云南省昆明市自平實驗中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖所示，液體從一圓錐形漏斗漏入一圓柱形桶中，開始時，漏斗盛滿液體，經(jīng)過3分鐘漏完．已知圓柱中液面上升的速度是一個常量，H是圓錐形漏斗中液面下落的距離，則H與下落時間t（分）的函數(shù)關(guān)系表示的圖象只可能是（）

A．B．C．D．參考答案：A2.四面體的頂點和各棱的中點共10個點.在這10點中取4個不共面的點，則不同的取法種數(shù)是（

）A．141 B．144 C．150 D．155參考答案：A

略3.已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)是2，方差是，那么另一組數(shù)據(jù)3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣3，3x4﹣2，3x5﹣2的平均數(shù)和方差分別為(

)A．2， B．4，3 C．4， D．2，1參考答案：B考點：極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．專題：計算題．分析：本題可將平均數(shù)和方差公式中的x換成3x﹣2，再化簡進行計算．解答：解：∵x1，x2，…，x5的平均數(shù)是2，則x1+x2+…+x5=2×5=10．∴數(shù)據(jù)3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均數(shù)是：′===4，S′2=×，=×=9×=3．故選B．點評：本題考查的是方差和平均數(shù)的性質(zhì)．設(shè)平均數(shù)為E（x），方差為D（x）．則E（cx+d）=cE（x）+d；D（cx+d）=c2D（x）4.已知圓錐的母線長為4，側(cè)面展開圖的中心角為，那么它的體積為A．

B．

C.

D.參考答案：A5.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如左圖所示，那么函數(shù)f(x)的圖像最有可能的是(

)

參考答案：A6.已知橢圓上的一點到橢圓一個焦點的距離為，則到另一焦點距離為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D

解析：點到橢圓的兩個焦點的距離之和為7.設(shè)，b，c是空間三條不同的直線，，是空間兩個不同的平面，則下列命題不成立的是（

）A．

當(dāng)時，若⊥，則∥

B．

當(dāng)，且是在內(nèi)的射影時，若b⊥c，則⊥b

C．當(dāng)時，若b⊥，則D．當(dāng)時，若c∥，則b∥c參考答案：D略8.已知拋物線，過焦點且垂直于對稱軸的直線與拋物線交于A、B兩點，則坐標(biāo)原點與A、B兩點構(gòu)成的三角形的面積為（）A.6

B.4

C.1

D.2參考答案：D略9.甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就稱甲乙“心有靈犀”．現(xiàn)任意找兩人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】古典概型及其概率計算公式．【分析】本題是一個古典概型，試驗包含的所有事件是任意找兩人玩這個游戲，其中滿足條件的滿足|a﹣b|≤1的情形包括6種，列舉出所有結(jié)果，根據(jù)計數(shù)原理得到共有的事件數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式得到結(jié)果．【解答】解：由題意知本題是一個古典概型，∵試驗包含的所有事件是任意找兩人玩這個游戲，共有6×6=36種猜字結(jié)果，其中滿足|a﹣b|≤1的有如下情形：①若a=1，則b=1，2；②若a=2，則b=1，2，3；③若a=3，則b=2，3，4；④若a=4，則b=3，4，5；⑤若a=5，則b=4，5，6；⑥若a=6，則b=5，6，總共16種，∴他們“心有靈犀”的概率為．故選D．10.極坐標(biāo)方程ρ2cos2θ=1所表示的曲線是()A．圓 B.兩條相交直線

C.橢圓

D.雙曲線參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若五個數(shù)1、2、3、4、a的平均數(shù)為4，則這五個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為．參考答案：

【考點】極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差．【專題】計算題；方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計．【分析】由五個數(shù)1、2、3、4、a的平均數(shù)為4，求出a=10，由此能求出這五個數(shù)的方差．【解答】解：∵五個數(shù)1、2、3、4、a的平均數(shù)為4，∴，解得a=10，∴這五個數(shù)的方差為S2=[（1﹣4）2+（2﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+（10﹣4）2]=10，這五個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為S=．故答案為：．【點評】本題考查標(biāo)準(zhǔn)差的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意平均數(shù)、方差性質(zhì)、計算公式的合理運用．12.已知的二項展開式中二項式系數(shù)的最大項是第3項和第4項，則的展開式中的常數(shù)項為___.參考答案：-112【分析】由二項式系數(shù)的最大項是第3項和第4項，求得，得到，再由二項展開式的通項，即可求解．【詳解】由題意，二項式的二項展開式中二項式系數(shù)的最大項是第3項和第4項，所以二項展開式共有6項，所以，則，又由二項式的展開式的通項為，令或，解得或，則展開式的常數(shù)項為．【點睛】本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用，其中解答中熟記二項式系數(shù)的最大項，以及二項展開式的通項，合理準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．13.設(shè)等比數(shù)列的公比，前項和為，則________．參考答案：1514.設(shè)l為直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是．（1）若l∥α，l∥β，則α∥β（2）若l⊥α，l∥β，則α∥β（3）若l⊥α，l∥β，則α⊥β（4）若α⊥β，l∥α，則l⊥β參考答案：（3）【考點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；分析法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】根據(jù)空間中直線與平面各種位置關(guān)系的定義、判定、性質(zhì)即判斷．【解答】解：對于（1）：若l∥β，l∥α，則α∥β或者α與β相交，所以（1）錯誤對于（2）（3）：若l⊥α，l∥β，則α∥β，則α⊥β，故（2）錯誤，（3）對，對于（4）若α⊥β，l∥α，則l⊥β或l∥β，故（4）錯誤．故答案為：（3）【點評】本題考查空間線面位置關(guān)系，其中熟練掌握空間中直線與平面各種位置關(guān)系的定義、判定、性質(zhì)及幾何特征是解答本題的關(guān)鍵．15.直線l1：x+ay+6=0與l2：（a﹣2）x+3y+2a=0平行，則a的值為

．參考答案：﹣1【考點】直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．【專題】直線與圓．【分析】由于l2的斜率存在，因此l1∥l2?且截距不等．即可得出．【解答】解：∵l1∥l2，∴，化為a2﹣2a﹣3=0，解得a=3或﹣1．當(dāng)a=3時，l1與l2重合，應(yīng)舍去．因此a=﹣1．故答案為：﹣1．【點評】本題考查了兩條直線平行的充要條件，屬于基礎(chǔ)題．16.已知定直線上有三點A，B，C，，，。動圓O恒與相切于點B，則過A、C且都與⊙O相切的直線、的交點P的軌跡是________。參考答案：去掉兩個頂點的雙曲線17.數(shù)列{an}為正項等比數(shù)列，若a2=1，且an+an+1=6an－1(n∈N,n≥2）則此數(shù)列的前4項和S4=

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(13分)將一枚骰子先后拋擲3次，觀察向上的點數(shù)，求：

（1）共有多少種不同的可能結(jié)果；

（2）向上的點數(shù)都相同的概率；

（3）向上點數(shù)之和等于6的概率。參考答案：解：（1）先后拋擲3次，事件總數(shù)答：共有216種不同的可能結(jié)果?！?分（2）記“執(zhí)擲三次點數(shù)都相同”為事件A。事件A共有：（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），（4，4，4），（5，5，5），（6，6，6）6種∴答（2）向上的點數(shù)都相同的概率為。……8分（3）記“點數(shù)之和等于6”為事件B，則事件B包括：

3個數(shù)字相同的（2，2，2）1種;

2個數(shù)字相同的：（1，1，4），（1，4，1），（4，1，1）3種;

3個數(shù)字都不同的：（1，2，3），（1，3，2），（2，1，3），（2，3，1），（3，1，2），（3，2，1）6種?！嗍录﨎共有1+3+6=10種∴答：向上點數(shù)之和等于6的概率為?！?3分略19.四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=，SA＝SB＝(Ⅰ)證明：SA⊥BC；(Ⅱ)求二面角S—AD—C的正切值；（13分）參考答案：解析：（Ⅰ）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得底面，得

因為，所以，又，故為等腰直角三角形，，∴，得．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依題得，故，∴二面角S—AD—C的平面角為∠SAO由，，得，，∴（13分）20.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，且曲線f(x)在處的切線與直線平行（1）求a的值及函數(shù)f(x)的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有三個零點，求實數(shù)m的取值范圍.參考答案：解：（1）當(dāng)時，，因為曲線在處的切線與直線平行，所以，所以，則當(dāng)時，，因為是定義在上的奇函數(shù)，可知，設(shè)，則，，所以，綜上所述，函數(shù)的解析式為：.（2）由得：，令得：當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，又，，，函數(shù)在區(qū)間上有三個零點，等價于在上的圖像與有三個公共點，結(jié)合在區(qū)間上大致圖像可知，實數(shù)的取值范圍是.

21.（14分）某校從參加高一年級期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績（均為整數(shù)）分成六段后畫出如圖部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：（1）求第四小組的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；（2）估計這次考試的及格率（60分及以上為及格）和平均分．參考答案：【考點】頻率分布直方圖．【專題】計算題；圖表型．【分析】（1）在頻率分直方圖中，小矩形的面積等于這一組的頻率，根據(jù)頻率的和等于1建立等式解之即可；（2）60及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組，從而求出抽樣學(xué)生成績的合格率，再利用組中值估算抽樣學(xué)生的平均分即可．【解答】解：（Ⅰ）因為各組的頻率和等于1，故第四組的頻率：f4=1﹣（0.025+0.015*2+0.01+0.005）*10=0.3（Ⅱ）依題意，60及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組，頻率和為（0.015+0.03+0.025+0.005）*10=0.75所以，抽樣學(xué)生成績的合格率是75%利用組中值估算抽樣學(xué)生的平均分45?f1+55?f2+65?f3+75?f4+85?f5+95?f6=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71估計這次考試的平均分是71．【點評】本題主要考查了頻率及頻率分布直方圖，考查運用統(tǒng)計知識解決簡單實際問題的能力，數(shù)據(jù)處理能力和運用意識．22.已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）畫圖像；（3）若對于任意的實數(shù)x恒有成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：（1）；（2）見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)絕對值的定義，將轉(zhuǎn)化為三個不等式組，最后