(shù)值的規(guī)律會發(fā)現(xiàn)：、 、 的值依次為 、

、

，而

、、

的值的順序正好相反，

、

、

的值依次增大，其變化規(guī)律可以總結(jié)為：①正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而增大(或減小)②余弦、余切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而減小(或增大)．要點(diǎn)三、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系如圖所示，在

Rt△ABC

中，∠C=90°．(1)

互

余

關(guān)

系

：；

，tanA=cot(90

°

-

∠

A)=cotB ,tanB=cot(90°-∠B)=cotA.(2)平方關(guān)系：

；(3)倒數(shù)關(guān)系：

或

；(4)商的關(guān)系：

要點(diǎn)詮釋：銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可由銳角三角函數(shù)的用這些關(guān)系式可使運(yùn)算簡便．【典型例題】

銳角三角函數(shù)值的求解策略1．如圖所示，在Rt△ABC

BC＝5，求∠A，∠B

的正弦、余弦、正切、余切值．【答案與解析】在

Rt△ABC

中，∠C＝90°．∵ AB＝13，BC＝5．

，

，

，

；∴

．

，

，

，

． 【總結(jié)升華】用銳角三角函數(shù)的定義求值．舉一反三：∠Rt△ABC中，C=90°，若

，∠sinA

=

，

cosA=

，sinB=

，cosB=

．

b

【答案】

5

，sinA

=

， cosA=

特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算

，sinB=

，

cosB=

．2．求下列各式的值：?(1)sin30°-2cos60°+cot45°；

(2)

；??

?°

．【答案與解析】(1)原式

； (2)原式

；(3)原式

． 【總結(jié)升華】熟記特殊角的三角函數(shù)值或借助兩個三角值，再進(jìn)行化簡．舉一反三：【變式】在 Rt

△ABC

中，

∠C=90°，若∠

A=45

°，則∠B=

，sinA

=

，

cosA=

，sinB=

，cosB=

．【答案】

45°，sinA

=

，

cosA=

，sinB=

，

cosB=

．

銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系銳角

．

求銳角

；

(2)已知

求【答案與解析】(1)先將已知方程變形后再求解．∴銳角

=30°．(2)先將已知方程因式分解變形．∴銳角

=45°．【總結(jié)升華】數(shù)，解方程求得它的解(值)，然后再求這個銳角．

銳角三角函數(shù)的拓展探究與應(yīng)用4．如圖所示，AB

是⊙O

的直徑，且

AB＝10，CD是⊙O

的弦，AD

與

BC

相交于點(diǎn)

P，若弦

CD＝6，試求

cos∠APC

的值．【答案與解析】連結(jié)

AC，∵ AB

是⊙O

的直徑，∴ ∠ACP＝90°，又∵ ∠B＝∠D，∠PAB＝∠PCD，∴ PCD∽△PAB，∴

PC

CD

．PA AB又∵ CD＝6，AB＝10，∴在

Rt△PAC

中，cos

APC PC CD 6 3PA AB 10 5

．【總結(jié)升華】結(jié)

AC，由AB

是⊙O

的直徑得∠ACB＝90°，cos

APC

PC

，PACD

CD△PCD∽△PAB

得

PC ．PA AB5．通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(sad)．如圖

1①，在△ABC

中，AB＝AC，頂角

A

的正對記作

sadA，這時

問題：(1)sad60°＝________．(2)對于

的正對值

sadA

的取值范圍是_______．(3)如圖

sinA＝

為銳角，試求sadA

的值．【答案與解析】(1)1；(2)0＜sadA＜2；(3)如圖

2

所示，延長AC

到

D，使AD＝AB，連接

BD．設(shè)

AD＝AB＝5a，由

得

BC＝3a， ∴

)

)

，∴ CD＝5a-4a＝a，

)

，∴

．

60°角放在等腰三角形中，底邊和腰相等，故

sadA＝1；(2)在圖①中設(shè)想

AB＝AC

的長