PAGEPAGE14第四章樣本及其分布練習(xí)4.1 簡單隨機(jī)樣本一、填空題(略)1x(9294103105106=100，51S2 [(92–100)2+(94–100)2+(103–100)2+(105–100)2+(106–100)2]=42.614三、解：利用y=100(x–80)，得變換后樣本數(shù)據(jù)：i i–2,4,2,4,3,3,4,-3,5,3,2,0,2 1 1這時(shí)，有x [(–2+4+2+4+3+3+4–3+5+3+2+2) +80×13]=80.02113 1001S2 [(42+4+0+4+1+1+4+25+9+1+0+4+0)/10000]=5.75×10-412四、解：∵E(X)=p，D(X)=p(1-p)，S2

1n(X

X)2

1 (n

X2nX2),i i n

ii1

n1

ii1∴E(X)E(1nni1

X)i

1nni1

E(X)i

1npp；nD(X)D(1nni1

X)1i n2

ni1

D(X)1i n2

np(1p)n

p(1p)；E(S2)

1

E(X2)

n E(X2)

n [E(X2)E(X2)]n1

n in

i n1 n1= {D(X)[E(X)]2[D(X)(E(X))2]} [D(X)D(X)]n1 n1= n [DX1DX n n1DXDXp。n1 n n1 n五、解：∵E(X)=,D(X)=, S2

1 (n

X2nX2)，i i n1

ii1∴E(X)

1nni1

E(X)i

1n；nD(X)

1nn2i1

D(X)1i n2

n；nE(S2)

1

E(X2)

n E(X2)

n [E(X2)E(X2)]n1

i1

i n1 n1= n [DX)DX)] n ()。n1 n1 n一、解：由題意，已知而

練習(xí)4.2抽樣分布2未知，則(4),(5)中含有未知參數(shù)，故(1),(2),(3),(6)為統(tǒng)計(jì)量。6.32 X52X～N(52,

36 )=N(52,1.052),Z=

1.05

～N(0,1)∴P(50.8<X53.8)P(

1.2X521.8)P(1.14X521.05 1.05 1.05 1.05=(1.71)(1.14)(1.71)(1.14)1=0.9564+0.8729-1=0.8293。XN(0,0.2),∴10ii1

X 0( i )20.3

～2(10)，故P

X24}

X 01.44( i )1.44

}2iii

0.3 0.32查2P2(10)>16}=0.1。四、解：∵X～N(80,

202100)=N(80,

X2

～N(0,1)。|X80| 3 3∴P{|X-80|>3}=}Z|}2 2 2=1P{|Z|

3}1[3(3)]1[2(1.5)1]( ( =2[1–(1.5)]=2(1–0.9332)=0.1336。X

1n Xn i1

1101i11

X ～N(20,i

310),

Y 15Y115 1i1

～N(20,

315)。XY～N(0, 2

XY1/ 222∴XY1/ 222

0.3)]=2[1(0.42)]=0.6744。

,X,…,

XX(I=12,n)X～N(,4)

1

n ii=1,2,…,n)，，∴Xi

,4)(則所求聯(lián)合概率密度為f(x,x,…,x

)=

(x)f (x)

(x)n f(x)1 2

X 2 X 21 2

X n in i111 (x)21

1 (

)2

1 (

)22222221 1n(x222

2.4

2.4=2n(2 )n/2

8 i1

，-<x+(i=1,2,…,n)；i(2)由于

+X2與minX

是統(tǒng)計(jì)量。3(3)X～N4)X～N(4，故有n

1 2 1in iX

X

0.12/

}2(0.05 n)10.95，2/ n2/ 2/ n2/ nn0.05

)≥0.975，n≥1.96，所以n≥1536.64n故n至少應(yīng)取1537才行。第五章參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)練習(xí)5.1參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)

=E(x)=，令

=A=1n X

，

=1n

X2，1 1

n i1

2 2

ii1將總體的樣本觀察值代入上式，可得?A1

1(74.00174.005 74.002)=74.002，8?2

A2 1

18i1

x2(x)2=6×10-6，1i1S2

1n1

n

(XX)2i

7×0.000048=6.86×10-6。二、解：總體X～N(0, 2)的概率密度為：f(x)

1

x2]，222n 1 x2 n 1 22L(x；2i

2)=

n in

exp[ i

]2

2exp[ 22i1

x2]，i而lnL ) ln2

1

x2，2 2

ii1dln令

1

x2=0，得

1

x2，d2

2)2

ii1

n ii1即2的極大似然估計(jì)量為?2

1nni1

X2。i三、解(1)似然函數(shù)為L(xi

,)ni1

xi

nni1

xi而lnLnln()ni1

lnx，idlnL令

n

ln

=0，得 nd

ii1

lnxi

nlnxi

為參數(shù)的極大似然估計(jì)量。(2) E(X)xf(x)dx1x1dx ，EX

1

0

1X 為參數(shù)的矩估計(jì)量。1X四、解：(1)似然函數(shù)為：L(xi

,)ni1

(1)xi

()nni1

x，i而lnLnln(ni1

lnx，idlnL令

n

ln

=0

n－1，d 1

ii1

i1

lnxi即?11nni1

lnX)1為參數(shù)的極大似然估計(jì)量。i1 1(2)

E(X)xf(x)dx1()x1dx 1 ， 0 2 2令1

12

X2X1為參數(shù)的矩估計(jì)量。1X五、(1)X～()

x=}=

e，x=0,1,2,…。而lnL(ln)n

x

Xx x!ln[(xn，i ii1 i1dlnL令

1

x－n=0，得

1

xx，d

ii1

n ii1即的極大似然估計(jì)量為?X。1(2)證明：∵E(S2) E[n

(n Xii1

nX2)]

1n

[ni

E(X2)nE(X2)]i=1=n1

[n

(D(Xi

)(E(Xi

))2)n(D(X)(E(X))2]=1=n1

[nn n

(2)n(D(1nni1

X)(E(1i ni1

X))2)]i= ( )n1 n∴S2是的無偏估計(jì)量。(3)對于(0≤≤1)∵EX1)S2)=E(1nni1

X)(1)E(S2)i=1nni1

E(Xi

)(1)=1n(1)n∴X1)S2也是的無偏估計(jì)量。D

i1

X)E[(Xi

i1

X)2][E(i

i1

X)]2i而

－X)=E(X )－E(X)=0i+1∴ E[(X

i －X)2]=D(X

i

)=22i+1 i i+1 i若使c

n1i1

(n1

i1

X)2為2的無偏估計(jì)，則滿足iE[cn1

i1

(X Xi1

)2]2即ci1n1

E[(

X)2]2i1 i1∴ci1

22 故c 2(n1)練習(xí)5.2 參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一、填空題（略）x1(2.14+2.10+…+2.14)=2.125s21[(2.14－2.125)2+…]=0.029316 15(1)已知=0.01，當(dāng)=0.10時(shí)，查表，得Z=1.645，2n于是xn

0.01Z=2.125±1.645× 4 =2.125±0.004，Z2故總體均值的90%的置信區(qū)間為(2.121,2.129)。(2)未知，當(dāng)=0.10時(shí)，查表得t (n－1)=t (15)=1.7531， 0.052于是x

s 0.171116nt (n－1)=2.125± ×1.7531=2.125±0.007516n2故總體均值90%(2.1175,s=11,n=9,當(dāng)=0.05時(shí)，查表，得2 (n

(8)=2.18, 2(n

(8)=17.535，于是0.975 0.0252 2(n

8

=55.2，

(n

8

=444.032(n17.535 55.2444.03255.2444.03

2(n12

2.18從而，有為(7.4，21.1)。

7.4，

95%的置信區(qū)間四、解：當(dāng)=0.05時(shí)，查表，得t2

(n－1)=t0.025

(15)=2.1315，于是nx n

t (n-1)=2.7050.02995%的置信區(qū)間為16162(2.690,2.721)。五、解：對2為已知的正態(tài)總體，的置信區(qū)間長度為：n(Xn

Z )(Xnn2

Z )2

2Znn2

，根據(jù)題意，得nZ Ln24Z22即 n2 ]為所求。L2六：解：(1)1－=0.90，nn=5F(n－1,n－1)=F

(4,4)=6.391 2 1 2

0.05F (n－1,

－1)=F

(4,4)=

1 0.16，由觀測值計(jì)算： 1 12

0.95

F0.05

(4,4)2S2=0.00001070, S2=0.0000053，于是A0.90的置信區(qū)間為A B 2B(1070

1 1070， ×6.39)(0.3159，12.9005)。530 6.39 530(n1)s2(n 1)s2(2) s2

1 A 2n n 2

B=0.000008，s

=0.002828，

=2.0648，w w A1 2x=2.0594，對于=0.1，查表，得t (nnB 1 1115 5

2)=t0.05

(8)=1.8595，于是x xA B

t0.05

s w

=0.00540.003326–A故所求均值之差 的置信區(qū)間(0.002074,。–AB練習(xí)5.3—5.5 參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)一、解：設(shè)X表示零件的尺寸，且X～N(，2)，按題意作出假設(shè)H0

:=30.2，H1

:≠30.2選用Z檢驗(yàn)，n=6，=0.1ZXX/0n

=Z0.05

=1.645，x

16(32.56+…+31.03)=31.27拒絕域?yàn)閨Z|即有 |Z

Zxx/n031.2730.21.1/ 6

=2.383>1.645

0

，即可以認(rèn)為這批零件和設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)有明顯偏差。1XX～N2)，按題意H=52.0，H≠52.00 1選用t檢驗(yàn)，n=6，=0.05，t (n－1)=t (5)=2.5706 0.0252 1x =6

(48.5+…+52.5)=51.5，S≈6.6拒絕域?yàn)閨t

t(n1)=2.5706XXs/n0x0s/ n51.5x0s/ n51.552.06.6/ 6

=0.1856<2.57060由于t沒有落在拒絕域內(nèi)，故接受H，即可以認(rèn)為鋼筋的平均強(qiáng)度為52.0kg/mm2。0三、解：設(shè)X表示保險(xiǎn)絲熔斷時(shí)間，且X～N(,2)，按題意H 作出假設(shè) ：2=8，：2≠80 H x2檢驗(yàn)，n=10，=0.052(n1)2

20.025

(9)=19.0232 (n1)

(9)=2.70，x=1

(42+…+55)=62.，s

1096.84=121.87 0.97512

10 92≤2.70或2≥19.023，經(jīng)計(jì)算2

(n1)s20

9121.878

=137.105H由于2=137.105[19.023,+)，故拒絕 ，即不能認(rèn)為整批保險(xiǎn)絲的熔斷時(shí)間方差為H08。四、解：設(shè)兩種溫度下斷裂強(qiáng)度分別為X，Y，且X～N(

，2)，Y～N(，2)1 1 2 2H 由題意，取=0。(1)作出假設(shè) ：=，：≠H 0 1 2 1 1 2選用t檢驗(yàn)，對=0.05，n

=8，n

=8，

(nn

2)

(14)2.1448，于是拒絕域?yàn)閨t|≥2.1448。

1 2 1 22

0.025x=20.4,

－1)s2=6.2，y=19.4,(n－1)s2=5.8。1 X 2 y20.419.46.25.888820.419.46.25.88882)88H故拒絕 ，即可以認(rèn)為斷裂強(qiáng)力有顯著差別。H0(2)作出假設(shè)H

：

2

：

2。0 1 2 1 1 2選用F檢驗(yàn)，對=0.05，F(xiàn)(n

n2

1)F0.025

(7,7)=4.99，F(xiàn)(n

(7,7) 1 1 或1 22

0.975

F0.025

(7,7) 4.99s2 6.2F≥4.99F=Xs2Y

的觀測值為=1.069。5.8F沒有落在拒絕域內(nèi)，故可以認(rèn)為強(qiáng)力有相同的方差。XH0：X～N(15.1,0.43252)選用2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。將實(shí)軸上取三個(gè)分點(diǎn)14.5，15.0,15.5(,14.5),(14.5,15.0),(15.0,15.5),(15.5,+),這時(shí)14.515.1p=F(a)=( )=(–1.39)=1–(1.39)=1–0.9177=0.0823，1 1 0 0.4325 0p

)=

15.015.1(

)=

(–0.23)–0.0823=0.3269，2 2

0 0.4325 1 0p

)=

15.515.1(

)=

(0.92)–0.409=0.4122，3 3

0 0.4325 2 04 p=1–F(a)=1–4 ∴2=

(nnp)2i i

(64.115)2

16.345)2

8.94)2np 4.115 16.345 20.61 8.94i1 i≈1.46對于=0.05，查表，得2 (4–2–1)=2 (1)=3.8410.05 0.050由于2=1.46＜3.841，故接受H，即可以認(rèn)為滾珠直徑是服從N(15.1,0.43252)。0六、解：根據(jù)題設(shè)，由Z檢驗(yàn)法樣本容量的選取知n(z z n≥ 0.05 其中Z =Z =1.645， 0.05 ∵2=2.5， =15，=13，∴=20∴當(dāng)≤13=15–2時(shí)，有n 41.642.5=2.60n 2n≥6.76。自測題（第五章）一、填空題（略）

201.96二、解：由題意：5=x

Z xn2 n2

Z Z0.025nnn2nnnn∴ =7.84n=[61.4656]=62。n(1)EX)=xf(x,dxx 1

1 11dx 21E(X)=X，得2X1為的矩法估計(jì)量。(2)

∵EE(2X1)2E(X)12E1 n i1

X1i=2ni1

E(Xi

)1

2n11n 2∴?是的無偏估計(jì)。

E1X 3X 1E(X)3E(X)E(X)d]= ，1 4

4 2 4 1 4 2E1X 2X 1E(X)2E(X)E(X)E[d]= ，2 3

3 2 3 1 3 2E1X 1X 1E(X)1E(X)E(X)E[d]= ，3 2

2 2 2 1 2 2d,d,dE(X)的無偏估計(jì)。1 2 3又∵D

D1X 3X 1D(X)9D(X)10D(X)5D(X)[d]= ，1 4

4 2

1

2 16 8D1X 2X 1D(X)4D(X)5D(X)D[d]= ，2 3

3 2 9 1 9 2 9D1X 1X 1D(

)1D(

)1D(X)D[d]= 3 2

2 2 4 1 4 2 2由于D[d]<D[d]<D[d]3 2 1故d(X,X)最有效。3 1 2五、解：設(shè)每年最高凍深為X，且X～N(,2)，由題意H=190，H≠190。0 1選用t檢驗(yàn)法n=10，=0.05，t (n–1)=t (9)=2.2622， 0.0252于是，拒絕域t (n–1)=2.2622。2x1(156+156+…+181)=186，S=18.55，10xS/n0由于 |xS/n0

18618619018.55/ 10故接受H0，可以認(rèn)為乙地的平均最高凍深與甲地相同，無顯著差異。六、解：設(shè)X表示維尼綸纖度，且X～N(1.405,0.0482)，由題意作出假設(shè)H0:=0.048，H1:≠0.048。選用2n=5，=0.102(n1)2

(4)=9.488， 0.0520.06432(n

(4)0.71x1.41s2 .40.9522≤0.711或2≥9.488，經(jīng)計(jì)算，有(n1)s2 0.06432= =27.912 0.04820H由于2=27.91∈[9.488,故拒絕 ，即可以認(rèn)為這一天纖度的總標(biāo)準(zhǔn)差不正常。H0 1 2 七、解：選用F檢驗(yàn)。對=0.05，F(xiàn) (n–1,n–1)= 1 2 2F

1 1(5.5)= =0.1399。于是 1 12

0.975

F0.025

7.15拒絕域?yàn)镕≥7.15或F≤0.1399。經(jīng)計(jì)算，得S2=0.000007868S2=0.000007112。A BS2H∴F= HS2B

=1.1063沒有落在拒絕域內(nèi)，故接受 。0第六章回歸分析與方差分析練習(xí)6.1—6.2 回歸分析n=7x=0.54y=20.77，L

=0.532，Lxx

=6.68xy L

=12.55，xxy=13.99=13.99+12.55x。二、解：n=6，經(jīng)計(jì)算，得x=550，y=57，Lxx

=17.5×104，L

=10300，有xy L

=0.05886，xxy=24.6286=24.6286+0.05886x。1 2 3 0 11 22 3y(xxx)=b+bx+bx+1 2 3 0 11 22 3

2)，1 1 1 1

1 11 11 1 1

7.6 10.39.2 10.21X1

1

Y

8.4，1 1

1 11

11.19.8 11 11 11 11 b

1 0 0 00 b

0 1 0 0B1,

X8 b2b

0 0 1 00 0 0 1031 0

0 79.2 ∵(X

10

0 0，X

4.601 80 0 1 0 4.401 ?

0 0 9.9

9.40 ? ?

0.575∴B1(XX)1XY

，故y的多元回歸方程為?

0.552 1.55 ? 3=9.9+0.575x+0.55x+1.15x1 2H一、解：(1)假設(shè) ：=H0 1

3練習(xí)6.3-6.4 方差分析=。2 3這里：r=3，n=30，且有n

10,n121

n3

11.S建立統(tǒng)計(jì)量

/31

～F(2,27).S /303E對0.05

0.05

(2,27)=3.35；經(jīng)計(jì)算，有3T2 T2

3i

3T2S A

=1211.26-61.67=1149.59，S n E

X2ij

i =137.774，ni1S /2

i i1j1 i1 i∵F=S異。

A/E

=112.64＞3.35.H，即可以認(rèn)為三種菌型的平均存活日數(shù)有顯著差0(2)設(shè)各菌型的存活日數(shù)X～N(2)(i=1.2.3).i i,X

=4，X =7.22，X =7.27，S2=3.56，S2=5.688，S

=6.3731 2 3 X X X1 2 3S2

(n21 X1

(n 2X2

93.568

4.56,S

2.14n11 w n 2 17 n11 SS2w(nS2

1)S2X2

(n1)S2X3

85.688106.373

2.46n22w n2n22S2wS2w

18 w 2S2

(n1)S23 X

(n1)S2X1

106.37393.56 =5.04，S

=2.25n333w n2 19 wn333S2S2w對于=0.05，查表，t (n+n-2)=t

(19)=2.0930。 1 10 9110 911

0.025

0.025

0.02于是xx1 2

t0.025

Sw1

3.222.075,x x2 3xx

t0.025t

Sw2S

0.052.311,119 1110 111119 1110 11111 3 0.025 w3故1 2

–，2 3

–，的置信度為95%的置信區(qū)間分別為：1 3(–5.295，–1.145)，(–2.361，2.261)，(–5.323，–1.217)。二、解：假設(shè)H ： OA i甲 i乙 i丙

(i=1,2,3,4)H ：

(j=1,2,3)OB 1j

j 3j 4jH ：VAB

=0 (ij)ij這里，r=4，s=3，t=3，n=36建立統(tǒng)計(jì)量：F

S=

/r1

～F(3，24)EA S /rs(t1)ES /s1F= B ～F(2，24)B S /rs(t1)ES /(rF =AB ～F(6，24)AB S /rs(tE對給定的=0.05，查表，得FA

=(3，24)=3.01, FB

=(2，24)=3.40,

AB

=(6，24)=2.51，經(jīng)計(jì)算(為簡化計(jì)算，對樣本數(shù)據(jù)作變換x ijk

ijk

–15，i=1,2,3,4,j=1,2,3,k=1,2,3,)，得：BT ABES=144.75，S=2.75，S=21.17，S =73.50，S=41.33BT ABE2.75/3∵F A

41.33/21.17/2

0.533.01

，即操作工之間的差異不顯著，0A∵F 6.153.40，∴拒絕H ，B 41.33/24 0B73.50/6∵F AB

41.33/

7.112.51，∴拒絕H 。AB又∵F0.01(2,24)=5.61，F(xiàn)0.01(6,24)=3.67而F=6.15>5.61，F(xiàn)B

=7.11>3.67AB∴可以認(rèn)為機(jī)器之間的差異特別顯著，交互影響是特別顯著。數(shù)理統(tǒng)計(jì)綜合自測題一、1.2.3.4.（略） 5.∵已知2=1，的置信區(qū)間為(x

z ,x z )nn nn2 2n=100,x5

2

96 故所求置信區(qū)間為4.804,5.19。二、解（1）∵X～N（u,

2）,X～N(u,2)n∴X=116

16

0.04X ～N(1,i 16

)

～（052；（2）P｛0.95≤X≤1.05｝=P｛|X1|≤0.05｝=P｛|=(1)1=2×0.8413-1=0.6826；

X1|≤1｝0.05(3)∵XX(k1)=0.05,0.05∴k1)=1-0.05=0.95k1=1.6450.05 0.05故k=1.08225。三、解：(1)L