第二章

隨機變量及其分布§2.1隨機變量例

電話總機某段時間內(nèi)接到的電話次數(shù)，可用一個變量X

來描述：X=0，1，2，…隨機變量的概念例檢測一件產(chǎn)品可能出現(xiàn)的兩個結(jié)果，也可以用一個變量來描述:例考慮“測試燈泡壽命”這一試驗，以

X記燈泡的壽命（以小時計）則：X=t，(t≥0)設(shè)S是隨機試驗E的樣本空間，若定義則稱S上的單值實值函數(shù)X()為隨機變量隨機變量一般用大寫英文字母X，Y

，Z，或小寫希臘字母，，，表示隨機變量是上的映射，

此映射具有如下特點:

定義域

事件域S

；

隨機性

隨機變量X

的可能取值不止一個，試驗前只能預(yù)知它的可能的取值但不能預(yù)知取哪個值；

概率特性

X

以一定的概率取某個值或某些值。

引入隨機變量的意義

有了隨機變量，隨機試驗中的各種事件，就可以通過隨機變量的關(guān)系式表達出來。

如：單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用X

表示，它是一個隨機變量。{

收到不少于1次呼叫}{沒有收到呼叫}隨機變量分類所有取值可以逐個一一列舉全部可能取值不僅無窮多，而且還不能一一列舉?！?.2離散型隨機變量及其分布律例有獎儲蓄，20萬戶為一開獎組，設(shè)特等獎20名，獎金4000元；一等獎120名，獎金400元；二等獎1200名，獎金40元；末等獎4萬名，獎金4元?？疾斓锚劷痤~X

。X的可能取值為：Ｘ04404004000p解：4000，400，40，4，0。.0001.0006.7933.2.006

若隨機變量X

的可能取值是有限個或可列個，則稱X

為離散型隨機變量。定義描述X的概率特性常用概率分布列或分布列X

p

即或

概率分布的性質(zhì)

非負性

正則性概率分布的特征例1一批產(chǎn)品的次品率為8%，從中抽取1件進行檢驗，令寫出X的分布律.X的分布律為:

X

p

概率分布圖:

0.0801

xy0.92

解：兩點分布(0–1分布)

只取兩個值的概率分布分布律為：X10pkp1-p0<p<1或應(yīng)用場合

凡試驗只有兩個可能結(jié)果，常用0–1分布描述，如產(chǎn)品是否合格，人口性別統(tǒng)計，系統(tǒng)是否正常，電力消耗是否超標(biāo)等。10件產(chǎn)品中，有3件次品，任取兩件，X是“抽得的次品數(shù)”，求分布律。X

可能取值為0，1，2。例2解：所以，X的分布律為：X012p7/157/151/15注

求分布律，首先弄清X的確切含義及其所有可能取值。例3

上海的“天天彩”中獎率為p

，某人每天買1張，若不中獎第二天繼續(xù)買1張，中獎為止。求該人購買次數(shù)X的分布律。X=k表示購買了k

張，前k-1張都未中獎，第k

張中了獎。幾何分布適用于試驗首次成功的場合解：123…k-1

k×××…×√二項分布貝努里概型和二項分布設(shè)試驗E只有兩個結(jié)果：Ａ和，記:將

E獨立地重復(fù)

n次，則稱這一串重復(fù)的獨立試驗為

n重貝努利(Bernoulli)試驗，簡稱為貝努利(Bernoulli)試驗在n重貝努利試驗中，事件A可能發(fā)生0,

1,2,…n

次稱

X服從參數(shù)為

p的二項分布(binomial)。記作：

當(dāng)n=1時，

P(X=k)=pk(1-p)1-k

k=0,1

即0-1分布（2）每次試驗只考慮兩個互逆結(jié)果A或，

貝努里概型對試驗結(jié)果沒有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次試驗條件相同；

且P(A)=p

，；（3）各次試驗相互獨立。二項分布描述的是n重貝努里試驗中出現(xiàn)“成功”次數(shù)X的概率分布。例5

已知100個產(chǎn)品中有5個次品，現(xiàn)從中有放回地取3次，每次任取1個，求在所取的3個中恰有2個次品的概率。解:依題意，p=0.05設(shè)X為所取的3個中的次品數(shù)。則X~B(3,0.05),于是，所求概率為：計算例6設(shè)有80臺同類型設(shè)備，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺設(shè)備的故障能由一個人處理?？紤]兩種配備維修工人的方法，其一是由4人維護，每人負責(zé)20臺；其二是由4人共同維護80臺。試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率大小。X=某人維護的20臺中同一時刻故障臺數(shù)；Ai

：第i人維護的20臺故障不能及時維修”（i＝1，2，3，4）；解：按第一種方法。而X～b（20,

0.01）不能及時維修的概率為：計算設(shè)：Y=80臺中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)；按第二種方法。第二種方法優(yōu)于第一種方法此時Y～b（80，0.01）

，故80臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率為：計算高爾頓釘板試驗Poission分布

例單位時間內(nèi)某電話總機收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個離散型隨機變量。X=0，1，…其中，λ為常數(shù)稱X服從參數(shù)為λ

的Poisson分布，記為：計算二項分布的Poisson近似泊松定理其中

設(shè)λ是一個正整數(shù)，，則有：n≥100，np≤10時近似效果就很好：

定理的條件意味著當(dāng)

n很大時，pn

必定很小.因此，泊松定理表明，當(dāng)n

很大，p

很小時有以下近似式：其中

計算例7

為保證設(shè)備正常工作，需要配備適量的維修人員.設(shè)共有300臺設(shè)備，每臺的工作相互獨立，發(fā)生故障的概率都是0.01.若在通常的情況下，一臺設(shè)備的故障可由一人來處理.問至少應(yīng)配備多少維修人員，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率小于0.01?我們先對題目進行分析：

設(shè)X為300臺設(shè)備同時發(fā)生故障的臺數(shù)，300臺設(shè)備，獨立工作，每臺出故障概率p=0.01.可看作n=300的貝努里概型.可見，X~B(n，p)，n=300，p=0.01設(shè)需配備N個維修人員，所求的是滿足的最小的N.P(X>N)<0.01或P(X

N)0.99

P(X>N)n大，p小，np=3，用=np=3的泊松近似我們求滿足的最小的N.查泊松分布表得N+19，即N8即至少需配備8個維修人員.計算x定義

設(shè)X為隨機變量，x是任意實數(shù)，稱函數(shù)為X

的分布函數(shù)。幾何意義：Xx§2.3隨機變量的分布函數(shù)

分布函數(shù)的基本性質(zhì)

單調(diào)性

有界性

右連續(xù)性鑒別一個函數(shù)是否是某隨機變量的分布函數(shù)的充分必要條件。x

由定義知X落在區(qū)間(a，b]里的概率可用分布函數(shù)來計算：baax]aa-Δxx用分布函數(shù)表示概率請?zhí)羁战猓篨的分布律為

X012p7/157/151/15

例1

求例2中的分布函數(shù)并作圖.

012x

分布函數(shù)為xxxx012x1F(x)的圖形為:7/157/151/15一般情形為:x2x1x1xnxkpkp2p1pnx例2設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為:試求：（1）系數(shù)A，B;

（2）X落在（-1，1]內(nèi)的概率解：由性質(zhì)——柯西分布函數(shù)離散隨機變量的分布函數(shù)

F(x)是分段階梯函數(shù)，在X

的可能取值xk處發(fā)生間斷，間斷點為第一類跳躍間斷點，在間斷點處有躍度

pkxyy=f(x)§2.4

連續(xù)型隨機變量及其概率密度幾何意義xX返回

對任意實數(shù)x，若隨機變量X的分布函數(shù)可寫成：定義2.3其中，則稱X

是連續(xù)型隨機變量，稱f(x)為X

的概率密度函數(shù)，簡稱為密度函數(shù)或概率密度。

記為:概率密度f(x)的性質(zhì)常利用這兩個性質(zhì)檢驗一個函數(shù)能否作為連續(xù)性隨機變量的密度函數(shù)，或求其中的未知參數(shù)。1.2.3.在f(x)

的連續(xù)點處有4.對連續(xù)型隨機變量X有：1.2.3.圖形例1

已知某型號電子管的使用壽命X為連續(xù)隨機變量，其密度函數(shù)為：(1)求常數(shù)c；

(2)計算(3)已知一設(shè)備裝有3個這樣的電子管，每個電子管能否正常工作相互獨立，求在使用的最初1500小時只有一個損壞的概率。解：(1)

令c=1000(2)

(3)設(shè)A表示一個電子管的壽命小于1500小時設(shè)在使用的最初1500小時三只晶體管中損壞的只數(shù)為Y例2

設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為：(1)求X取值在區(qū)間(0.3，0.7)的概率；(2)求X的概率密度。解:(1)

P(0.3<X<0.7）=0.72-0.32=0.4=F(0.7)-F(0.3)例3

設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為解:

(2)

f(x)=注意到F(x)在x=1處導(dǎo)數(shù)不存在，根據(jù)改變被積函數(shù)在個別點處的值不影響積分結(jié)果的性質(zhì)，可以在沒意義的點處，任意規(guī)定的值。若隨機變量X的密度函數(shù)為：xf(x)ab則稱X

服從區(qū)間[a

，b]上的均勻分布。記作均勻分布幾個重要的連續(xù)性分布例4若，求F(x)。解：xf(x)abxxf(x)abxF(x)baF(x)的圖形：即X

的取值在(a，b)內(nèi)任何長為

d–c的小區(qū)間的概率與小區(qū)間的位置無關(guān)，只與其長度成正比。

若隨機變量X的密度函數(shù)為：其中μ，σ>0為未知參數(shù)，則稱X

服從參數(shù)為μ，σ的正態(tài)分布，記為：正態(tài)分布

正態(tài)分布有廣泛的應(yīng)用，如地區(qū)的年降雨量,在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，如零件的尺寸；纖維的強度和張力；農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長、株高；測量誤差，射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差；信號噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布。0μμ-σμ+σxy正態(tài)分布密度函數(shù)μ00.20.40.60.811.21.4動態(tài)演示稱X服從標(biāo)準正態(tài)分布概率密度函數(shù)為：分布函數(shù)為：的函數(shù)值可查正態(tài)分布表。例：0.8413記為：對標(biāo)準正態(tài)分布，有：0x-x引理：于是：例3：

這在統(tǒng)計學(xué)上稱作“3準則”

（三倍標(biāo)準差原則）?？梢哉J為，Y的取值幾乎全部集中在區(qū)間內(nèi).分位點則稱為標(biāo)準正態(tài)分布的上分位點。

0常用值：0.0010.0050.010.0250.050.103.0902.5762.3271.9601.6451.282§2.5隨機變量函數(shù)的分布問題的提出

在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù)更感興趣.例如，已知t=t0

時刻噪聲電壓V的分布，求功率

W=V2/R

的分布

設(shè)隨機變量X

的分布已知，Y=g(X)(設(shè)g是連續(xù)函數(shù)），如何由X

的分布求出

Y

的分布？

這個問題無論在實踐中還是在理論上都是重要的。下面進行討論。例

離散型隨機變量函數(shù)的分布求Y

1=2X–1與

Y2=X

2

的分布律解:X-10