第一部分信號(hào)處理與分析2022/12/242連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的傅立葉變換：考慮前面提到的沖激信號(hào)，它不滿足傅立葉變換收斂的條件，因此，雖然有存在，但是等式右邊明顯不收斂。第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/243將沖激的概念引進(jìn)傅立葉變換的表示中，則可以得到周期信號(hào)的傅立葉變換表示：先給出周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式：則其傅立葉變換定義為：這種定義滿足物理性質(zhì)。第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/244如果定義則有所以第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/245也就是說(shuō)，如果給定如下記號(hào)：前面定義周期信號(hào)的傅立葉變換同樣可以表示成：此時(shí)第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/246而記號(hào)具有物理意義。它表示了信號(hào)1的傅立葉變換為。這樣，對(duì)前面的沖激函數(shù)有：第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換112022/12/247因此只要假定對(duì)于沖激函數(shù)有下列積分成立，則對(duì)于任意連續(xù)時(shí)間信號(hào)（周期或非周期），都可以通過(guò)下列關(guān)系討論傅立葉變換：第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/2484.3連續(xù)時(shí)間傅立葉變換的性質(zhì)已知信號(hào)和它的傅立葉變換，滿足則可以記為或第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/2491.線性若有和則對(duì)于任意a,b，有例1計(jì)算信號(hào)的傅立葉變換。的傅立葉變換為：的傅立葉變換為：第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/2410所以的傅立葉變換。2.時(shí)移性質(zhì)若則有所以有第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/2411例2比較信號(hào)

和的異同以及各自傅立葉變換的異同。第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/2412第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/24133.共軛和共軛對(duì)稱性若則有即如果為實(shí)函數(shù)，則有，稱具有共軛對(duì)稱性。第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/2414如果為實(shí)的偶函數(shù)，則有所以有即其傅立葉變換同樣為實(shí)的偶函數(shù)。第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/2415問(wèn)題1：若為實(shí)值奇函數(shù)，則其傅立葉變換為純虛奇函數(shù)。4.微分和積分若則有即第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/2416而不同的是對(duì)于積分關(guān)系，有例3求單位階躍函數(shù)的傅立葉變換。因?yàn)橛炙?，的傅立葉變換為第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/24175.時(shí)間與頻率的尺度變換若則有即其中為實(shí)的常數(shù)。第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/2418矩形脈沖信號(hào)及其傅立葉變換的表現(xiàn)：(尺度性質(zhì)）第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/2419傅立葉變換為矩形脈沖的情況：(尺度性質(zhì)）第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/24206.對(duì)偶性信號(hào)的傅立葉變換及其反變換滿足其中是一個(gè)關(guān)于自變量的函數(shù)。若給出新的信號(hào)第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/2421則有又因?yàn)樗匀魟t有或第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/2422傅立葉變換的對(duì)偶性：第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/2423利用這種形式上的相似性（對(duì)偶性），可以得到傅立葉變換的其它性質(zhì)。若頻移頻譜的微分頻譜的積分第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/24247.帕斯瓦爾定理若對(duì)于非周期信號(hào)，則有通常，稱為的能譜密度。第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/2425而對(duì)于周期信號(hào)，左邊的積分無(wú)意義。通?？紤]其平均功率，有其中。

第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/24264.4卷積性質(zhì)一個(gè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為，對(duì)于輸入信號(hào)，其輸出信號(hào)為若有其中為此系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。則可以得到輸出信號(hào)的傅立葉變換：第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/2427即第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/2428因此，在一個(gè)LTI系統(tǒng)中，只要得到系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，就可以知道該系統(tǒng)對(duì)于輸入信號(hào)起到了什么作用；也就是說(shuō)，輸入信號(hào)的各頻率分量是被衰減，還是被保留。一個(gè)LTI系統(tǒng)的性質(zhì)完全由它的單位沖激響應(yīng)來(lái)決定，因此，也可以說(shuō)其性質(zhì)完全由系統(tǒng)的頻率響應(yīng)確定。通常考慮一個(gè)穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)，假定其頻率響應(yīng)總是存在。下面的幾個(gè)框圖通過(guò)頻譜的性質(zhì)解釋了卷積的性質(zhì)。第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換

2022/12/2429例4理想低通濾波器，其頻率響應(yīng)為則可以得到該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為可知該系統(tǒng)不滿足因果性條件。第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/2430例5考慮一個(gè)LTI系統(tǒng)，其單位沖激響應(yīng)為給定輸入信號(hào)計(jì)算其輸出信號(hào)。輸入信號(hào)的傅立葉變換系統(tǒng)的頻率響應(yīng)則輸出信號(hào)的傅里變換第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/2431若,則有則輸出信號(hào)為若，則有所以輸出信號(hào)為第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/24324.5相乘性質(zhì)卷積性質(zhì)相乘性質(zhì)容易證明。這個(gè)性質(zhì)通常也稱為調(diào)制性質(zhì)，或稱幅度調(diào)制。第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/2433例6設(shè)信號(hào)的頻譜為，如圖所示。同時(shí)考慮另一個(gè)信號(hào)則其頻譜為可以得到兩個(gè)信號(hào)相乘的頻譜為第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/2434假定，則所得到新的信號(hào)的傅立葉變換為第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/2435例7考慮上題中得到的信號(hào)

再構(gòu)造新的信號(hào)則相應(yīng)的頻譜如右圖。第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/2436此時(shí)，構(gòu)造一個(gè)低通濾波器將信號(hào)通過(guò)這個(gè)濾波器，得到的新的信號(hào)為：其傅立葉變換如右圖。則有第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/24374.5連續(xù)時(shí)間傅里葉變換性質(zhì)和基本傅立葉變換對(duì)性質(zhì)非周期信號(hào)傅里葉變換

線性時(shí)移頻移共軛時(shí)間反轉(zhuǎn)時(shí)域尺度變換周期卷積相乘

微分積分第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/2438非周期信號(hào)的帕斯瓦爾定理：4.6由常系數(shù)微分方程表征的系統(tǒng)一類重要的LTI系統(tǒng)可以表示稱N階線性常微分方程：根據(jù)邊界松弛條件，可以得到系統(tǒng)的單位沖激相應(yīng)，然后通過(guò)卷積運(yùn)算得到任意輸入信號(hào)的輸出。第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/2439如果輸入信號(hào)的傅立葉變換為系統(tǒng)的頻率相應(yīng)為輸出信號(hào)的傅立葉變換為則有對(duì)于微分方程，對(duì)等號(hào)兩邊分別作傅立葉變換，則有即第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/2440例8一LTI系統(tǒng)，滿足微分方程則可以得到其頻率響應(yīng)為所以系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為第四章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換2022/12/2441連續(xù)時(shí)間傅里葉變換性質(zhì)1.