《自動(dòng)控制原理》

——根軌跡法(5-2)

1第五章《根軌跡法》6、根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)

分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)的必要條件：

式中

2第五章《根軌跡法》設(shè) 系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)3第五章《根軌跡法》

根軌跡在s平面上相遇，表明系統(tǒng)有相同的根。即根軌跡上的分離點(diǎn)(或會(huì)合點(diǎn))與特征方程式的重根相對(duì)應(yīng)。若為二重根，必同時(shí)滿(mǎn)足和。因此求得：消去，可得到：便于忘記，上式又可寫(xiě)成：或以上分析沒(méi)有考慮(且為實(shí)數(shù))的約束條件，所以只有滿(mǎn)足的這些解，才是真正的分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）。4第五章《根軌跡法》例:設(shè)系統(tǒng)試求該系統(tǒng)根軌跡在實(shí)軸上的會(huì)合點(diǎn)。解：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：求得：代入特征方程1+G(s)H(s)=0檢驗(yàn)：s1代入，求得：K＜0，故舍去；s2代入，求得K＞0。所以s2會(huì)合點(diǎn)。(舍去)

5第五章《根軌跡法》檢驗(yàn)K1只要得到的符號(hào)即可,不必出具體的數(shù)值。

一般來(lái)說(shuō):如果根軌跡位于實(shí)軸上兩相鄰的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)(零點(diǎn))之間；則個(gè)分離點(diǎn)(會(huì)合點(diǎn))。如果根軌跡位于實(shí)軸上一個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)與一個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)之間，則或者既不存在分離點(diǎn)，也不存在會(huì)合點(diǎn)，或者既存在分離點(diǎn)，又存在會(huì)合點(diǎn)。6第五章《根軌跡法》

四重分離點(diǎn) 復(fù)數(shù)分離點(diǎn)7第五章《根軌跡法》

另外兩種表達(dá)形式：(1)因?yàn)榱?即得到8第五章《根軌跡法》仍以上例說(shuō)明:因?yàn)榱钋蟮?舍去)

9(2)

因?yàn)榧雌渲屑此?第五章《根軌跡法》10

仍以上例說(shuō)明:

因?yàn)橄シ帜附馍鲜降玫? 經(jīng)檢驗(yàn)，s2是根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)。對(duì)于采用上述三種方法，所得結(jié)果完全一致。由于后面兩種方法都是從第一種方法派生出來(lái)的，所以求得的結(jié)果一定要檢驗(yàn)，舍去K＜0所對(duì)應(yīng)的值。

第五章《根軌跡法》（舍去）11第五章《根軌跡法》復(fù)雜情況用試探法。在-2-3之間存在一個(gè)分離點(diǎn)。所以分離點(diǎn)的位置為127、根軌跡的出射角與入射角若根軌跡的一個(gè)分支離開(kāi)復(fù)極點(diǎn)的出射角為，則（各零點(diǎn)到的向量幅角之和）

（其它各極點(diǎn)到的向量幅角之和）

若根軌跡的一個(gè)分支終止于復(fù)零點(diǎn)的入射角為，則

(各極點(diǎn)到的向量幅角之和)(其它各零點(diǎn)到的向量幅角之和)

第五章《根軌跡法》13

出射角(或入射角)是指根軌跡離開(kāi)復(fù)極點(diǎn)(或終止復(fù)零點(diǎn))處切線的傾角。在根軌跡曲線上取試驗(yàn)點(diǎn)s1，與復(fù)極點(diǎn)-pa的距離為。當(dāng)時(shí)，可近似地認(rèn)為s1在切線上，切線的傾角就等于復(fù)極點(diǎn)的出射角。所以的出射角:

第五章《根軌跡法》148.根軌跡與虛軸交點(diǎn)

根軌跡與虛軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為滿(mǎn)足特征方程的值。工作在此點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。介紹常用的三種方法。(1)

利用特征方程求取。用替代s，令虛部、實(shí)部分別等于零，求得和對(duì)應(yīng)的K1。(2)利用勞斯陣列求取。將勞斯陣列中s2行系數(shù)構(gòu)造的輔助方程求得。若根軌跡與虛軸的交點(diǎn)多于兩個(gè)，則應(yīng)取勞斯陣列中大于2的偶次方行的系數(shù)構(gòu)造的輔助方程求得。(3)利用試探法求取。先給出根軌跡的大致圖形，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選擇滿(mǎn)足幅角條件的試探點(diǎn)求出，再利用幅值條件確定交點(diǎn)處的K1值。第五章《根軌跡法》15第五章《根軌跡法》例系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制根軌跡圖解：開(kāi)環(huán)極點(diǎn)：0、-3、-1+j、-1-j

開(kāi)環(huán)零點(diǎn)：4個(gè)無(wú)限零點(diǎn)(1)漸近線：應(yīng)有n-m=4-0=4條漸近線。漸近線的傾角：漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：

(2)實(shí)軸上的根軌跡：0-3

16(3)分離點(diǎn)：利用試探法求得(4)極點(diǎn)-p3的出射角：不難求得極點(diǎn)-p1、-p2、-p4到-p3的幅角分別、、.所以同理不難求得極點(diǎn)-p4處的出射角：(5)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：

方法一：由特征方程求：特征方程：第五章《根軌跡法》17實(shí)部方程： 虛部方程： 解得：方法二：由勞斯陣列求：列出勞斯陣列令s1行首項(xiàng)為零，即求K1=8.16得，再根據(jù)行s2系數(shù)得到輔助方程

第五章《根軌跡法》(舍去)189.根軌跡的走向

當(dāng)n-m≥2滿(mǎn)足時(shí)，隨著K1增加，一些根軌跡分支向左方移動(dòng)，則另一些根軌跡分支將向右方移動(dòng)。開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：特征方程：

當(dāng)滿(mǎn)足n-m≥2時(shí)，上式sn-1項(xiàng)將沒(méi)有同次項(xiàng)可以合并，通常把稱(chēng)之為極點(diǎn)的“重心”。第五章《根軌跡法》19

當(dāng)K1變化時(shí)，極點(diǎn)的重心保持不變。所以，為了平衡“重心”的位置，當(dāng)一部分根軌跡隨著的增加向左方移動(dòng)時(shí)，另一部分根軌跡將向右方移動(dòng).例第五章《根軌跡法》20第五章《根軌跡法》10.根軌跡上K1值的計(jì)算根軌跡上任一點(diǎn)S1處的K1可由幅值條件來(lái)確定。即

=

21繪制根軌跡圖的十條規(guī)則序內(nèi)容規(guī)則1起點(diǎn)終點(diǎn)起始于開(kāi)環(huán)的極點(diǎn)，終止于開(kāi)環(huán)傳的零點(diǎn)（包括無(wú)限零點(diǎn)）2分支數(shù)等于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)（nm）3對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸4漸近線相交于實(shí)軸上的同一點(diǎn)：坐標(biāo)為：傾角為：5實(shí)軸上分布實(shí)軸上的根軌跡在實(shí)軸的某一區(qū)間內(nèi)存在根軌跡，則其右邊開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)數(shù)之和必為奇數(shù)22繪制根軌跡圖的十條規(guī)則序內(nèi)容規(guī)則6分離（回合）點(diǎn)實(shí)軸上的分離（會(huì)合）點(diǎn)——（必要條件）7出射角入射角復(fù)極點(diǎn)處的出射角：復(fù)零點(diǎn)處的入射角：8虛軸交點(diǎn)（1）滿(mǎn)足特征方程的值；（2）由勞斯陣列求得（及K1響應(yīng)的值）；9走向當(dāng)時(shí)，一些軌跡向右，則另一些將向左。10K1計(jì)算根軌跡上任一點(diǎn)處的K1：23第五章《根軌跡法》

例:

系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)試畫(huà)根軌跡，并確定時(shí)K1的值。解：只對(duì)根軌跡曲線的特征點(diǎn)進(jìn)行分析。

(1)漸近線：3條。漸近線的夾角：漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：（2）分離點(diǎn)：

即

（舍去）24第五章《根軌跡法》（3）與虛軸的交點(diǎn)系統(tǒng)的特征方程：s(s+4)(s+6)+K1=0令代入，求得實(shí)部方程:

虛部方程： 解得：

(舍去)（4）確定時(shí)的K1

值：