會(huì)計(jì)學(xué)1彈性力學(xué)應(yīng)變分析§3-1相對(duì)位移張量和應(yīng)變張量xyzO一.一點(diǎn)的相對(duì)位移張量P設(shè)點(diǎn)的位移分量為相鄰一點(diǎn)AA1P1位移分量為兩點(diǎn)間的位移（矢量）差將在處展開(kāi)，并忽略高階項(xiàng)，則第1頁(yè)/共23頁(yè)

相對(duì)位移張量一般為非對(duì)稱張量。

相對(duì)位移張量反映了一點(diǎn)相對(duì)位移的總體情況，既包含了因剛體位移產(chǎn)生的相對(duì)位移，又包含了因變形位移產(chǎn)生的相對(duì)位移；稱為P點(diǎn)的相對(duì)位移張量第2頁(yè)/共23頁(yè)二.轉(zhuǎn)動(dòng)張量xyzOPAA1P1設(shè)若為剛體位移，則展開(kāi)第3頁(yè)/共23頁(yè)由dxidxj的任意性，其項(xiàng)前系數(shù)為零。即所以相對(duì)剛體位移張量為反對(duì)稱張量，并記為滿足此條件的相對(duì)位移張量稱為相對(duì)剛體位移張量或轉(zhuǎn)動(dòng)張量第4頁(yè)/共23頁(yè)將相對(duì)位移張量分解為對(duì)稱和反對(duì)稱張量為其中第二項(xiàng)

第一項(xiàng)為不包含剛體位移的相對(duì)位移張量，即由變形產(chǎn)生的相對(duì)位移張量。稱為應(yīng)變張量，記為。三.應(yīng)變張量與對(duì)比，即等于轉(zhuǎn)動(dòng)張量第5頁(yè)/共23頁(yè)應(yīng)變張量是對(duì)稱張量第6頁(yè)/共23頁(yè)§3-2幾何方程——Cauchy方程xyzOP

建立應(yīng)變與位移的關(guān)系，揭示應(yīng)變張量各分量的物理意義考察P點(diǎn)，

分別沿x、y、z正向引三正交線元r、s、t變形后P點(diǎn)移動(dòng)到P′點(diǎn)P三線元的長(zhǎng)度和相對(duì)夾角也發(fā)生變化將三線元變形前后的位置分別向三坐標(biāo)面投影，建立其應(yīng)變和位移的關(guān)系投影引起的誤差為高階微量以向yz平面投影分析為例第7頁(yè)/共23頁(yè)yzOPP設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為y、zs、t的長(zhǎng)度為dy、dz點(diǎn)P到P的位移為v、ws點(diǎn)到s的位移為vs、ws由正應(yīng)變的定義由切應(yīng)變的定義t點(diǎn)到t的位移為vt

、wt第8頁(yè)/共23頁(yè)若向xy平面投影同理可得若向zx平面投影同理可得綜合之此方程組表明了應(yīng)變與位移的關(guān)系，稱為幾何方程或Cauchy方程對(duì)比應(yīng)變張量各分量，可見(jiàn)第9頁(yè)/共23頁(yè)

應(yīng)變張量分量與工程應(yīng)變的原始定義完全相同，但工程切應(yīng)變是角應(yīng)變分量的2倍，故一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)可由應(yīng)變張量描述幾何方程可表示為第10頁(yè)/共23頁(yè)§3-3應(yīng)變張量的性質(zhì)由于應(yīng)變張量是對(duì)稱二階張量，因此與應(yīng)力張量具有類似的性質(zhì)一.任意方向的正應(yīng)變和任意兩垂直方向的切應(yīng)變1.設(shè)一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)為ij

，則該點(diǎn)任意方向N(l1,l2,l3)正應(yīng)變2.設(shè)一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)為ij

，兩垂直方向分別為r(l1,l2,l3)和

s(l1,l2,l3)，則該點(diǎn)rs方向上的切應(yīng)變二.應(yīng)變狀態(tài)的坐標(biāo)變換

設(shè)一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)在Oxyz坐標(biāo)系下的應(yīng)變張量為ij

，旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)系為Oxyz，兩坐標(biāo)系間的方向余弦為lij

，則第11頁(yè)/共23頁(yè)三.主應(yīng)變、主方向

設(shè)一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)為ij，xyzOrst123

過(guò)此點(diǎn)可作任意組三向正交線元，總存在一組線元在變形前后始終保持正交，即兩兩方向上的切應(yīng)變?yōu)榱恪?/p>

將該組線元方向稱為應(yīng)變主方向，沿主方向的正應(yīng)變稱為主應(yīng)變。（該組線元所構(gòu)成的三軸又稱為應(yīng)變主軸，兩兩線元構(gòu)成的平面稱為應(yīng)變主平面。）

由以上定義，類似主應(yīng)力分析可得1.主平面（主方向）方程其中為主應(yīng)變，lj為主方向第12頁(yè)/共23頁(yè)2.主應(yīng)變方程（特征方程）3.應(yīng)變不變量三實(shí)根按

1

2

3排序第13頁(yè)/共23頁(yè)4.最大最小應(yīng)變最大正應(yīng)變max

1最小正應(yīng)變min

3最大最小切應(yīng)變5.八面體應(yīng)變八面體表面法線方向的正應(yīng)變八面體表面上兩正交方向的切應(yīng)變6.應(yīng)變強(qiáng)度第14頁(yè)/共23頁(yè)四.體積應(yīng)變和應(yīng)變張量分解1.體積應(yīng)變

由正交三線元可構(gòu)成一微元體，考察變形前后微元體體積的變化。xyzOP變形前微元體體積變形后微元體邊長(zhǎng)其中，表示切應(yīng)變的高價(jià)微量變形后微元體體積第15頁(yè)/共23頁(yè)定義體積應(yīng)變可見(jiàn)應(yīng)變張量的第一不變量的物理意義為體積應(yīng)變考察位移場(chǎng)即其散度說(shuō)明應(yīng)變張量的第一不變量或體積應(yīng)變的數(shù)學(xué)意義為位移場(chǎng)的散度當(dāng)=0時(shí)，稱為物體是不可壓縮的，因此不可壓縮的條件為：應(yīng)變張量的第一不變量為零或位移場(chǎng)的散度為零第16頁(yè)/共23頁(yè)2.應(yīng)變張量的分解與應(yīng)力張量的分解類似，可將應(yīng)變張量分解為球張量和偏張量其中只有體積改變而無(wú)形狀改變只有形狀改變而無(wú)體積改變第17頁(yè)/共23頁(yè)不變量第18頁(yè)/共23頁(yè)§3-4變形協(xié)調(diào)方程一.問(wèn)題的提出

1.根據(jù)連續(xù)性假定，受力物體在變形前后都是連續(xù)的。3.由于幾何方程是導(dǎo)出關(guān)系，數(shù)學(xué)上它們之間并不是相互獨(dú)立的，而存在著一定的相互制約關(guān)系。2.由幾何方程可知，給定位移函數(shù)ui可唯一地確定應(yīng)變分量ij。4.物理上，相互獨(dú)立的應(yīng)變分量不能保證物體的連續(xù)性，物體內(nèi)在變形時(shí)會(huì)出現(xiàn)分裂和重疊。二.變形協(xié)調(diào)關(guān)系—應(yīng)變分量間的關(guān)系考察幾何方程在xy平面內(nèi)第19頁(yè)/共23頁(yè)所以同理，考察yz和zx平面可得故得第一組變形協(xié)調(diào)方程考察第20頁(yè)/共23頁(yè)故得第二組變形協(xié)調(diào)方程如果作不同的數(shù)學(xué)運(yùn)算組合可得若干組變形協(xié)調(diào)方程●若把幾何方程和變形協(xié)調(diào)方程視為泛定方程組，因僅聯(lián)系九個(gè)量（六個(gè)應(yīng)變、三個(gè)位移），需九個(gè)獨(dú)立方程。而幾何方程有六個(gè)，故在若干組變形協(xié)調(diào)方程中，只有三個(gè)方程獨(dú)立。●需要指出，變形協(xié)調(diào)方程是應(yīng)變張量的稟性方程。即，滿足變形協(xié)調(diào)方程是任何真實(shí)應(yīng)變張量的必要條件。第21頁(yè)/共23頁(yè)§3-5位移邊界條件

給定邊界上的位移和約束情況（如沉降，固定等），被稱