3．3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用第二課時極大值與極小值學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件．2．會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)．

課堂互動講練知能優(yōu)化訓(xùn)練3．3.2課前自主學(xué)案課前自主學(xué)案[1，＋∞)(－∞，2)，(3，＋∞)(2,3)1．極值點與極值知新益能(1)極小值與極小值點如圖，若a為極小值點，f(a)為極小值，則必須滿足：①f(a)__f(x0)(f(x0)表示f(x)在x＝a附近的函數(shù)值)；②f′(a)＝__；③在x＝a附近的左側(cè)f′(x)__0，函數(shù)單調(diào)____；在x＝a附近的右側(cè)f′(x)__0，函數(shù)單調(diào)____．<0遞減<>遞增(2)極大值與極大值點如圖，若b為極大值點，f(b)為極大值，則必須滿足：①f(b)__f(x0)(f(x0)表示f(x)在x＝b附近的函數(shù)值)；②f′(b)＝__；③在x＝b附近的左側(cè)，f′(x)__0，函數(shù)單調(diào)____；在x＝b附近的右側(cè)，f′(x)__0，函數(shù)單調(diào)____．>0>遞增<遞減2．求函數(shù)f(x)極值的方法與步驟(1)解方程f′(x)＝0；(2)驗證判斷：若求得某點處的導(dǎo)數(shù)值為零，此點一定是極值點嗎？提示：不一定．一個點為函數(shù)的極值點不但滿足此點處導(dǎo)數(shù)值為零，還要判斷函數(shù)在此點附近左右兩側(cè)的單調(diào)性，只有單調(diào)性相反，才能作為函數(shù)的極值點，單調(diào)性一致時，不能作為極值點，如f(x)＝x3，x＝0就不是極值點．問題探究課堂互動講練求函數(shù)的極值與函數(shù)的單調(diào)性有直接的關(guān)系，是在求單調(diào)區(qū)間的基礎(chǔ)上進(jìn)一步完成的．考點一求函數(shù)的極值考點突破例1【思路點撥】可先求f′(x)和使f′(x)＝0成立的點，再結(jié)合定義域研究這個點附近左右兩側(cè)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷極值．因此當(dāng)x＝1時，f(x)有極小值，并且f(1)＝3.(2)由f(x)＝x3－3x2－2得f′(x)＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.當(dāng)x變化時，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：(1)當(dāng)a－1>2，即a>3時，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)為增函數(shù)，無極值；(2)當(dāng)0<a－1<2，即1<a<3時，2<a＋1<4，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)有極小值f(2)＝－6；(3)當(dāng)a－1<0，即0<a<1時，1<a＋1<2，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)有極大值f(0)＝－2.【名師點評】

(1)在討論可導(dǎo)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的極值時，若方程f′(x)＝0的實數(shù)根較多時，應(yīng)注意使用表格，使極值點的確定一目了然．(2)極值情況較復(fù)雜時，注意分類討論．自我挑戰(zhàn)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．(1)若曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處與直線y＝8相切，求a，b的值；(2)求函數(shù)f(x)在單調(diào)區(qū)間與極值點．確定函數(shù)極值存在的條件，可以去尋求需要的條件．研究的函數(shù)多為三次函數(shù)，三次函數(shù)求導(dǎo)后，變?yōu)槎魏瘮?shù)，因而轉(zhuǎn)化為研究二次函數(shù)的有關(guān)知識．考點二函數(shù)極值存在的問題設(shè)x＝1與x＝2是函數(shù)f(x)＝alnx＋bx2＋x的兩個極值點．(1)試確定常數(shù)a和b的值；(2)試判斷x＝1，x＝2是函數(shù)f(x)的極大值點還是極小值點，并說明理由．【思路點撥】利用極值點與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，建立由極值點x＝1與x＝2所確定的相關(guān)等式，運(yùn)用待定系數(shù)法確定a，b的值，再利用極值的定義進(jìn)行判斷．例2【名師點評】本題從逆向思維的角度出發(fā)，根據(jù)題設(shè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行逆向聯(lián)想，合理地實現(xiàn)了問題的轉(zhuǎn)化，使抽象問題具體化，在轉(zhuǎn)化的過程中充分運(yùn)用了已知條件確定了解題的大方向，在求導(dǎo)之后，不會應(yīng)用在極值點處的導(dǎo)數(shù)為0這一隱含條件，是解決問題的最大障礙．與函數(shù)的單調(diào)性、圖象等相結(jié)合，解決有關(guān)方程的根或圖象交點等問題．(本題滿分14分)設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求f(x)的極值；(2)是否存在實數(shù)a，使得方程f(x)＝0恰好有兩個實數(shù)根？若存在，求出實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．考點三函數(shù)極值的綜合應(yīng)用例3【思路點撥】

(1)依據(jù)求函數(shù)極值的方法求解．(2)根據(jù)極值大小分析函數(shù)圖象情況，據(jù)此可求出實數(shù)a的值．【規(guī)范解答】

(1)令f′(x)＝－3x2＋3＝0，得x1＝－1，x2＝1. 又因為當(dāng)x∈(－∞，－1)時，f′(x)<0；當(dāng)x∈(－1,1)時，f′(x)>0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f′(x)<0.4分所以f(x)的極小值為f(－1)＝a－2，f(x)的極大值為f(1)＝a＋2.6分(2)因為f(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞減，且當(dāng)x→－∞時，f(x)→＋∞；又f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，且當(dāng)x→＋∞時，f(x)→－∞；而a＋2>a－2，即函數(shù)的極大值大于極小值，所以當(dāng)極大值等于0時，有極小值小于0，此時曲線f(x)與x軸恰好有兩個交點，即方程f(x)＝0恰好有兩個實數(shù)根，10分所以a＋2＝0，a＝－2，如圖(1)．當(dāng)極小值等于0時，有極大值大于0，此時曲線f(x)與x軸恰有兩個交點，即方程f(x)＝0恰好有兩個實數(shù)根，所以a－2＝0，a＝2.如圖(2)．綜上，當(dāng)a＝2或a＝－2時方程恰好有兩個實數(shù)根.14分【名師點評】

(1)研究方程根的問題可以轉(zhuǎn)化為研究相應(yīng)函數(shù)的圖象問題，一般地，方程f(x)＝0的根就是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，方程f(x)＝g(x)的根就是函數(shù)f(x)與g(x)的圖象的交點的橫坐標(biāo)．(2)事實上利用導(dǎo)數(shù)不僅能判斷函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的極值和最值情況，還能在此基礎(chǔ)上畫出函數(shù)的大致圖象，得到函數(shù)圖象與x軸的交點或兩個函數(shù)圖象的交點的條件，從而為研究方程的根提供方便．所以在解決方程的根的問題時，要善于運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的方法進(jìn)行求解．1．函數(shù)的極值與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(1)函數(shù)的極值是對函數(shù)在某一點附近的小區(qū)間而言的，在函數(shù)的定義域內(nèi)可能有多個極大值和極小值，且極大值不一定比極小值大．(2)連續(xù)函數(shù)的某點是極值點的充分條件是在這點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號；可導(dǎo)函數(shù)的某點是極值點的必要條件是在這點的導(dǎo)數(shù)為0.方法感悟(3)函數(shù)的不可導(dǎo)點也可能是極值點．由以上可知判定函數(shù)f(x)的極值點，應(yīng)對f(x)的定義域內(nèi)的兩類“可疑點”都作出判定：①判定定義域內(nèi)所有的導(dǎo)數(shù)為零的點；②判定定義域內(nèi)所有的不可導(dǎo)的點．2．求解函數(shù)極值的步驟(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用方程f′