會(huì)計(jì)學(xué)1EMF靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題靜態(tài)場(chǎng)：靜電場(chǎng)、恒定電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)等不隨時(shí)間變化的場(chǎng)場(chǎng)計(jì)算的兩大類(lèi)問(wèn)題已知場(chǎng)量分布求與之相應(yīng)的場(chǎng)源分布已知場(chǎng)源分布求該源產(chǎn)生的場(chǎng)量分布1靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的基本概念第1頁(yè)/共26頁(yè)

靜態(tài)場(chǎng)計(jì)算方法第2頁(yè)/共26頁(yè)在工程上常遇場(chǎng)源分布常較復(fù)雜，而且場(chǎng)域往往是由某種邊界條件限制的、形狀不一定規(guī)則的有限區(qū)域。為此，在場(chǎng)論中引入了輔助計(jì)算量—位函數(shù)。內(nèi)已知外未知邊界場(chǎng)已知數(shù)學(xué)物理方程是描述物理量隨空間和時(shí)間的變化規(guī)律。對(duì)于某一特定的區(qū)域和時(shí)刻，方程的解取決于物理量的初始值與邊界值，這些初始值和邊界值分別稱(chēng)為初始條件和邊界條件，兩者又統(tǒng)稱(chēng)為該方程的定解條件。靜電場(chǎng)的場(chǎng)量與時(shí)間無(wú)關(guān)，因此電位所滿(mǎn)足的泊松方程及拉普拉斯方程的解僅決定于邊界條件。根據(jù)給定的邊界條件求解場(chǎng)域的場(chǎng)（一定邊界條件下微分方程的解）的問(wèn)題，稱(chēng)為邊值問(wèn)題。第3頁(yè)/共26頁(yè)邊值問(wèn)題第4頁(yè)/共26頁(yè)邊值問(wèn)題求解方法第5頁(yè)/共26頁(yè)AnalysisofBoundary-ValueProblems第6頁(yè)/共26頁(yè)

自然邊界條件（無(wú)界空間）

周期邊界條件

銜接條件不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件，如第7頁(yè)/共26頁(yè)靜態(tài)場(chǎng)問(wèn)題可以歸結(jié)為求解滿(mǎn)足三類(lèi)邊值的泊松方程（或拉普拉斯方程）的所謂邊值問(wèn)題，它們分別稱(chēng)為狄里赫利問(wèn)題，紐曼問(wèn)題和混合問(wèn)題。第一類(lèi)邊值：已知場(chǎng)域邊界上位函數(shù)第二類(lèi)邊值：已知場(chǎng)域邊界上位函數(shù)的法向?qū)?shù)（對(duì)于靜電場(chǎng)，相當(dāng)于給出了電荷在導(dǎo)體表面的面電荷分布密度。）第三類(lèi)邊值：已知場(chǎng)域一部分邊界上的位函數(shù)和其余部分邊界上的位函數(shù)的法向?qū)?shù)為什么說(shuō)靜電場(chǎng)第二類(lèi)邊界條件與導(dǎo)體上給定電荷分布的條件是等價(jià)的？?jī)?nèi)已知第8頁(yè)/共26頁(yè)例：（第一類(lèi)邊值問(wèn)題）（第三類(lèi)邊值問(wèn)題）例：第9頁(yè)/共26頁(yè)對(duì)于任何數(shù)學(xué)物理方程需要研究解的存在、穩(wěn)定及惟一性問(wèn)題。解的存在是指在給定的定解條件下，方程是否有解。解的穩(wěn)定性是指當(dāng)定解條件發(fā)生微小變化時(shí)，所求得的解是否會(huì)發(fā)生很大的變化。解的惟一性是指在給定的定解條件下所求得的解是否惟一。靜電場(chǎng)是客觀存在的，因此電位微分方程解的存在確信無(wú)疑。由于實(shí)際中定解條件是由實(shí)驗(yàn)得到的，不可能取得精確的真值，因此，解的穩(wěn)定性具有重要的實(shí)際意義。泊松方程及拉普拉斯方程解的穩(wěn)定性在數(shù)學(xué)中已經(jīng)得到證明?？梢宰C明電位微分方程解也是惟一的。第10頁(yè)/共26頁(yè)【唯一性定理】如果給定V中的電荷分布、邊界S上的電位值或其方向?qū)?shù)值或S中一部分面上給定電位值，其余部分給定電位法向?qū)?shù)值，則V中的電位唯一確定。證明：設(shè)場(chǎng)中任意一點(diǎn)有兩組解，都滿(mǎn)足Possion方程則電位差滿(mǎn)足Laplace方程電位差滿(mǎn)足齊次邊界條件（第一類(lèi)）（第二類(lèi)）（第三類(lèi)）第11頁(yè)/共26頁(yè)應(yīng)用Green第一定理令：則顯然，在給定三類(lèi)邊界條件中任何一類(lèi)的情況下，上式的右邊都為零。左邊第一項(xiàng)也為零，得若為第一類(lèi)邊界條件，在既滿(mǎn)足場(chǎng)域，又滿(mǎn)足邊界條件的情況下，C＝0。若為第二類(lèi)邊界條件，當(dāng)選擇相同的電位參考點(diǎn)時(shí)，C＝0.對(duì)第三類(lèi)混合邊值問(wèn)題，只要將閉合面積分寫(xiě)成各部分表面的面積分之和，對(duì)每一部分采用上述的方法處理，結(jié)論相同。第12頁(yè)/共26頁(yè)唯一性定理給出了定解的充分必要條件，雖然沒(méi)有給出具體的求解方法，但對(duì)于求解有著重要的指導(dǎo)意義：【唯一性定理的指導(dǎo)意義】

一方面，我們?cè)跇?gòu)造求解方程時(shí)，可以依據(jù)唯一性定理設(shè)置必要的邊界條件；另一方面，如果我們利用某種方法獲得了解，則可以肯定解是唯一的。即使采用不同的方法獲得了不同形式的解，也可以肯定這些解是等價(jià)的。第13頁(yè)/共26頁(yè)2.鏡像法

實(shí)質(zhì):是以一個(gè)或幾個(gè)等效電荷（或電流）代替邊界的影響，將原來(lái)具有邊界的非均勻空間變成無(wú)限大的均勻自由空間，從而使計(jì)算過(guò)程大為簡(jiǎn)化。

依據(jù)：惟一性定理。因此，等效電荷（或電流）的引入必須維持原來(lái)的邊界條件不變，從而保證原來(lái)區(qū)域中靜態(tài)場(chǎng)沒(méi)有改變，這是確定等效電荷（或電流）的大小及其位置的依據(jù)。這些等效電荷（電流）通常處于鏡像位置（待求場(chǎng)域之外），因此稱(chēng)為鏡像電荷，而這種方法稱(chēng)為鏡像法。關(guān)鍵：確定鏡像電荷的個(gè)數(shù)、大小及其位置。

局限性：僅僅對(duì)于某些特殊的邊界以及特殊分布的電荷（或電流）才有可能確定其鏡像電荷。第14頁(yè)/共26頁(yè)（1）點(diǎn)電荷與無(wú)限大的導(dǎo)體平面。

介質(zhì)導(dǎo)體qrP

介質(zhì)qrPhh

介質(zhì)

以一個(gè)處于鏡像位置的點(diǎn)電荷代替邊界的影響，使整個(gè)空間變成均勻的介電常數(shù)為的空間，則空間任一點(diǎn)P的電位由q

及q'

共同產(chǎn)生，即考慮到無(wú)限大導(dǎo)體平面的電位為零，求得第15頁(yè)/共26頁(yè)邊值問(wèn)題：（導(dǎo)板及無(wú)窮遠(yuǎn)處）（除

q所在點(diǎn)外的區(qū)域）（S為包圍

q的閉合面）

平面導(dǎo)體的鏡像上半場(chǎng)域邊值問(wèn)題：（除

q所在點(diǎn)外的區(qū)域）

（導(dǎo)板及無(wú)窮遠(yuǎn)處）（S為包圍q的閉合面）第16頁(yè)/共26頁(yè)電場(chǎng)線(xiàn)與等位面的分布特性與第二章所述的電偶極子的上半部分完全相同。由此可見(jiàn)，電場(chǎng)線(xiàn)處處垂直于導(dǎo)體平面，而零電位面與導(dǎo)體表面吻合。電場(chǎng)線(xiàn)等位線(xiàn)z第17頁(yè)/共26頁(yè)電荷守恒：當(dāng)點(diǎn)電荷q

位于無(wú)限大的導(dǎo)體平面附近時(shí)，導(dǎo)體表面將產(chǎn)生異性的感應(yīng)電荷，因此，上半空間的電場(chǎng)取決于原先的點(diǎn)電荷及導(dǎo)體表面上的感應(yīng)電荷?？梢?jiàn)，上述鏡像法的實(shí)質(zhì)是以一個(gè)異性的鏡像點(diǎn)電荷代替導(dǎo)體表面上異性的感應(yīng)電荷的作用。根據(jù)電荷守恒原理，鏡像點(diǎn)電荷的電量應(yīng)該等于這些感應(yīng)電荷的總電量，可以根據(jù)導(dǎo)體表面電荷密度與電場(chǎng)強(qiáng)度或電位的關(guān)系證明這個(gè)結(jié)論。半空間等效：上述等效性?xún)H對(duì)于導(dǎo)體平面的上半空間成立，因?yàn)樵谏习肟臻g中，源及邊界條件未變。第18頁(yè)/共26頁(yè)（方向指向地面）整個(gè)地面上感應(yīng)電荷的總量為【例19.1】

求空氣中一個(gè)點(diǎn)電荷在地面引起的感應(yīng)電荷分布情況。解:設(shè)點(diǎn)電荷離地面高度為h，則

點(diǎn)電荷在地面引起的感應(yīng)電荷的分布第19頁(yè)/共26頁(yè)q僅當(dāng)這種導(dǎo)體劈的夾角α=180°/n(n為整數(shù)）時(shí)，才可求出其鏡像電荷，鏡像電荷為2n-1個(gè)。分布在半徑為r0的圓上（r0為點(diǎn)電荷到角頂點(diǎn)的距離）。鏡像的角度為2mα±θ,m=1,2,…電荷量為±q，θ為點(diǎn)電荷與劈的一平面的夾角。/3/3q

連續(xù)分布的線(xiàn)電荷位于無(wú)限大的導(dǎo)體平面附近時(shí)，根據(jù)疊加原理得知，同樣可以應(yīng)用鏡像法求解。（2）導(dǎo)體劈的鏡像法第20頁(yè)/共26頁(yè)abqabqab-qab-qabq直角形導(dǎo)體平面鏡像r1r2r3r4第21頁(yè)/共26頁(yè)qq-q-qq-q鏡像電荷加在區(qū)域外只用于求區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)第22頁(yè)/共26頁(yè)（3）電介質(zhì)分界面的鏡像邊值問(wèn)題：(下半空間)(除q點(diǎn)外的上半空間)

點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大介質(zhì)分界面的鏡像和第23頁(yè)/共26頁(yè)

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中的電場(chǎng)是由決定，其有效區(qū)在下半空間，是等效替代自由電荷與極化電荷的作用。即點(diǎn)電荷位于不同介質(zhì)平面上方的場(chǎng)圖

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