任意角

現(xiàn)實(shí)世界中的許多運(yùn)動(dòng)、變化都有著循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始的規(guī)律，這種變化規(guī)律稱為周期性．例如：地球自轉(zhuǎn)引起的晝夜交替變化和公轉(zhuǎn)引起的四季交替變化，月亮圓缺，潮汐變化，物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的位置變化，物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)的位移變化，交變電流變化等．這些現(xiàn)象都可以用三角函數(shù)刻畫(huà)．問(wèn)題提出

過(guò)去我們學(xué)習(xí)了0°～360°范圍的角，但在實(shí)際問(wèn)題中還會(huì)遇到其他角．如在體操、花樣滑冰、跳臺(tái)跳水等比賽中，常常聽(tīng)到“前空翻轉(zhuǎn)體5400”、“后空翻轉(zhuǎn)體7200”這樣的解說(shuō)．再如鐘表的指針、擰動(dòng)螺絲的扳手、機(jī)器上的輪盤(pán)等，它們按照不同方向旋轉(zhuǎn)所成的角，不全是0°～3600范圍內(nèi)的角.因此，僅有0°～360°范圍內(nèi)的角是不夠的，我們必須將角的概念進(jìn)行推廣.

思考1：角是如何定義的？①角是由平面內(nèi)一點(diǎn)引出的兩條射線所組成的圖形（如圖1）；圖2圖1知識(shí)探究（一）：角的概念的推廣②角是由平面內(nèi)一條射線繞其端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所組成的圖形（如圖2）.角的始邊角的終邊角的頂點(diǎn)ABOABO思考2：在齒輪傳動(dòng)中，被動(dòng)輪與主動(dòng)輪是按相反方向旋轉(zhuǎn)的。一般地，一條射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，既可以按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，也可以按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).你認(rèn)為將一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)600所形成的角，與按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)600所形成的角是否相等？

思考3：為了區(qū)分形成角的兩種不同的旋轉(zhuǎn)方向，對(duì)角作以下規(guī)定：按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角．如果一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)，則稱它形成了一個(gè)零角.你能用圖形表示這些角嗎？

畫(huà)圖表示一個(gè)大小一定的角，先畫(huà)一條射線作為角的始邊，再由角的正負(fù)確定角的旋轉(zhuǎn)方向，再由角的絕對(duì)值大小確定角的旋轉(zhuǎn)量，畫(huà)出角的終邊，并用帶箭頭的螺旋線加以標(biāo)注.βB2γAB1αO結(jié)論：度量一個(gè)角的大小，既要考慮旋轉(zhuǎn)方向，又要考慮旋轉(zhuǎn)量，通過(guò)上述規(guī)定，角的范圍就擴(kuò)展到了任意大小.xoy思考1：為了進(jìn)一步研究角的需要，我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，并使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么對(duì)一個(gè)任意角，角的終邊可能落在哪些位置？

知識(shí)探究（二）：象限角象限角：如果角的終邊在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限的角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于如何象限，或稱這個(gè)角為軸線角.－50°xyoxyo210°－450°xyo－200°xyo練習(xí)1：－50°，210°,－200°，－450°

分別是第幾象限的角練習(xí)2：銳角是第幾象限角?第一象限角是銳角嗎？鈍角、直角呢？練習(xí)3：第二象限的角一定比第一象限的角大嗎？象限角只能反映角的終邊所在象限，不能反映角的大小.知識(shí)探究（三）：終邊相同的角結(jié)論：所有與30°角終邊相同的角，連同30°角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S，用描述法表示集合S，則：

思考1：在直角坐標(biāo)系中，30°角的終邊在什么位置？終邊在該位置的角一定是30°嗎？除了30°還有哪些角？它們具有什么關(guān)系？yx

所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)所構(gòu)成的集合S可以表示為

例1在0°～360°范圍內(nèi)，找出與－30°角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角.

330°，第四象限角.練習(xí)：找出與405°角終邊相同的角，并判斷它是第幾象限角.例2分別寫(xiě)出終邊在x軸正半軸、負(fù)半軸上的角的集合，y軸正半軸、負(fù)半軸上的角的集合，x軸、y軸上的角的角的集合.

x軸：y軸：yxx軸正半軸：x軸負(fù)半軸：y軸正半軸：y軸負(fù)半軸：例3第一、二、三、四象限的角的集合分別如何表示？

一：{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}；二：{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}；三：{α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}；四：{α|－90°＋k·360°<α<k·360°，k∈Z}.yx例4寫(xiě)出終邊在直線y=x上的角的集合S，并把S中適合不等式-360°≤＜720°的元素寫(xiě)出來(lái).

S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.－315°，-135°，45°，

225°，405°，585°.思考：如果α是第二象限的角，那么2α、2α/2分別是第幾象限的角？90°＋k·360°<α<180°＋k·360°180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°45°＋k·180°<α/2<90°＋k·180°知識(shí)探究（三）：終邊相同的角第三象限的角或第四象限的角或第一、三象限的角解析：角的終邊在y軸負(fù)半軸上yx

角的概念推廣后，角的大小可以任意取