函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性1函數(shù)的單調(diào)性與1一、函數(shù)單調(diào)性的判別法

二、曲線的凹凸與拐點

主要內(nèi)容：2一、函數(shù)單調(diào)性的判別法二、曲線的凹凸與拐點主要內(nèi)容：2一、函數(shù)單調(diào)性的判定法

3一、函數(shù)單調(diào)性的判定法3ooabab從導數(shù)的幾何意義考察函數(shù)的單調(diào)性：4ooabab從導數(shù)的幾何意義考察函數(shù)的單調(diào)性：4定理1嚴格單調(diào)5定理1嚴格單調(diào)566(2)區(qū)間內(nèi)個別點導數(shù)為零,不影響區(qū)間的嚴格單調(diào)性.例如,注意:(1)定理條件中的閉區(qū)間換成一般區(qū)間，定理的結(jié)論仍然成立；7(2)區(qū)間內(nèi)個別點導數(shù)為零,不影響區(qū)間的嚴格單調(diào)性.例如,注例1.解注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì),要用一點處的導數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性.導數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定,而不能用令得把分成兩個區(qū)間8例1.解注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì),要用一點處的例2.解:單調(diào)區(qū)間的分界點除駐點外,也可能是導數(shù)不存在的點.

說明:9例2.解:單調(diào)區(qū)間的分界點除駐點外,也可能是導數(shù)不存在的點.把函數(shù)的定義域區(qū)間分成若干個區(qū)間，總結(jié)求單調(diào)區(qū)間的步驟1．寫出函數(shù)的定義域，并求出函數(shù)的導數(shù)2．求出導函數(shù)的零點、和導數(shù)不存在的點(不可導點)3．以導數(shù)等于零的點、不可導點為分點，并確定導函數(shù)在各個區(qū)間內(nèi)的符號，從而確定函數(shù)在每個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。10把函數(shù)的定義域區(qū)間分成若干個區(qū)間，總結(jié)求單調(diào)區(qū)間的步驟1．寫解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為11解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為11練習解5/2112練習解5/2112例4證注

利用導數(shù)符號與單調(diào)性之間的關(guān)系可證明一些不等式。13例4證注利用導數(shù)符號與單調(diào)性之間的關(guān)系可證明一些不等式。練習.

證明時,成立不等式證:

令從而因此且14練習.證明時,成立不等式證:令從而因此且14二、曲線的凹凸與拐點15二、曲線的凹凸與拐點15圖形上任意弧段位于所張弦的上方。圖形上任意弧段位于所張弦的下方。問題:

如何用準確的數(shù)學語言描述曲線的彎曲方向?16圖形上任意弧段位于所張弦的上方。圖形上任意弧段位于所張弦的下定義1

設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù),(1)若恒有則稱圖形是凹的;(2)若恒有則稱圖形是凸的

.17定義1設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù),(1)若恒有則稱圖18曲線凹凸的判定定理21818曲線凹凸的判定定理218定理2.(凹凸判定法)(1)在I內(nèi)則在I

內(nèi)圖形是凹的;(2)在I內(nèi)則在

I

內(nèi)圖形是凸的.證:設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導數(shù)只證(2)由定義只須證：只須證：只須證：記作

只須證：19定理2.(凹凸判定法)(1)在I內(nèi)則定理2.(凹凸判定法)(1)在I內(nèi)則在I

內(nèi)圖形是凹的;(2)在I內(nèi)則在

I

內(nèi)圖形是凸的.證:設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導數(shù)只證(2)由定義只須證：只須證：分別在區(qū)間上應用拉格朗日中值定理得這說明在I

內(nèi)單調(diào)遞減.20定理2.(凹凸判定法)(1)在I內(nèi)則21例5

判斷曲線的凹凸性.解上是凸的.2121例5判斷曲線的凹凸性.解上是凸的.2122例6解注意到,2222例6解注意到,22定義2

若連續(xù)曲線在其上一點的兩側(cè)凹凸性相反，則稱此點為曲線的拐點.xyoy=f(x)注：拐點是凹弧與凸弧的分界點23定義2若連續(xù)曲線在證24證24注意:例如,例如,yxoyxo25注意:例如,例如,yxoyxo251．寫出函數(shù)的定義域，并求出函數(shù)的導數(shù)及二階導數(shù)2．求出二階導函數(shù)的零點、和不存在的點3．檢查這些點左右兩側(cè)符號，從而判定曲線的凹凸性注意判斷曲線的凹凸性和拐點的步驟：261．寫出函數(shù)的定義域，并求出函數(shù)的導數(shù)及二階導數(shù)2．求出二階例7.

求曲線的凹凸區(qū)間及拐點.解:1)求2)

求拐點可疑點坐標令得對應3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(0,1)

及均為拐點.凹凹凸27例7.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點.解:1)求2)求拐點可疑例8

討論的凹凸性及拐點.解：xyo·1x0－0＋不存在＋y凸

拐點凹非拐點凹28例8討論的凹凸性及拐點.解：xy曲線的凹凸性反映的是不等式關(guān)系：(1)若曲線的圖形是凹的（即），則有(2)若曲線的圖形是凸的（即），則有注：利用凹凸性也可以證明一些不等式。29曲線的凹凸性反映的是不等式關(guān)系：(1)若曲線的圖形是凹的例9解30例9解3031例103131例10312.曲線凹凸與拐點的判別+–拐點—連續(xù)曲線上凹凸弧的分界點小結(jié)1.可導函數(shù)單調(diào)性判別在I

上單調(diào)遞增在I

上單調(diào)遞減322.曲線凹凸與拐點的判別+–拐點—連續(xù)曲線上凹凸弧的分界點思考題33思考題33思考題解答不能斷定.例但34思考題解答不能斷定.例但34當時，當時，注意可以任意大，故在點的任何鄰域內(nèi)，都不單調(diào)遞增．35當時，當函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性36函數(shù)的單調(diào)性與1一、函數(shù)單調(diào)性的判別法

二、曲線的凹凸與拐點

主要內(nèi)容：37一、函數(shù)單調(diào)性的判別法二、曲線的凹凸與拐點主要內(nèi)容：2一、函數(shù)單調(diào)性的判定法

38一、函數(shù)單調(diào)性的判定法3ooabab從導數(shù)的幾何意義考察函數(shù)的單調(diào)性：39ooabab從導數(shù)的幾何意義考察函數(shù)的單調(diào)性：4定理1嚴格單調(diào)40定理1嚴格單調(diào)5416(2)區(qū)間內(nèi)個別點導數(shù)為零,不影響區(qū)間的嚴格單調(diào)性.例如,注意:(1)定理條件中的閉區(qū)間換成一般區(qū)間，定理的結(jié)論仍然成立；42(2)區(qū)間內(nèi)個別點導數(shù)為零,不影響區(qū)間的嚴格單調(diào)性.例如,注例1.解注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì),要用一點處的導數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性.導數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定,而不能用令得把分成兩個區(qū)間43例1.解注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì),要用一點處的例2.解:單調(diào)區(qū)間的分界點除駐點外,也可能是導數(shù)不存在的點.

說明:44例2.解:單調(diào)區(qū)間的分界點除駐點外,也可能是導數(shù)不存在的點.把函數(shù)的定義域區(qū)間分成若干個區(qū)間，總結(jié)求單調(diào)區(qū)間的步驟1．寫出函數(shù)的定義域，并求出函數(shù)的導數(shù)2．求出導函數(shù)的零點、和導數(shù)不存在的點(不可導點)3．以導數(shù)等于零的點、不可導點為分點，并確定導函數(shù)在各個區(qū)間內(nèi)的符號，從而確定函數(shù)在每個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。45把函數(shù)的定義域區(qū)間分成若干個區(qū)間，總結(jié)求單調(diào)區(qū)間的步驟1．寫解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為46解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為11練習解5/2147練習解5/2112例4證注

利用導數(shù)符號與單調(diào)性之間的關(guān)系可證明一些不等式。48例4證注利用導數(shù)符號與單調(diào)性之間的關(guān)系可證明一些不等式。練習.

證明時,成立不等式證:

令從而因此且49練習.證明時,成立不等式證:令從而因此且14二、曲線的凹凸與拐點50二、曲線的凹凸與拐點15圖形上任意弧段位于所張弦的上方。圖形上任意弧段位于所張弦的下方。問題:

如何用準確的數(shù)學語言描述曲線的彎曲方向?51圖形上任意弧段位于所張弦的上方。圖形上任意弧段位于所張弦的下定義1

設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù),(1)若恒有則稱圖形是凹的;(2)若恒有則稱圖形是凸的

.52定義1設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù),(1)若恒有則稱圖53曲線凹凸的判定定理25318曲線凹凸的判定定理218定理2.(凹凸判定法)(1)在I內(nèi)則在I

內(nèi)圖形是凹的;(2)在I內(nèi)則在

I

內(nèi)圖形是凸的.證:設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導數(shù)只證(2)由定義只須證：只須證：只須證：記作

只須證：54定理2.(凹凸判定法)(1)在I內(nèi)則定理2.(凹凸判定法)(1)在I內(nèi)則在I

內(nèi)圖形是凹的;(2)在I內(nèi)則在

I

內(nèi)圖形是凸的.證:設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導數(shù)只證(2)由定義只須證：只須證：分別在區(qū)間上應用拉格朗日中值定理得這說明在I

內(nèi)單調(diào)遞減.55定理2.(凹凸判定法)(1)在I內(nèi)則56例5

判斷曲線的凹凸性.解上是凸的.5621例5判斷曲線的凹凸性.解上是凸的.2157例6解注意到,5722例6解注意到,22定義2

若連續(xù)曲線在其上一點的兩側(cè)凹凸性相反，則稱此點為曲線的拐點.xyoy=f(x)注：拐點是凹弧與凸弧的分界點58定義2若連續(xù)曲線在證59證24注意:例如,例如,yxoyxo60注意:例如,例如,yxoyxo251．寫出函數(shù)的定義域，并求出函數(shù)的導數(shù)及二階導數(shù)2．求出二階導函數(shù)的零點、和不存在的點3．檢查這些點左右兩側(cè)符號，從而判定曲線的凹凸性注意判斷曲線的凹凸性和拐點的步驟：611．寫出函數(shù)的定義域，并求出函數(shù)的導數(shù)及二階導數(shù)2．求出二階例7.

求曲線的凹凸區(qū)間及拐點.解:1)求2)

求拐點可疑點坐標令得對應3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(0,1)

及均為拐點.凹凹凸62例7.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點.解:1)求2)求拐點可疑例8

討論的凹凸性及拐點.解：xyo·1x0－0＋不存在＋y凸

拐點凹非拐點凹63例8討論的凹凸性及拐點.解：xy曲線的凹凸性反映的是不等式關(guān)系：(1)若曲線的圖形是凹的（即），則有(2)若曲線的圖形是凸的（即），則有注：利用凹凸性也可以證明一些不等式。64曲線的凹凸性反映的是不等式關(guān)系：(1)若曲線的圖形是凹的例9解65例9解3066例106631例10312.曲線凹凸與拐點的判別+–拐點