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一、最值定理二、介值定理

第一章第十節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、最值定理定理1.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上即:設(shè)則使一定有最大值和最小值.注:

若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù),結(jié)論不一定成立.則使或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn)

,例如,無(wú)最大值和最小值也無(wú)最大值和最小值又如,

推論.

由定理1可知有證:

設(shè)上有界.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界.二、介值定理定理2.

(零點(diǎn)定理)至少有一點(diǎn)且使定理3.(介值定理)設(shè)且則對(duì)A

與B

之間的任一數(shù)C,使至少有一點(diǎn)證:

作輔助函數(shù)則且故由零點(diǎn)定理知,至少有一點(diǎn)使即推論:在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必取得介于最小值與最大值之間的任何值.例1.證明方程證:顯然又故據(jù)零點(diǎn)定理,至少存在一點(diǎn)使即在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根.例1.證明方程一個(gè)根.說(shuō)明:內(nèi)必有方程的根;取的中點(diǎn)內(nèi)必有方程的根;可用此法求近似根.二分法在區(qū)間內(nèi)至少有則則上連續(xù),且恒為正,例2.

設(shè)在對(duì)任意的必存在一點(diǎn)證:使令,則使故由零點(diǎn)定理知,存在即當(dāng)時(shí),取或,則有證明:在上達(dá)到最大值與最小值;上可取最大與最小值之間的任何值;4.當(dāng)時(shí),使必存在上有界;在在則設(shè))(.1xf],[ba)(.2xf],[ba)(.3xf],[ba0)()(<bfaf.0)(=xf,),(ba?x小結(jié)則證明至少存在使提示:

令則易證1.

設(shè)一點(diǎn),]2,0[)(aCxf?,)2()0(aff=,],0[a?x.)()(aff+=xx,)()()(xfaxfx-+=j,],0[)(aCx?j0)()0(￡ajj備用題

至少有一個(gè)不超過(guò)4的證：證明令且根據(jù)零點(diǎn)定理,原命題得證.內(nèi)至少存在一點(diǎn)在開區(qū)間顯然正根.1)(3--=-xexxf[],4,0)(上連續(xù)在閉區(qū)間xf=)0(f13---e1434---e=

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