第7講加法原理與乘法原理知識網(wǎng)絡排列與組合問題是圍繞計數(shù)問題張開的一類問題。解決此類問題，一般要用到兩個常用的原理，即加法原理和乘法原理。種不一樣的方法第一類方式有若是能分成r類相互獨立的不一樣方式，要完成一個任務，方式有能夠完成任務，第二類方式有r種不一樣種不一樣的方法能夠完成任務，，第種不一樣的方法，這種分類計數(shù)的的方法完成任務。那么完成這個任務就有方法就稱為加法原理。第二步有第一步有種不一樣的方法完成任務，若是完成某項任務要分r個不一樣的步驟，種不一樣的方法完成任務。那么完成這個任務步有r種不一樣的方法完成任務，，第種不一樣的方法，這種步驟完成任務的計數(shù)方法稱為乘法原理。就有重點·難點應用加法乘法原理以及上一講的容斥原理是解信心數(shù)問題的三個基根源理。加法原理、則應用加法原理解重點是弄清兩者之間的實質(zhì)差異：原理和乘法原理，若是屬于分類考慮，則應用乘法原理解題。如何依照題意分清終歸是分類還是分步，是題，若是屬于分步考慮，本講的難點。學法指導除此來區(qū)分兩種原理。在應用這兩個原理解計數(shù)問題時必定緊緊抓住“分類還是分步”應依照詳盡問題靈便采用合適以外，解決問題常用的方法還有列舉法、歸納法等，對應法、方法。經(jīng)典例題求由若干個小方塊所示，如圖例[1]1在110×10個邊長為的小正方形拼成的棋盤中，拼成的所有正方形的數(shù)目。．

的能思路分析。這樣有十類不一樣的方式拼出正方，，10由小方塊所拼成的正方形邊長能夠取1，2個；×101的正方形顯然有10下面再計算出每類方式有多少種方法拼出正方形。形。邊長為9。近似的，縱邊也有DF，，IK，種選擇：AC，BDCE，邊長為2的正方形，橫邊有9因此經(jīng)過兩個獨立步驟就可以完成拼正方形橫邊和縱邊都選定后正方形就確定了。種選擇，個。邊長為其他數(shù)時能夠近似推9的小正方形有9×的任務，由乘法原理可知拼出邊長為2出。解答由乘法原理可得：個；×10邊長為1的小正方形有109個；2的小正方形有9×邊長為8個；的小正方形有8×邊長為3個；2×2邊長為9的小正方形有1×個。邊長為10的小正方形有1由加法原理，共有（個）×1=100+81+64+49+36+25+16+9+4+1=385××10×10+99+22+1385個正方形。答：共有）著色，要求：相鄰兩邊的顏色用紅、黃、藍、綠四種顏色給一個五邊形（圖22][例不一樣。那么共有多少種不一樣的著色方法？思路分析為了方便我們給五邊形的各個極點編上字母。給五邊形著色是一邊一邊地著色，因此完成這個任務要分步進行。第一步先涂AB邊，有四種顏色可供選擇，因此第一步有4種方法；第二步再涂BC邊，有除AC邊顏色以外的三種顏色可供選擇，因此第二步有3種方法；第三步涂CD邊，能夠選擇與BC邊顏色不一樣的別的三種顏色，因此這一步也有3種方法，同理，DE邊也有三種顏色可供選擇；在涂AE邊時，它不僅要與DE邊不一樣，還要與AB邊不一樣，因此要分DE邊與AB邊顏色同樣和相異兩種不一樣情況談論。解答AB邊有紅、黃、藍、綠4種不一樣的涂法；BC邊有涂AB邊外的3種不一樣的涂法；CD邊有涂BC邊外的3種不一樣的涂法；DE邊有涂CD邊外的3種不一樣的涂法。此時，若是

DE

邊和

AB邊外的兩種不一樣涂法；若是

DE

邊和

AB

邊顏色同樣，則

AE

邊有有除AB、DEDE邊和

邊外的兩種不一樣涂法；若是DEAB邊顏色不同樣時，由乘法原理有

邊和

AB邊顏色同樣，AE邊有3種不一樣的涂法；4×3×3×3×2=216（種）不一樣的涂法；DE邊和AB邊顏色同樣時，由乘法原理有4×3×3×3×3=324（種）不一樣的涂法；最后由加法原理，共有216+324=540（種）。[例3]求由1、2、3、4、5五個數(shù)字組成的沒有重復數(shù)字的五位數(shù)的個數(shù)。若是將它們從小到大排列起來，則21345位于第幾個數(shù)？思路分析要獲取由1、2、3、4、5組成的五位數(shù)，只要用五個步驟。第一步從五個數(shù)字中選一個放在個位上，有5種選法；第二步從剩下的四個數(shù)中選一個放在十位上，有4種選法；依次類推，最后一個數(shù)放在萬位上。解答所求五位數(shù)的個數(shù)有5×4×3×2×1=120（個）以1、2、3、4、5作萬位數(shù)的應該同樣多，有24個，而的一個，因此它應該是第25個數(shù)。[例4]求5040共有多少個約數(shù)？

21345

是以

2為萬位數(shù)的五位數(shù)中最小思路分析5040分解質(zhì)因數(shù)第一將因此5040的約數(shù)都能夠表示成為，01；d的取值為，；，；3，4b的取值為01，2c的取值為0，，，的取值為其中a0122。，，，的可能取值個數(shù)分別為，，，；困此1abcd532解答由乘法原理，5040的約數(shù)的個數(shù)為4+1）×（2+1）×（1+1）×（1+1）=60（個）答：5040共有60個約數(shù)。[例5]從2、3、4、5、6、10、11、12這8個數(shù)中，取出兩個數(shù)，作成一個最簡真分數(shù)有多少種取法？思路分析要作成一個最簡真分數(shù)，必定分兩步來完成：一步取分母，一步取分子，同時要注意分子不僅要比分母小，而且要與分母互質(zhì)。我們能夠合適運用列舉法。解答若是分母取3，則分子能夠取2，有1種取法；若是分母取4，則分子能夠取3，有1種取法；如果分母取5，則分子能夠取2、3、4，有3種取法；若是分母取6，分子能夠取5，有1種取法；若是分母取10，分子能夠取3，有1種取法；若是分母取11，分子能夠取2、3、4、5、6、10，有6種取法；若是分母取12，分子能夠取3、11，有2種取法。由加法原理，要作成一個最簡真分數(shù)，共有1+1+3+1+1+6+2=15（種）不一樣的取法。答：作成一個最簡單的真分數(shù)有15種取法。[例6]有4張卡片，正反面都各有寫有一個數(shù)字。第1張上寫的是0和1，其他3張正反面上分別寫有2和3，4和5，7和8?，F(xiàn)任意取出其中3張卡片，放在一排，組成的三位數(shù)共有多少種可能？思路分析要獲取一個三位數(shù)，能夠分成三個步驟：第一步：確定百位數(shù)，能夠從4張卡片中取出一張，有4種取法，取出后以其中的某個面作為正面，又有兩種可能。但0不能夠作百位數(shù)，因此百位數(shù)有（4×2-1）種選擇；第二步，確定十位數(shù)，由于百位數(shù)確定后只剩3張卡片，可知有（3×2）種選擇；第三步，確定個位數(shù)，十位數(shù)確定后，只剩兩張卡片，有（2×2）種選擇。解答依照上述分析，組成三位數(shù)的可能性有（4×2-1）×（3×2）×（2×2）=7×6×4=168（種）答：組成的三位數(shù)共有168種可能。[例7]從1到400的所有自然數(shù)中，不含數(shù)字5的自然數(shù)有多少個？思路分析能夠用兩種思路來解：一種是列舉法，從一位數(shù)，兩位數(shù)到三位數(shù)總結(jié)出各有多少個吻合題意的數(shù)，再相加；另一種是從所有這些自然數(shù)中分個位、十位、百位上的數(shù)字來談論，從而確定出總數(shù)。解答☆解法一：從1到400的所有自然數(shù)能夠按位數(shù)分成三類，即一位數(shù)、兩位數(shù)和三位數(shù)。個。8的有5在一位數(shù)中，不含數(shù)字．在兩位數(shù)中，不含數(shù)字5的可分十位和個位兩步來考慮。十位上，不含數(shù)字5的有1、2、3、4、6、7、8、9八種情況。個位上不含數(shù)字5的有0、1、2、3、4、6、7、8、9九種情況。由乘法原理，共有8×9=72(個)不含數(shù)字5的兩位數(shù)。在三位數(shù)中，不含數(shù)字5的可分百位、十位、個位三步來考慮。百位上不含5的有1、2、3三種情況；十位上不含數(shù)字5的有0、1、2、3、4、6、7、8、9九種情況；個位上與十位上情況同樣也有九種可能。由乘法原理，這時不含數(shù)字5的數(shù)有3×9×9=243（個），同時400也是一個不含數(shù)字5的三位數(shù)，因此不含數(shù)字5的三位數(shù)共有244個。從而，由加法原理，在1到400的自然數(shù)中，不含數(shù)字5的自然數(shù)共有8+72+244=324（個）☆解法二：若是我們把一位數(shù)看作前面有兩個0的三位數(shù)，把兩位數(shù)看作前面有一個0的三位數(shù)，如把3看作003，把24看作024。這樣除去400，在百位數(shù)上有0、1、2、3這四種情況；在十位數(shù)上有0、1、2、3、4、6、7、8、9這九種情況；在個位上，有0、1、2、3、4、6、7、8、9這九種情況。由乘法原理，除400外，有4×9×9（個）不含數(shù)字5的自然數(shù)，但000也被計算在內(nèi)，400沒有被計算進去，因此從1到400的自然數(shù)中，不含數(shù)字5的自然數(shù)共有324-1+1=324（個）。答：不含數(shù)字5的自然數(shù)有324個。[例8]有A、B、C、D、E五人排成一隊，A禁止站排頭，B禁止站排尾，共有多少種不一樣排法？12345思路分析我們從排頭到排尾依次編號為1、2、3、4、5。由于A不能夠站排頭，因此我們可考慮A的站位，再由B不能夠站排尾，考慮B的站位，爾后再考慮C、D、E的站位；同時，我們也能夠換個角度：從所有可能的站位情況，扣去A站排頭或B站排尾的情況，從而獲取所有不一樣排法。解法☆解法一：先談論A的站位：（1）A站在5號地址上，則A只有一種站法，B有4個不一樣地址可站，C有3個不一樣地址可站，D有兩個不一樣地址可站，

E只有

1個地址可站，由乘法原理，在這種站位方式下有1×4×3×2×1=24（種）不一樣的排隊方法。（2）A站在2、3、4號3個地址之一。此時

A有

3個地址可站，

B不能夠站在

5號位，也只有

3個地址可站，C有3個地址可站，D有2個地址可站，E有1個地址可站，由乘法原理，在這種站位方式下有3×3×3×2×1=54（種）不一樣的排隊方法。最后，由加法原理，共有24+54=78（種）不一樣的排隊方法。☆解法二；五個人任意排隊，共有5×4×3×2×1=120（種）不一樣的方法。A站排頭有4×3×2×1=24（種）不一樣的排法；B站排尾有4×3×2×1=24（種）不一樣的排法；但這兩種方法有重復，即A站排頭且B站排尾；有3×2×1=6（種）不一樣的排法。因此，由容斥原理，A站排頭且B不站排尾的排隊方法總數(shù)是120-42=78（種）。答：吻合要求的排隊方法共有78種。點津．本講易犯的錯誤是混淆加法原理和乘法原理，這只要抓住兩者的差異，即加法用在分類上，乘法用在分步上即可防備此類錯誤。在解計數(shù)時，我們一般先考慮其中的特別情況，如例8要先考慮“A不能夠站排頭，B不能夠站排尾”這一點，就簡單化簡問題。同時，在解題時必然要思路清楚，考周祥，如例8中解法二考慮A排頭或B排尾，要想到A排頭同時B排尾這種情況被兩次計算過，因此只有思路嚴實，才能保證解題的正確。發(fā)散思想訓練個無重復數(shù)字的三位數(shù)。能夠組成______、4這五個數(shù)字中任取3個，1．從0、1、2、3種取法。的方格紙上，取兩個相鄰的小方格共有______．在m×n210本，不一樣的語文書本，現(xiàn)從書架上取書，試問：3．書架上有不一樣的數(shù)學書20______種不一樣的取法。（1）取出一本書，有______種不一樣的取法。（2）取出數(shù)學書和語文書各一本，有個數(shù)中間任意插入乘號，能夠得個數(shù)字從小到大排成一行，在44這4．將41、2、3、______個不一樣的乘積（要求最稀有一個乘號）。到所示，現(xiàn)用五種顏色染色，要求每小塊染35．將一個長方形用對角線分成四份，如圖種不一樣的______一種顏色，相鄰的兩小塊（有公共邊的）必定染不一樣的顏色。那么，總合有染色方法。四個地域，要求相鄰區(qū)、D、中的AB、C6．用紅、綠、黃、藍四種顏色分別去涂圖4______種不一樣涂法。域不能同色，共有個不一樣的自然數(shù)相加，和大于10的選法共有多少種？這7．從1~99個數(shù)字中每次取出2單位長度的鐵絲各一條，從中選出若干條9、6、78、、、、8．現(xiàn)有長度為12、34、5來組成正方形，問有多少種不一樣的選法？，m+n時不需要進位，我們稱（m）中，若是做加法．由非負整數(shù)形成的整點（9m，n1949？點”，它們的和是）的和。請問有多少個這樣的“，為（點”，）為“nAm+nmnA發(fā)散思想訓練．1．解：百位上能夠有1、2、3、4四種選擇，十位數(shù)能夠選除百位外的別的四個數(shù)，也是四種選擇，在個位上可取百位、十位外的別的三個數(shù)，有三種選擇，因此共能夠組成4×4×3=48（個）吻合題意的三位數(shù)。2．解：若是這兩個小方格是上下相鄰的，它有一邊長有

n種可能，另一邊長有（

m-1

）種可能，從而有n(m-1)(個)小長方形；近似的，若是這兩個小方格是左右相鄰的，有

(n-1)m(

個)小長方形，從而共有(n-1)m+n(m-1)=2mn-(m+n)(個)吻合題意的取法。3．解：1）取出一本書，若是數(shù)學書有20種取法，若是語文書，有10種取法，總合有20+10=30（種）取法。（2）取出數(shù)學書和語文書各一本，能夠分兩步完成：先取出數(shù)學書，有

20種取法；再取出語文書，又有

10種取法。由乘法原理，總合有

20×10=200（種）取法。4．解：顯然，乘號只能放在

1和

2、2和

3、3

和4

之間。在

1和2

之間，有放與不放兩種可能，在

2和3之間，有放與不放兩種可能，同樣在

3和4

之間也有放與不放兩種可能，因此總合有

2×2×2=8（種）放法，但必定消除其中三個地址均不放乘號的可能性，因此共有

7種放法。5．解：在A中填入顏色，有五種填法，在

B中則有四種填法，對

C則要分類考慮。若是

A與

C顏色一親，則D有四種填法；若是A與C顏色不同樣，

C有三種填法，

D有三種填法，因此最后共有填5×4×（1×4+3×3）=20×13=260（種）。6．解：由于A、C、D相互分開，而B與它們均相連，應選擇先涂B，有四種涂法，而A、C、D均各有三種涂法，因此總合有4×3×3×3=108（種）不一樣涂法。7．解：要使和大于10，加數(shù)不能夠取1。我們能夠采用列舉法。一個加數(shù)為2時，2+9=11，一個加數(shù)為3時，3+9=12，3+8=11一個加數(shù)為4時，4+9=13，4+8=12，4+7=11一個加數(shù)為5時，5+9=14，5+8=13，5+7=12，5+6=11一個加數(shù)為6時，6+9=16，6+8=14，6+7=13一個加數(shù)為7時，7+9=16，7+8=15一個加數(shù)為8時，8+9=17于是吻合條件的選法共有1+2+3+4+3+2+1=16（種）。8．解：這些鐵絲總的長度為1+2+3+4+5+6+7+8